null4.2 函数的凸性与拐点4.2.1 凸(凹)函数的概念定义4.2 函数的凸性与拐点注意:
(1)曲线在切线的上方.(2)切线的斜率增加.null注意:
(1)曲线在切线的下方.(2)切线的斜率减少.例1.例1.
一:用定义4.2.2 函数凸性的充分条件和必要条件
定理7(一阶充分条件)4.2.2 函数凸性的充分条件和必要条件
定理7(一阶充分条件)null由拉格朗日中值定理,证明:定理8(二阶充分条件)定理8(二阶充分条件)方法二:用一阶充分条件(一阶导数的单调性)例1.证明证明:由泰勒公式得:证明两式相加,得null例1.例1.方法三:用二阶充分条件(二阶导数的符号)例2.例2.例3.例3.证明:定理9 函数凸(凹)的必要条件
(注意与定理8的区别)定理9 函数凸(凹)的必要条件
(注意与定理8的区别)证明证明证明(2):4.2.3 凸函数的性质及其几何意义:4.2.3 凸函数的性质及其几何意义:几何意义:凸函数图形在任一点处切线的上方.几何意义:凹函数处曲线在切线的下方.可用来证明不等式.证明证明证明:由泰勒公式例4.例4.由性质1,当-1
题例如:解:不一定.null练 习 题nullnullnull