机械结构有限元分析

（高等学校十一五规划教材）/机械制造及其自动化系列机械结构有限元分析作者：张文志、韩清凯、刘亚忠、戚向东出版社：哈尔滨工业大学出版社出版日期：2006-7-1内容介绍本书是为工科院校机械工程各专业学生学习有限元法而编写的，我们在编写中结合以往的教学经验，力求做到由浅人深，难点分散，循序渐进，从物理概念上说明问题。本书未引入典型程序，读者可根据各自的情况采用合适的计算程序。全书共十章，内容分三部分：即基本部分、专题部分和提高部分。第1?4章为基本部分；第5〜7章为专题部分；第8?10章为提高部分。书的内容比较广泛，在讲授中可以根据专业需要做适当的选择。在深度上还有一定的伸缩性，所以本书既能适用于机械类专业的高年级本科生，提高部分又可作为机械工程学科研究生的教学内容。第1章绪论1.1有限单元法简介有限单元法的基本思想有限单元法的基本步骤机械结构分析中的常用单元习题第2章弹性力学基础2.1引言弹性力学的几个基本概念应力分析应变分析物理方程弹性力学中的几个典型问题弹性力学问题的一般求解能量法与虚位移原理习题第3章平面问题3.1平面梁单元平面三角形常应变单元平面三角形单元应用举例单元形函数的构造等效结点载荷列阵矩形单元与平面等参元习题第4章轴对称与空间问题轴对称问题空间问题空间等参元与空间轴对称等参元应用实例习题第5章薄板弯曲问题弹性力学薄板弯曲问题的基本方程式矩形薄板单元的刚度矩阵三角形薄板单元的刚度矩阵板和梁单元的组合问题习题第6章结构动力学问题结构系统的动力学方程式结构的无阻尼自由振动方程式6.3单元质量矩阵6.4单元阻尼矩阵求解自由振动问题简例特征值问题及其解法振动系统动力响应计算习题第7章温度场和热应力问题热传导问题的有限元分析热弹性应力问题的有限元分析应用实例习题第8章材料非线性问题非线性方程组的解法塑性基本法则及应力应变关系弹塑性问题的有限元解法蠕变问题的有限元计算应用实例习题第9章几何非线性问题小变形几何非线性有限元方程的建立与求解有限变形几何非线性的几何描述9.3格林(Gteen)应变与阿尔曼西(Almansi)应变9.4欧拉(Euler)、拉格朗日(1grange)和克希荷夫(Kirchhoff)应力有限变形几何非线性有限元方程的建立与求解大变形增量问题的求解方法算例习题第10章结构稳定性问题10.1弹性结构的稳定性10.2结构稳定的判别屈曲后的平衡路径分析带初始缺陷的结构稳定性问题1O.5数值算例《机电工程现代设计方法（2）》教案一．总学时和各章节学时安排（一）总学时32二）各章节学时安排章节内容讲授上机第八章绪论有限元方法概述有限元模型的计算机求解技术(4)224第九章弹性力学有限元法的理论基础9.1弹性力学基本方程9.2变分原理(8)44第十章弹性力学平面有限元法10.1单元刚度矩阵和结构整体刚度矩阵10.2有限元方程10.3结点等效载荷10.4引入位移边界条件(8)2222第十章杆件结构有限元法杆件结构单元平面杆系结构的有限元法(4)224合计248二．各章节重点难点和教授第八章绪论1．重点有限单元法的概念及其在工程设计中的作用和地位；有限元法的要点和特性；有限元法的发展、现状和未来，本课程学习的目的；有限元法的理论基础概要；学习和练习使用Marc有限元软件求解平面矩形孔板在一对边边界上承受均布载荷情况的位移和应力分析。2．难点对加权余量和变分概念的理解；对Marc有限元软件方法的熟悉和掌握。3．教授方案本章4学时，要举例讲清楚限元法在当今工程分析中的重要作用，要借助对以下几个图例和事例的定性分析达成上述目标。传统材料力学解决问题的局限性和工程实际问题的复杂性矛盾，举如图所示的实例以说明之。有限元法施行要点，将一个二维求解对象离散为若干个四边形或三角形单元的组合体，如图所示。（a）四边形单元（b）三角形单元将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个子域（即单元），并通过它们边界上的结点相互联结成为组合体，（a）和（b）分别表示采用四边形和三角形单元离散的图形，各个单元通过它们的角结点相互联结。