八年级数学上册 第十四章 勾股定理教案 华东师大版 【精编】

八年级数学 第十四章 勾股定理 华东师大版 【精编】 《勾股定理》教学 一、地位与作用: 这节课所用的教材是华东师大版本《义务教育课程标准实验教科书》，本课讲授的是第十四章《勾股定理》的内容。勾股定理的内容是全章内容的重点、难点，它的地位作用体现在以下三个方面: 1、勾股定理是学习锐角三角函数与解直角三角形的基础，学生只有正确掌握了勾股定理的内容，才能熟练地运用它去解决生活中的测量问题。 2、本章“勾股定理”的内容在本册书中占有十分重要的地位，它是学习斜三角形、三角函数的基础，在知识结构上它起到了承上启下的作用，为学生的终生学习奠定良好的基础。 3、“勾股定理”的内容在航空、航海、工程建筑、机械制造、工农业生产等各个方面都有着广泛的应用，并与生活息息相关。 二、教学目标: 1、理解并掌握勾股定理，能运用勾股定理根据直角三角形的两条边求第三条边，并能解决简单的生活、生产实践中的问题，能设计不同的情境验证勾股定理的正确性。 2、体验勾股定理的探索过程，通过勾股定理的应用培养方程的思想和 逻辑推理能力以及解决问题的能力。 3、通过对实际问题的有目的的探索和研究，体验勾股定理的探索活动充满创造性和可操作性，并敢于面对数学活动中的困难，运用已有知识和经验解决问题，激发学好数学的自信心。 三、教学重点:勾股定理的证明及应用 四、教学难点:学生数学语言的运用 五、教学媒体的选择与使用:多媒体 六、课前准备:学生准备好四个全等的直角三角形。 七、分课时教学过程设计: ?14.1.1 直角三角形三边的关系 【教学目标】 一、知识目标 1.在探索基础上掌握勾股定理。 2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。 二、能力目标 1.已知两边，运用勾股定理列式求第三边。 2.应用勾股定理解决实际问题(探索性问题和应用性问题)。 3.学会简单的合情推理与数学说理，能写出简单的推理格式。 三、情感态度目标 学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。 【重点难点】 重点:在直角三角形中，知道两边，可以求第三边。 难点:应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。 疑点:灵活运用勾股定理。 【教学设想】 课型:新授课 教学思路:探索结论-验证结论-初步应用结论-应用结论解决实际问题。 1 用心 爱心 专心 【课时安排】2课时。 【教学设计】 第一课时 勾股定理 【本课目标】 1(在探索基础上掌握勾股定理。 2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。 【教学过程】 1.情境导入 以国际数学家大会的会徽和地转反映的直角三角形边的关系引入勾股定理。 2.自学指导: (1)、阅读教材48-49页，探索勾股定理的推导过程。 (2)、找出勾股定理的内容, 3、合作探究 (1)整体感知 由观察课本中图14.1.1和图14.1.2入手得出勾股定理;通过在图14.1.3中动手操作证实勾股 定理;通过对本课本第50页例1的探索求解巩固勾股定理。 (2)四边互动 互动1: 师:你们能数出图14.1.1中三块面积P、Q、R的数值吗,数数看. 生:根据图形进行操作( 由此得出:以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形 的面积。 S，S,SPQR 师生共同归纳: ,即两直角边的平方和等于斜边的平方. 互动2: 师:你们能数出图14.1.2中三块面积P、Q、R的数值吗,数数看( 生:根据图形进行操作( 由此得出:以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形 的面积( S，S,SPQR师生共同归纳, ,即两直角边的平方和等于斜边的平方( 互动3: 师:由上述操作你发现了一般规律了吗, 生:略 明确:在一个直角三角形中:两直角边的平方和等于斜边的平方。 互动4: 2 用心 爱心 专心 师:展示课本中图14.1.3. 师:在上图中画出直角三角形ABC，用直尺量量斜边是多长好吗, 生:每人画出一个三角形，并动手测量后在小组中交流讨论，然后举手回答问题。 222a，b,c明确:师生合作通过操作证明勾股定理:. 例1 .在Rt?ABC中，?,=90?. (1) 已知:a=6，,=8，求c; (2) 已知:a=40，c=41，求b; (3) 已知:c=13，b=5，求a; (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b. 例2:如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长 为2.16米， 求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.(精确到0.01米) 师:你会用勾股定理解这道题吗,试试看 生:操作后相互交流。 明确:在一个直角三角形中:两直角边的平方和等于斜边的平方。 注:在实际问题中往往需要求取近似值。 解: 在Rt?ABC中?ABC=90?, BC=2.16, CA=5.41, 根据勾股定理得 2222AB,AC,BC,5.41,2.16 ?4.96(米) 4、达标反馈 (1)、求出下列直角三角形中未知边的长度。 24 X 6 x 25 8 (2)、已知:Rt?,BC中，AB,,，AC,,,则BC的长为 B B 4 4 5、学习小结 A C A C 3 3 (1)内容总结 直角三角形三边满足勾股定理:两直角边的平方和等于斜边的平方。 