§7.7.2圆的方程(2)高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com
一.课题:圆的方程(2)
二.教学目标:1.能判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系;
2.会根据已知条件,求圆的方程或圆的切线方程.
三.教学重点:根据条件求出圆的标准方程或圆的切线方程.
四.教学难点:求圆的标准方程.
五.教学过程:
(一)复习引入:
1.圆的标准方程
;
2.平面几何中判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的方法.
(二)新课讲解:
1.提出问题:
(1)已知点
的坐标和圆
的方程,如何判断点
在圆内、圆上、圆外? ...
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一.课题:圆的方程(2)
二.教学目标:1.能判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系;
2.会根据已知条件,求圆的方程或圆的切线方程.
三.教学重点:根据条件求出圆的
方程或圆的切线方程.
四.教学难点:求圆的标准方程.
五.教学过程:
(一)复习引入:
1.圆的标准方程
;
2.平面几何中判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的方法.
(二)新课讲解:
1.提出问题:
(1)已知点
的坐标和圆
的方程,如何判断点
在圆内、圆上、圆外?
比较点
到圆心的距离和半径的大小.
(2)已知直线
和圆
的方程,如何判断直线
和圆
是相交、相切、相离?
比较圆心到直线的距离与半径的大小;
将直线方程和圆方程联立方程组,判断方程组的解的个数.
(3)已知圆
和圆
的方程,如何判断它们是相交、相切、内含、外离?
比较圆心距与两半径和、半径差.
(三)例题分析:
例1.已知直线
过点
,且与圆
:
相交,求直线
的倾斜角
的取值范围。
(学生思考后口答或板演,探索不同解法)
解法一:设直线
的方程为
,即
,
∵直线
与圆
相交,∴圆心
到直线
的距离小于半径,
即
,化简得
,∴
,即
,
当
时,
;当
时,
,
所以,
的取值范围是
.
解法二:设直线
的方程为
,
由
消去
得:
,
∵直线
与圆
相交,∴
,
化简得
,(以下同解法一).
说明:(1)涉及直线与圆的位置关系的问题,常可运用以上两种方法;
(2)本题若改为选择题或填空题,也可利用图形直接得到
.
例2.已知圆的方程是
,求经过圆上一点
的切线方程.
解:当点
不在坐标轴上时,设切线的斜率为
,半径
的斜率为
,
∵圆的切线垂直于过切点的半径,∴
,又∵
,∴
,
∴经过点
的切线方程是
,
整理得:
,
又∵点
在圆上,∴
,
∴所求的切线方程是
.
当点
在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样适用.
例3.求过点
,且与圆
相切的直线
的方程.
解:设切线方程为
,即
,
∵圆心
到切线
的距离等于半径
,
∴
,解得
,
∴切线方程为
,即
,
当过点
的直线的斜率不存在时,其方程为
,圆心
到此直线的距离等于半径
,
故直线
也适合题意。
所以,所求的直线
的方程是
或
.
例4.已知一圆与
轴相切,在直线
上截得的弦
长为
,圆心在直线
上,
求此圆的方程.
解:∵圆心在直线
上,∴设圆的方程为
,
∵圆与
轴相切,∴
, 又圆心到弦
的距离为
,
∴
,∴
,
,
所以,所求的圆方程为
或
.
说明:(1)求圆的方程,常用待定系数法,要注意用部分条件设方程(少设未知数),再用其余的条件求待定的系数;
(2)要十分重视平面几何知识在解题中的运用.
六.小结:1.求圆的切线方程的常用方法;
2.求圆的标准方程常用待定系数法.
七.作业:课本第88页复习参考题第23题,
补充:
1. 过点
且与圆
相切的直线的方程是 .
2. 已知圆
:
,求圆的在两坐标轴上截距相等的切线方程.
3. 过圆
外一点
作直线与圆相交于
、
两点,求弦
的中点
的轨迹方程.
4. 已知一圆与直线
切于点
,且截
轴所得弦长为
,求圆的方程.
5. 求经过点
,且与直线
、
都相切的圆的方程.
� EMBED Equation.DSMT4 ���
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