误差理论与数据处理费业泰

《误差理论与数据诲勇练习IT支持.第一章绪论1-7用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa,该压力用更准确的办法测得为100.5Pa,问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的绝对误差=测得值一实际值=100.2—100.5=—0.3(Pa)。相对误差J志x100%…0.3%1-9使用凯特摆时，g由g=4n2(h+h)/T2给定。今测出长度(h+h)为(1.042301212±0.00005)m,振动时间T为(2.0480±0.0005)s。试求g及其最大相对误差。如果(h+h)测出为(1.04220±0.0005)m,为了使&的误差能小于0.001m/s2,T的测量必须精确到多少?【解】测得(h+h)的平均值为1.04230(m),T的平均值为2.0480(s)。由E|三f|得：||(h+h)||IlM+h)||Ia^||h=h+h||当］12I有微小变化］121T右,—I■变化时Al12I、T,g的变化量为：I团I的最大相对误差为：如果［约当)|测出为(1.04220土0.0005)m,为使g的误差能小于0.001m/s2，即：||Ag<0.001］出即Ag=怦［A(h+h)-叶(h+h)］<0.001也即］T212T12求得：［IAT<0.00055(s)||1-10.检定2.5级(即引用误差为2.5%)的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值误差2V为最大误差，问该电压表是否合格？【解】引用误差=示值误差/测量范围上限。所以该电压表的引用误差为：,=U=—=2%mU100由于:2%<2.5%△所以该电压表合格。1—13多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.1km,优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高？解：■0.00001=0.001%^也边=0.0002=0.002%多级火箭的相对误差为：01射手的相对误差为：-'多级火箭的射击精度高厂=-附加1—1测得某三角块0三个角度之和为1800)0’02”，试求测量的绝对误差和相对误解：绝对误差等于：180。00'02"-180。=2”相对误差等于：2“2"2"——===0.00000308641就0.000031%180。180x60x60"648000"第二章误差的基本性质与处理2-2.试述单次测量的标准差和算术平均值的标准差EI两者物理意义和实际用途有何不同?【解】单次测量的标准差IQ表征同一被测量n次测量的测量值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。，当算术平均值的标准差是表征同一被测量各个独立列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准［^^在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的测量次数n愈大时，算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。2-3.试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在|「皿。，+岳一|中的概率。【解】（1）误差服从正态分布时引入新变量tj:室'=的］,经变换上式成为：（2）误差服从反正弦分布时因反正弦分布的标准差为:故:r=X/2［所以区间II妫，+岳］=［（3）误差服从均匀分布时因其标准差为:所以区间，2-4,测量某物体重量共8次，测得数据（单位为g）为236.45,236.37,236.51，236.34,236.39,236.48，236.47，236.40，求其算术平均值及其标准差。［解］①选参考值IH2360列于表中。，计算差值回和残差回或依算术平均值计算公式，n=8，直接求得:x--^^x-236.43(g)二1②计算标准差：用贝塞尔公式计算:2—6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA）为168.41，168.54,168.59,168.40,168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。解:2—7在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据（单位为mm）为20.0015,20.0016,20.0018,20.0015,20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。解：求算术平均值乎l求测量列单次测量的标准差_…'二20.0015mmX—1—1n用贝塞尔公式计算:A；-i—1n—126x10-8—2.55x10-4mm4用别捷尔斯公式计算:b'—1.253."=—1.2530.0008—2.24x10-4mmv'n(n—1)<5x4求算术平均值的标准差求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差做法1:因n=5较小，算术平均值的极限误差应按t分布处理。文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.现自由度为：v=n—1=4；a=1—0.99=0.01,查t分布表有:EI=4.60单次测量的极限误差：算术平均值的极限误差：TOC\o"1-5"\h\z⑥写出最后测量结果T__C),L=x+5x='20.0015土5.24x10-^mmHYPERLINK\l"bookmark96"\o"CurrentDocument"做法2:lim因假设测量值服从正态分布，并且置信概率P=2①(t)=99%，则中(t)=0.495,查正态分布积分表，得置信系数l^261单次测量的极限误差：算术平均值的极限误差：⑥写出最后测量结果2-10用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差o=0.001mm，若要求测量的允许极限误差为±0.0015mm，而置信概率P为0.95时，应测量多少次？解：根据极限误差的意义，有根据题目给定得已知条件，有查教材附录表3有若n=5，v=4，a=0.05，有t=2.78，若n=4，v=3，a=0.05，有t=3.18，即要达题意要求，必须至少测量5次。2-11已知某仪器测量的标准差为0.5um。①若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为26.2025mm，试写出测量结果。②若重复测量10次，测得值(单位为mm)为26.2025,26.2028，26.2028，20.2025，26.2026，26.2022，20.2023，26.2025，26.2026，26.2022，试写出测量结果。③若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中10次重复测量的测量值，写出上述①、②的测量结果。解：①单次测量的极限误差以3。