八上数学思维训练题

八年级思维训练③I.如图，N4=90°,NCO8=2//OC-450•证明：CB=2AO.如图，BC=BD,N8/UNC/。=60°,求证△8DC为正三角形..如图，在等边三角形。中，点£在匕AE-3BE,连接CE作NSCMZ/EC,CM=CE,连接力”交8c于。点，求8P:"的值..在四边形/16CO中，AC.BD交于点、E.且N/iCD=NADC⑴如图I,若4ED,求证：/B4C=2/BDC；⑵如图2,在⑴的条件下，若N80030°,求证：BOAC.⑶如图3,若WH/XZ/?DC=30°,过4作/IE_L8。丁•E,过。作CAIADTR11EFzBE=2：11,DF=9,求力点到线段C7）的距离长度.1.如图，ZJ=90°,ZCOB2^AOC459,证明：CB2Ao点评：先通过计算，理清图中的具体角度，延长04构造出2倍的。儿发现KC,垂直于。氏得到三角形OKHI」三角形CHB全等，并且可以证明。点二？4。，即。=24。另外再提供两个思路，利用的是取CB的中点，同学们可以依据辅助线自行尝试证明.2.如图,BC=BD,ZBAC=ZCAD60°,求证△8DC为正三角形.点评：辅助线如图所示,通过2个60°发现隐藏的第•:个60,再通过角平分线的对称性和角平分线的1108（双垂）构造全等.得到灰角相等，再通过八字导角得到600..如图，在等边三角形/玄：中，点£在"匕/IE=3BE,连接作/比‘用=/力£。CM=CE,连接4位交8c于尸点，求8P:CP的值.点评：八上在等边三角形内涉及到比例关系的转化，无非是三个突破I】：中点，30°,面枳法.这个题的着力点就是中点，中点从何而来？构造平行八字全等需要平行与等边方可得到全等，当我们作由AFqCM平行后，还要想办法证明/F=CM而这里的N8CM=NAFC,CM二CE就排上用场了，前后完美承接，得到P为尸C中点..在四边上488中，AC.6。交于点£,旦乙4C7>N4X?.⑴如图1,若,48三4，求证：NBAC24BDG⑵如图2,在⑴的条件卜，若N8DC=30°,求证：BC=AC.⑶如图3,若4C-4D,乙弘）030°,过/作于£,过C作"\L8O「F,旦ERBE-211,。产9,求力点到线段CO的距离长度.点评：第,二问都是困绕着号角与正三角形展开的计算，第三问多了很多条件需要抽丝剥茧的分析。通过前两问的计算我们可以发现/月-〃'力。，F是他可以顺理成堂的构造出紫红全等.那么求力〃的长度就是求"的长度，而因为加/垂直了30,通过等腰三角形三线合一，得到8£="），于是可以知道价•的长度为13,于是47=13.88八年级数学思维训练题②8I.在ZX/IHC中，//8。=6(尸,ZACB=4(r，。为三角形内一点，/P84二2()。，/PC4=30°,求证:=/C2.如图.等边八/BC中,。为8c延长线上一点，连接力。,点E在刈)匕4E=4B.连接月月交/CF尸，求证：(I)CD=DE+CF;(2)A^CD=ADL)3.方为等腰K7三角形，NC4ZT9（T,过4点仃一条直线/,分别过C点和4点作垂线交/F石点和广点.（要求：一二问要用两种方法）（I）当直线/与线段4C为交点时，请写出C&AF.6■之间的数量关系,并证明:（2）当直线/与发段4C的延长线仃交点时，请写出C从4A之间的数量关系，并证明:A八年级数学思维训练题②.在ZX/180中,//18C6（r”为三角形内,点./P加二20。，/PCI300•求证：P8-8/fYC点评：这是一道特征明显的极长补好的跑II.题H向的是二个线段的关系.很容易境到截长补短.存片「上栽取和A"和等•构成△06C叮△£4方仝等，&到NBKCNBPC1300,\IZABK60,-10*.YILZABKZAKB.即484X也可以补短，但是这甲.的补短需6一定的技巧，直接延长得到是无用的，因为所得到的,40无法。尺他条什发牛.关联，但是可以延长.46得到.M=.4C,这样就内到了等腰二角形，再在等腹二加形的玷础上进行角度计算，发现NPC0=NMC8,再将△/伙：翻折F去.„=8K=BD..如图，等边A48r中，Q为伙7延长线上一点,连接力。,点&•在/。I..AE-AB.连接8£交彳「于点评：这个题表面上告诉/我们/£=/〃这一组条件,&际上彳£=/0=＜从构成了三个等腰角形.是我们导向的美健所在.一定要充分利用好.第一问栗川补短的手段•延长八万十点〃使得/〃Ae.得列等腰：角形•设NC4/）为。・充分利用图中的等胱一角形与60、，导用得到•与△，月「全等.十是HE=FC.mH=QE+川-F这个解法利用「力。£等腰二.用杉的时称结构）•lif：第二间比第间的单评多.以为突破口•发现其48r相互承接.同样我的也可以堂K。