曲线积分及格林公式(包括第一、二类曲线积分-图文并茂-自学必备)

第九章曲线积分与曲面积分curvillnearintegralandsurfaceintegral问题的提出对弧长的曲线积分的概念几何意义与物理意义对弧长的曲线积分的计算小结思考题作业第一节第一类曲线积分第十章曲线积分与曲面积分一、问题的提出实例匀质之质量分割求和取极限取近似曲线形构件的质量近似值精确值对弧长的曲线积分二、对弧长的曲线积分的概念1.定义设L为xOy面内一条光滑曲线弧,在L上有界.作乘积并作和如果当各小弧段的长度的最大值对弧长的曲线积分在L上任意插入一点列把L分成n个小段.设第i个小段的第i个小段上任意取定的①②③长度为一点,④曲线形构件的质量即这和的极限存在,则称此极限为在曲线弧L对弧长的曲线积分或第一类曲线积分.积分和式被积函数弧元素积分弧段记作对弧长的曲线积分注意:被积达式都定义在曲线上,即满足曲线的方程.2.存在条件3.推广对弧长的曲线积分连续,对弧长的曲线积分为对弧长的曲线积分注意闭曲线L上对弧长的曲线积分记作(对路径具有可加性)对弧长的曲线积分4.性质(1)(2)(3)与积分路径的方向无关,即⌒⌒对弧长的曲线积分在一条光滑(或分段光滑)的是L上关于x的奇函数是L上关于x的偶函数L1是曲线L落在y轴一侧的部分.在问题和算题时常用的L关于x=0对称,补充对称性质曲线L上连续,则当(或y)(或y)当(或y=0)(或x)运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时,应同时考虑被积函数与积分曲线L的对称性.对弧长的曲线积分例其中L是圆周解因积分曲线L关于被积函数x是L上被积函数因积分曲线L关于对称性,计算得是L上x=0对称,关于x的奇函数y=0对称,关于y的奇函数对弧长的曲线积分三、对弧长曲线积分的计算定理其中且有定义且连续,具有一阶连续导数,解法化为参变量的定积分计算对弧长的曲线积分注意对弧长的曲线积分要求(1)化为定积分的下限一定要小于上限(2)积分值与曲线方向无关.特殊情形(1)对弧长的曲线积分(2)(3)对弧长的曲线积分特殊情形推广或此时需把它化为参数方程再按上述方法计算.对弧长的曲线积分为参数),例1解例2解对x积分?对弧长的曲线积分例3解⌒⌒⌒对弧长的曲线积分得解此题时也可用故⌒对弧长的曲线积分对称性质例4解由于有对弧长的曲线积分的方程中的x,y,z的地位完全对称,例5曲线是中心在的上半圆周.求对弧长的曲线积分提示:用极坐标几何意义(1)(2)对弧长的曲线积分四、几何意义与物理意义柱面面积弧长解设下半圆周的参数方程则对弧长的曲线积分通过几何直观,还有更简单的方法吗?例6求椭圆柱面介于xoy平面与空间曲面之间部分的面积.提示:物理意义对弧长的曲线积分例6已知螺旋形弹簧一圈的方程:弹簧上各点处的线密度等于该点到原点距离的平方,求(1)它的质量;(2)它的重心;(3)它关于z轴的转动惯量.对弧长的曲线积分对弧长曲线积分的概念对弧长曲线积分的计算公式对弧长曲线积分的应用对弧长的曲线积分五、小结(四步:分割、取近似、求和、取极限）(弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式)(曲线的质量、质心、转动惯量、引力)思考题是非题对弧长的曲线积分,当利用参数方程化为定积分计算时,不管起点还是终点,其下限为较小端点的参数值,上限为较大端点的参数值.是对弧长的曲线积分作业习题9.1(170页)2.(4)4.1.2.对弧长的曲线积分第二节第二类曲线积分-------向量值函数在定向曲线上的积分一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的计算三、两类曲线积分之间的联系问题的提出实例:变力沿曲线所作的功常力所作的功分割求和取极限近似值精确值一、对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）的概念1.定义类似地定义2.存在条件：3.组合形式为简便起见或者向量形式4.推广5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.(1)线性性质二、对坐标的曲线积分的计算定理证明:下面先证根据定义对应参数设分点由于对应参数因为L为光滑弧,同理可证特殊情形例1:解:例2:解:或本题结论：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.例3:解:本题结论：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.三、两类曲线积分之间的联系：其中当L的方向是t增加的方向时取正号，是t减少的方向时取负号。类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是令记A在t上的投影为例4.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周若改成从小结1、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系思考题答：曲线方向由参数的变化方向而定.