计算圆周率的数值实验
计算圆周率的数值实验
(2006-9-6)
对于圆周率π 的计算一直是数学家感兴趣的事,在我国古代,祖冲之曾计算出了当时
最好的结果。阿基米德也曾利用圆的外接正多边形逼近圆,从而得到π 的近似值。
用正多边形逼近圆,利用周长或面积近似值计算圆周率。考虑半径为 R=0.5 的圆内接
正多边形周长问题。由于正 n边形边长为
n2
2sin πln 5.02
1 =
所以正 n边形周长为
n
πnLn sin=
)2/cos(
)/sin(
2 n
nn
n π
ππ =sin2...
计算圆周率的数值实验
(2006-9-6)
对于圆周率π 的计算一直是
家感兴趣的事,在我国古代,祖冲之曾计算出了当时
最好的结果。阿基米德也曾利用圆的外接正多边形逼近圆,从而得到π 的近似值。
用正多边形逼近圆,利用周长或面积近似值计算圆周率。考虑半径为 R=0.5 的圆内接
正多边形周长问
。由于正 n边形边长为
n2
2sin πln 5.02
1 =
所以正 n边形周长为
n
πnLn sin=
)2/cos(
)/sin(
2 n
nn
n π
ππ =sin22 nL n =
所以有递推公式
)2/cos(/2 nLL nn π= , 2/))/cos(1()2/cos( nn ππ +=
当 n=3时,计算初值
2/33)3/sin(33 == πL , 2/1)3/cos( =π
考虑 192边的正多边形和 384边的正多边形计算。利用初值使用递推公式得数据
边数 近似值 误差
192 3.141452472285462e+000 1.401813043311329e-004
384 3.141557607911858e+000 3.504567793566338e-005
3.141592653120656e+000 4.691371735532357e-010
最后一行数据利用了组合外推公式:
3
4ˆ 192384
384
LL
L
−=
获得更高的精度。MATLAB程序如下
n=3;c=1/2;
L=3*sqrt(3)/2;
while n<384
c=sqrt((1+c)/2);
L1=L/c;
L2=(4*L1-L)/3;
L0=L;L=L1;
n=2*n;
end
format long e
error0=abs(L0-pi);
error1=abs(L1-pi);
error2=abs(L2-pi);
[L0,error0;L1,error1;L2,error2]
练习:进一步应用组合外推公式
15
ˆˆ16~ 192384
384
LL
L
−= 计算,观察数据结果和误差。
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