知到4G.使得dG=CQ可以实现扑短的手段.发现△G84与全等.卜史BG=AD,导购怦到等股三角斤ZG8人「是BG=AXiF=AFYD3.△/C8为等腰AT三角形，，过8点有一条直线/,分别过（•点和4点作垂线交/于/点和尸点.（要求：一二何要用两种方法）（1）当直线/与线段4C行交点时，请写出C£、跖之间的数年关系,并证明：A方法、利用三垂直.汨到「〃=/尸=史氏平行线间的距寤处处相等）,所以CE+24F=RE方法二：利用手拉手，取4G=CR证明△G&4全等丁△/?«・推导出三角形4EG为等腰/?；*△,可证明EG=2AF,所以CG2/148月（这里是逆用手拉手，通过旋转全等反推等腰R70（2）当直线/与线段4C的延长线行交点时,请写出CT、4八之间的数僦关系,并证明:方法：利用三垂直，得到C,〃-4〜£凡（也-〃川平行线间的距离处处相等），所以2"・CE-BE方法二：利用手拉手，取8G二CE证明△GR1全等于△£口,推导出三角形/1EG为等腰/?♦△,可证明EG-2AF,所以2".-（五-卅;（这里.也是逆用手忖手，通过旋转全等反推等版RD（3）当直线/与线段C4的延长线有交点时,请补全图形，并直接写出。£、AF\8£之间的数螭关系.结论：CE-BE+2AF总结：这不是一道难题，但是解题时涉及到的一题多解的思维而要同学们用心体会，同时这个题的一二二问是一脉相承的,第•同的两个方法第：三问都适用.4E轴题的M.行的时候没有思路不妨看看一二小问,举一反三，发现动态几何图形中不变的关系.八年级数学思维训练题③L如图，/ABC=NEA（f°,AE=AC,8。平分乙4依•交CZ,于£）,求诬：EACD2.如图，己知点C为等腰直他4/〃。角平分段1.的一点，H.N6CO67.5,证明：CO-BO()3.如图，在平面出角坐标系中，点4(0,3),£(2,1),F(3,0)，己知。(桁，-1)(m>0)»点”在y轴正半轴上./MEQ-/OAF.设41，»0-〃.求2的值/»4.如图，若/2UO601/8COFO°,BD.CE是△Z8C的两条角平分线，月.80、C£交于点/「，求证：CF—RA.L如图.乙4心NE4c-90,AEMC,8D平分/43。交。衣尸0.求证,ED-CD点评：这个虺是人上很多人爱问的一道经典题，变式很多，慨括为“3个45,”,把明目的△』£（砍一半，实际上只知道N4BA/Z）欣一乙fCh15°,需要证明△力（刀为笄腰直用，但是这个题U直接出出了等版A7三角形4CE,相当丁降低「琲度暗示了一半的辅助线。想要证明。为中点,不可避免的要从全等入手,但是这个题目给的所方条件都是角度,需要从角的条件存到边的条件,而这里的仆・就派上川场八因为45•刚好是等股KT的一部分！T•是企图二中我们可以构造等樱火，△/EK,得到—KE与八ABC为检找个等,则林R（.且行KI".另外/。水三45。同样可以构造等腹样丁：角形.于是b：K-HC-K\再通过号角得到平行八字全等，即。为£小的中点.第一个方法则是国境柠等腰直角一•角形展开的,构造橙色的二垂的全等,中边行而△-8尼也是我们构造出来等腺比用三角形.所以心-£从最后◎边得到£尸8。同样通过平行八字全等可以曲明。为中点.2.如图，已知点C为等股直角△/8O角平分线上的•点.H/8。67.5°,证明？COBO点W,陷藏很深的一个夹步力模型,利用45。行到67.5°的两倍1350,最北两次全等行到CO平分/伍?从再通过导角计算得到「小夕。3.如图，在平面宜：角坐标系中，点/(0,3)，E(2,I),F(3,0),已知。(m,-1)(w>0),点.”在y轴正半轴上，afEbNCXF,设求”的值.m点评：坐标系中夹半角模型，利用旋转的更也还原图形原本的牯征,发现1A/.V0MA"W=/3AQ=n4.如图,若/8/O二6(T,/HS40。,BD、足△/IBr的两条角平分线.且加)、交于点凡求iiE：CF-BA点评：构造等边三角形845分用得到/CFD-NBVD.1LNCEB-CBE,即通过黄绿相等，可以证明CF=BM二BA.八年级数学思维训练④.已知是等边三角形，过/作.4〃_L8C于点〃，F是上一点,以C7•'为边向下作等边三角形CFG,连接〃G请探究〃G的最小值与边彳8的数量关系..在平面直角坐标系中，A(3,0),B(0,3),。为线段.①上一点，做直线4HLr轴，作PC_LO〃交AM1羔C,求证，PC-OP.如图，中/8/fC=9(r,AB^AC,。为84延长线上一点，以PC为斜边作等腰在向点G为N/PC与NPFC的角平分线的交点,当点尸运动时,求证:BG平分/PBC.如图，D、£分别在.48、4c匕BD、C£相交于0,NO6C=NOC炉!4,求曲BE=CD.