一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积§10.3格林公式及其应用上页下页铃结束返回首页一、格林公式单连通与复连通区域区域的边界曲线的方向当观察者沿区域D的边界曲线L行走时如果左手在区域D内则行走方向是L的正向单连通区域复连通区域下页设D为平面区域如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D则称D为平面单连通区域否则称为复连通区域定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成函数P(xy)及Q(xy)在D上具有一阶连续偏导数则有其中L是D的取正向的边界曲线>>>——格林公式定理证明应注意的问题:对复连通区域D格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分且边界的方向对区域D来说都是正向下页提示格林公式:用格林公式计算区域的面积下页设区域D的边界曲线为L则在格林公式中令PyQx则有格林公式:用格林公式计算区域的面积例1求椭圆xacosqybsinq所围成图形的面积A设区域D的边界曲线为L则解设L是由椭圆曲线则下页提示:因此,由格林公式有下页格林公式:用格林公式计算二重积分为顶点的三角形闭区域解因此,由格林公式有下页格林公式:用格林公式计算二重积分为顶点的三角形闭区域解用格林公式求闭曲线积分令P2xyQx2则证因此由格林公式有下页格林公式:例3设L是任意一条分段光滑的闭曲线证明提示解下页不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向当(00)D时由格林公式得记L所围成的闭区域为D当x2y20时有在D内取一圆周lx2y2r2(r>0)不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向当(00)D时解记L所围成的闭区域为D记L及l所围成的复连通区域为D1应用格林公式得其中l的方向取顺时针方向于是二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关下页设G是一个开区域P(xy)、Q(xy)在区域G内具有一阶连续偏导数与路径无关否则说与路径有关如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2等式二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关这是因为设L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线则L1(L2-)是G内一条任意的闭曲线而且有下页二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关定理2(曲线积分与路径无关的判断方法)下页>>>定理证明应用定理2应注意的问题(1)区域G是单连通区域(2)函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立下页讨论设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向问是否一定成立？提示>>>解这里P2xyQx2选择从O(00)到A(10)再到B(11)的折线作为积分路线物线yx2上从O(00)到B(11)的一段弧首页三、二元函数的全微分求积表达式P(xy)dxQ(xy)dy与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个函数的全微分那么在什么条件下表达式P(xy)dxQ(xy)dy是某个二元函数u(xy)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？二元函数u(xy)的全微分为du(xy)=ux(xy)dxuy(xy)dy下页原函数如果函数u(xy)满足du(xy)=P(xy)dxQ(xy)dy则函数u(xy)称为P(xy)dxQ(xy)dy的原函数.定理证明下页>>>设函数P(xy)及Q(xy)在单连通域G内具有一阶连续偏导数则P(xy)dxQ(xy)dy在G内为某一函数u(xy)的全微分的充分必要条件是等式在G内恒成立定理3求原函数的公式下页解这里因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数且有是某个函数的全微分取积分路线为从A(10)到B(x0)再到C(xy)的折线半平面内是某个函数的全微分并求出一个这样的函数则所求函数为下页结束例7验证在整个xOy面内xy2dxx2ydy是某个函数的全微分并求出一个这样的函数这里Pxy2Qx2y解因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数且有所以在整个xOy面内xy2dxx2ydy是某个函数的全微分取积分路线为从O(00)到A(x0)再到B(xy)的折线则所求函数为