•用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全域内待求的未知量，在相邻单元的联结点上，场函数应具有相同的数值，是需要求解的基本未知量，从而将求解无穷多自由度的问题转换为求解场函数结点值的有限自由度问题。通过运用变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量（场函数的结点值）的代数方程组或常微分方程组。此方程组称为有限元求解方程并表示成化的矩阵形式。接着用数值方法求解此方程，从而得到问题的解答。有限元法有以下特性。对复杂图形的适应性，以图示水轮机转轮的有限元模型说明，图中转轮由上冠、下环和13个叶片组成，分别用三维块体单元和壳体单元离散叶片之间的水用三维流体单元离散。（C）金邠漁体出格图（d）水轮机转轮（俯视圈丿•对于各种物理问题的可应用性，有限元法开始是对线弹性的应力分析问题提出的，进一步发展到弹塑性问题、粘弹塑性问题、动力问题、屈曲、流体力学问题和热传导问题等，而且可以利用有限元法对不同物理现象相互耦合的问题进行有效的分析。•建立于严格理论基础上的可靠性，只要原问题的数学模型是正确的，同时用来求解有限元方程的算法是稳定、可靠的，则随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，及插值函数阶次的提高，有限元解将收敛于原数学模型的精确解。•适合计算机实现的高效性，由于有限元分析的各个步骤可以表达成规范化的矩阵形式，最后导致求解方程可以统一为的矩阵代数问题，特别适合计算机的编程和执行。随着计算机软硬件技术的高速发展，以及新的数值计算方法的不断出现，大型复杂问题的有限元分析已成为工程技术领域的常规工作。并行有限元求解方法的概念和概述。有限元法的通用计算机软件大型通用商业软件如NASTRAN，ASKA，SAP，ANSYS，MARC，ABAQUS，JIFEX等包含众多的单元型式、材料模型及分析功能，并具有网格自动划分、结果分析和显示等先后处理功能，功能由线性扩展到非线性，由结构扩展到非结构（流体、热、„），由分析计算扩展到优化设计、完整性评估，成为CAD/CAM系统不可缺少的组成部分。有限元软件和CAD/CAM/CAE等软件系统共同集成完整的虚拟产品发展（VPD）系统能提供对所设计的工程系统从加工制造到运行，直至失效和破坏的全寿命过程的更深入认识，能够鉴定和评估所设计对象的性能和质量，并允许以最低的费用在设计过程中就能对所设计的对象进行修改和优化，能显著地缩短工程对象设计和投产的周期，降低生产成本，提高市场竞争力。本课程学习的目的主要可分为两类：•应用有限元法，特别是运用已有的通用或专用软件求解实际工程技术问题。•在有限元法的理论和方法方面作进一步的研究工作，以提高它的有效性和扩大它的应用领域。第9章弹性力学有限元法的理论基础1．重点平面弹性体8个基本变量、8个方程和边界条件的数学描述；弹性体总位能泛函的数学描述；上述变量和方程数学形式的有限元矩阵表达方法；最小位能原理的解释。2．难点①平面弹性体8个基本方程导出和总位能的构成。3．教授方案本章8学时要分成4部分使用，1~2学时完成对2个平面弹性体平衡方程和3个几何方程的导出，即导出x+型+X=0dxdydxdoxy+y+Y=0dxdydu8=xdxdv8=ydy=dv*duxydxdy3~4学时完成对3个物理方程两种形式（即按应变形式和按应力形式）、总位能表达式和边界条件（位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件）表达式的导出，即Yxy1()_V一voExy1()—V一voEyx2(1+v)Txyxxy*V8)y*V8)yx=GYxy=諾爲1-V2丄c1-V2Sff+s„=s5~6学时完成对上述变量方程表达式的矩阵化变分法和能量变分的讲授，其中要讲清楚变分的概念。