计算：所以测量结果可表示为：26.2025±0.0015(mm)②重复测量10次，计算其算术平均值为：x二寸°x=26.2025(mm)i=1取与①相同的置信度，算术平均值的标准差：。x方="585I",x=±3a_=±3x1.58x10~4=4.74x164a5x10^4Immlx±3d=26.2025=0.000：则测量结果为：IIx1JI(mm)选参考值[*=26.20|，计算差值文档来源为:从网络收集整理qord版本可编辑.欢迎下载支持.华王"叫回和残差|]等列于表中。用贝塞尔公式计算:寸乙V2.i'42X10-8=2.2x10-4mm10-1算术平均值的标准差:。_=兰=2.2绊4=0.00007mmx-Jn<10取与①相同的置信度，则测量结果为：IE土*1此时①的测量结果为||26.2°25±3x。.°°°22=26.2025土。.°°°66=26^025^^］（响②的测量结果为||26.2025土3X。.000°7=26.2025土。.0002^26如5土。.0002|［（响2-13测量某角度共两次，测得值为a=24°13’36”，a=24°13’24”，其标准差分别为。=3.1”，。=13.8”，试求加权算术平均值及其标准差。【解】已知各组测量的标准差，可确定各组的权。取4=19044乙=961选取F0=24°1336，可由公式直接计算加权算术平均值和标准差:加权算术平均值的标准差的计算，先求两测量结果的残余误差:算术平均值的标准差为:2-15.试证明n个相等精度测得值的平均值的权为n乘以任一个测量值的权。【证明】因为等精度测量，可设n个测得值的标准差均，且其算术平均值的标准差为：RTI又设各测量值的权相等均值的权为回，则:即:p=p二…二p二…二p。n个相等精度测得值的平n个相等精度测得值的平均值的权与各测得值的权\p（i=1,2.^|||p:p=_£」=n・L=n：1|叶』的比为片叫b：W2bWn|2-17对某量进行10次测量，测得数据为14.7,15.0，15.2,14.8,15.5,14.6,14.9,14.8,15.1,15.0,试判断该测量列中是否存在系统误差。解：先计算算术平均值：［^三至6!。各测量数据的残余误差分别为:根据残余误差观察法：计算出的残余误差符号正负个数相同，且无显著变化规律，因此可判断该测量列无变化的系统误差存在。令：1②采用不同公式计算标准差比较法。按贝塞尔公式:用别捷尔斯法计算:0.2640.263__.————0.667＞〉日—0.004,.,.八、八因为：Jn一1J10—1，故无根据怀疑测量列存在系统误差。③（马利科夫准则）按残余误差校核法：前5个残余误差和与后5个残余误差的差值△为两部分之差显著不为0，则有理由认为测量列中含有系统误差。④阿卑-赫梅特准则所以测量列中含有周期性系统误差（为什么会得出互为矛盾的结论？问题出在本题给出的数据存在粗大误差----这就提醒我们在判断是否有系统误差前，应先剔除粗大误差，然后再进行系统误差判断。）2-18、对某一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后4次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH）：50.82,50.83,50.87,50.89；50.78,50.78,50.75,50.85,50.82,50.81试判断前4次和后6次测量中是否存在系统误差。【解】将两组数据混合排列，用秩和检验法有:所以有根据怀疑存在系统误差2-19等精度测得某一电压10次，测得结果（单位为V）为25.94,25.97,25.98,26.01，26.04,26.02,26.04,25.98,25.96,26.07。测量完毕后，发现测量装置有接触松动现象，为判明是否因接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新做了10次等精度测量，测得结果（单位为V）为25.93,25.94,25.98,26.02,26.01,25.90,25.93,26.04,25.94,26.02。试用t检验法（取a=0.05）判断两组测量值之间是否有系统误差。【解】计算两组测量结果的算术平均值：由v=10+10-2=18及取a=0.05，查t分布表，得|匕^2]|因14T.48V/2.1|，故无根据怀疑两组数据间存在线性系统误差。2-20.对某量进行了12次测量，测得数据为20.06,20.07,20.06,20.08,20.10,20.12,20.11,20.14,20.18,20.18,20.21,20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差。【解】先计算算术平均值：*='气=20,125。各测量数据的残余误差分别为：根据残余误差观察法：计算出的残余误差有规律地递增，在测量开始与结束时误差符号相反，故可判断该测量列存在线性系统误差。（马利科夫准则）按残余误差校核法：前6个残余误差和与后6个残余误差的差值△为两部分之差显著不为0,则有理由认为测量列中含有线性系统误差。采用不同公式计算标准差比较法。按贝塞尔公式:£V20.0321i0.054b112—11b£v2n一112—1用别捷尔斯法计算:b=1.253i=1.2530.55z=0.0612x11220.11R0.603>n—1<12—1n—1<12—12.2=0.603>r=0.11④阿卑-赫梅特准则故无根据怀疑测量列存在系统误差。因为：■I*1，所以测量列中含有周期性系统误差（又出现互为矛盾的结论，如何解释呢？）文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.21对某量进行两组测量，测得数据如下：X.0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.301.341.391.411.57y.0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。解：按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成下表:T123456789101112131415X.0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.30y.0.991.121.211.25T161718192021222324252627282930X.1.341.391.411.57y.―-4~~1.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95T=1+2+5+6+7+8+9+10.5+12+14+15+18+20+21.5+25=174n-n=15〉1012，秩和T近似服从正态分布，n(n+n+1),'nn(n+n+1)N(~12八，—^2~12)12a-(〃1(〃1+J】))-232.5…(n1n2(n1+n2+1)-24.11Y12求出:选取概率\西亘国|，即||胞』|,因此，可以认为两组数据间有系统误差。8(t)=0.475，查教材附表1有|t-1.96IIt-1.961[Ia。由于选取置信概率99%（显著度0.01）,即取丝1二0竺11-2.60，由附录表1查得：a1。t\-2.43报告

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