7~8学时完成对变分、变分法和变分原理的讲授，其中要讲清楚泛函的变分与函数的微分之间的相似和本质区别，举例说明之。弹性体的变形能和外力做功符号相反的原因，以及它们也是位移函数的泛函的道理。第10章弹性力学平面有限元法1．重点①单元刚度矩阵和结构整体刚度矩阵；②弹性体总位能的矩阵表达式及其变分原理；有限元基本方程；等效化结点载荷和引入位移边界条件的方法。2．难点①单元刚度矩阵的导出和结构整体刚度矩阵的装配合成。3．教授方案本章8学时要分成4部分使用，1~2学时完成对弹性力学平面问题的有限元法应力矩阵的推导，其中要讲清楚单元结点划分和单元与结点序号之间的关系，单元结点位移的概念及其列矩阵的表达方式，广义坐标中间变换，位移形函数矩阵，应变矩阵和应力矩阵；3~4学时完成对单元能量矩阵表达式和单元刚度矩阵等内容的讲授；5~6学时完成对单元矩阵的扩充和结构整体刚度矩阵的推导；7~8学时完成对有限元方程的推导，边界条件引入，结构整体刚度矩阵的修改和结点整体等效载荷的计算方法，并分析一个受集中力作用的三角形平板计算实例的求解过程（见图1）。图1第十一章杆件结构有限元法1．重点①局部坐标下的平面杆件单元刚度矩阵；②坐标变换和结构整体刚度矩阵；2．难点①局部坐标下单元刚度矩阵的建立；②结构整体刚度矩阵的建立。3．教授方案本章4学时要分成两部分使用，1学时完成对结构单元概论对于杆件形式的结构体，通过引入一定的条件假设，并划分有限数量的单元和结点，就可得到与解析解相一致的有限元解，因为杆系结构在几何上具有两个方向的尺度比其他方向小得多的特点，在分析中可以在其变形和应力方面引入一定的假设，使杆件简化为一维问题，从而方便问题的求解。2~4学时完成对平面杆件系统的有限元法的讲授，其中要讲清楚，平面杆系的几何形状及受力变形均在同一平面内（图2），每根杆件通过结点与其他杆件连接，杆件为等截面体，且截面尺寸远小于杆轴线长，杆件承受轴力和弯曲的联合作用，处于合成应力状态，杆系结构的有限元法一般以整根杆件为单元（即杆单元），因此单元和结点数量远少于平板问题。图2每个杆单元的两端各有三个位移，即沿x,y方向的线位移u,v和绕z轴的角位移0,两端共有位移6个，合写为杆单元结点位移列阵形式为ueveiuejveue因此，单元刚度矩阵应该是一个6阶矩阵（与平面三角形单元刚度矩阵同阶），即KKKKKK111213141516KKKKKK212223242526KKKKKK313233343536KKKKKK414243444546KKKKKK515253545556KKKKKK616263646566单元刚度矩阵任一元素Kij的物理意义为：第j个结点单位位移所引起的第i个结点力。由此可以导出杆单元刚度矩阵为[EA,0EA00T012EI6EI012EI6EJZ3I2I3厂4ET06E72EI1I21对EA00称12EII36E/I24EI1由于杆系内各单元的局部坐标的方向各不相同，在进行结构分析时，需要建立统一的总体坐标系，图3为总体坐标系内的杆单元总体坐标系用x，y表示，局部坐标系用x,y表示，单元刚度矩阵需要通过坐标转换，得到它们在总体坐标系内的表达式。由于基本末知量是结点位移，只要建立结点位移向量由局部坐标系到总体坐标系的转换关系，其他向量或矩阵的转换关系都可由此而导出，在完成全部单元局部刚度矩阵的转换之后，就可以按照弹性力学平面问题有限元的做法，经“对号入座”组合成总体刚度矩阵。引入边界条件的做法与前面完全一样，最后得到一个可以求解的有限元方程组。刚架计算实例【例1】计算某货轮仓肋骨刚架（图4）。已知：L]2=L34=6.6m,L23=3.0m，L35=8.1m；I12=0.000451m4，I23=0.00006655m4，I34=0.000086m4，I35=0.000252m4；q1=44.15kN/m，q2=22.07kN/m，q5=81.27kN/m；E=20.58xl07kN/tfo【解】输入数据5，4，4，5，0，1020.58e70.011.11.06.62.011.13.06.64.08.15.00.08.16.06.67.00.01e8，0.0004511e8，0.000066551e8，0.0000861e80.000252213224335341103421103131103141103451111411-44.156.61425021422.073.02350417504015-504155041650614350414781.7222.072【例2】计算图5示单跨三层刚架。已知所有的截面积A=0.15惯性矩I=0.00315m4；所有柱的截面积A=0.18惯性矩I=0.0054zzm4；均布荷载集度q=5kN/m，集中荷载F=10kN。试绘制该刚架的内力图。【解】输入数据：8,9,2,2,3,320.58e70.0,10.0,6.0,10.0,0.0,7.0,6.0,7.0,0.0,4.0,6.0,4.00.0,0.0,6.0,0.00.18，0.0054，0.15，0.00312531142153164175186112234256211114811114110.002310.0021000271-5.06.011-5.06.011-5.06.01结点和单元划分：【例3】平面应力问题有限元法计算实例，计算一矩形平面孔板承受沿两个对边均布拉力作用时的应力和位移情况。板的尺寸1200X800俪，开孔直径200mm,平板厚度10mm,弹性模量19.62KN/mm2,泊松比0.3。【解】由于几何形状和载荷关于孔板中心对称，故可只取板的四分之一为计算模型,如图5所示。其上划分了255个结点,448个三角形单元，由计算结果给出的结点位移图如图6所示。1200图7对称平面孔板的有限元法计算模型图6平面孔板的有限元法计算实例图8平面孔板模型的结点位移结果藝I閘wi复习和练习题第8章叙述有限单元法的概念。叙述加权余量方法的概念。8.3叙述变分的概念8.4描述Marc程序求解有限元问题的一般步骤。第9章论述弹性力学方法和材料力学方法的异同之处。写出弹性力学平面问题的8个基本变量和8个基本方程，并转换为矩阵形式。试论述在弹性体总位能中，弹性形变能与外力做功符号相反的依据。写出弹性力学平面问题的总位能表达式，并转换为矩阵形式。第10章什么是广义坐标？什么是位移形函数？两者之间有什么关系？试说明单元刚度矩阵和结构整体刚度矩阵元素的物理意义。如何通过最小位能原理建立有限元求解方程？试说明有限元分析的基本步骤是什么？结构整体刚度矩阵和载荷列阵的集成实际是如何进行的？10.6设有对角受压的边长为2m的正方形板如图10-l(a)所示。为简化计算，设U=0,板厚t=lcm，荷载沿厚度均匀分布，为200N/Cm。利用对称性，取四分之一部分作计算对象，将其离散为四个三角形单元，如图10-1(b)所示。求各节点位移与各三角形单元的应力。200N/cm200N/cm(a)(b)图10-1对角受压方板10.7图10-2(a)所示为一高深悬臂梁，材料弹性模量为E、泊松比V=1/3,悬臂梁的厚度(板厚)为t,其离散化有限元模型如图10-2(b)所示，试写单元①和单元②的刚度矩阵第11章11.1什么是杆结构单元？在几何特征上有哪些特点？力学分析中如何利用这些特点？11.2杆结构单元和实体单元有何区别？在有限元分析中各有什么方便之处和不方便之处？平面杆单元包含多少结点自由度，如何形成各自的单元刚度矩阵？11.5试运用有限元软件Marc计算图11-1所示单跨三层刚架。已知所有的截面积A=0.15tf,惯性矩I=0.00315m4；所有z柱的截面积A=0.18惯性矩I=0.0054m4；均布荷载集z度q=5kN/m，集中荷载F=10kN。试绘制该刚架的内力图。