注意:应用勾股定理时应特别注意哪个角是直角。 (2)方法归纳 让学生经历观察、操作、交流合作、合理猜想等体验吸取知识。 3 用心 爱心 专心 6、实践活动:利用勾股数确定直角的方法在测量中的应用，如测量河宽时可用勾股数确定直角，再利用直角三角形知识解决实际问题。 7、巩固练习: (1)、课本55页第2、3题。 (2)、查阅有关勾股定理的历史资料。 (3).(选做) 已知等腰直角三角形斜边的长为2cm，求这个三角形的周长, 【板书设计】 14.1.1勾股定理 1.以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的 面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。 2.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 投影幕 第二课时 验证勾股定理 【本课目标】 1.通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正确性。 2.通过实例应用勾股定理，培养学生的知识应用技能。 【教学过程】 1.情境导入 问题:如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c,那么这三边a、b、c有什么关系呢,勾股定理揭示了直角三角形的边与边的关系，那么如何证明这个定理呢, 2、课前热身(自学指导) (1). 阅读教材51-52页，试用两种方法表示大正方形的面积，得出结论。 (2).注意应将例题中的实际问题转化为数学问题，抽象出直角三角形。 3、合作探究 (1)整体感知 通过相同直角三角形的拼图体验，让学生找出多种不同的方法来说明勾股定理的正确性，通过运用勾股定理解题，训练培养学生应用知识的技能，通过阅读材料让学生体验勾股定理的妙用。 (2)四边互动:出示课本中图14.1.5和14.1.6。 4 用心 爱心 专心 互动1: 师:你会拼出如图14.1.6所示的图形吗, 生:讨论交流，举手回答问题。 师:你能运用面积列出等式说明勾股定理吗, 生:讨论交流，举手回答问题，并尝试说理。 明确:?大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积。 ?大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积。 ?大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积。 222a，b,c ?结论是。 互动2:出示课本中图14.1.7和14.1.8. 师:你会拼出图14.1.7吗 生:动用操作 师:你会用面积等式说明勾股定理吗, 生:讨论交流，举手回答并说理。 明确:?大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积。 ?大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积。 ?大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积。 222a，b,c ?结论是。 互动3: 师:出示如右图所示的图形( 你会拼成如图所示的图形吗,它需要几块三角板, 生:独立尝试后，在小组之间交流，并举手回答问题( 师:你会列出面积等式说明勾股定理吗, 生:讨论交流，举手回答问题，并尝试说理( 明确:?梯形面积减去等腰直角三角形面积等于两直角三角形面积。 ?梯形面积减去两个直角三角形面积等于等腰直角三角形。 ?梯形面积等于两个直角三角形面积加上等腰直角三角形的面积。 222a，b,c?结论是。 例1 小丁的妈妈买了一部34英寸(86厘米)的电视机。小丁量了电视机的屏幕后，发现屏 幕只有70厘米长和50厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗, 解:?702+502=7400 5 用心 爱心 专心 862=7396 荧屏对角线大约为86厘米 ?售货员没搞错 例2 如图14.1.9，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160米，BC长128米.问从点A穿过湖到点B有多远, 解 在直角三角形ABC中， AC,160，BC,128， 根据勾股定理可得 22AB,AC,BC 22,160,128 = 96(米) 答:从点A穿过湖到点B有96米. 222AC,BC，AB明确:在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方: 4、达标反馈 (1)、如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ABCD的面积与周长. 255 32 13 (2)假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，在折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米, B 1 6 3 2 A 8 6 用心 爱心 专心 5、学习小结 (1)内容总结 可以通过拼图，得到正方形，再根据面积相等列出等式，从而验证勾股定理; 运用勾股定理可以解决许多实际问题; 运用三角形相似或全等知识能证明直角三角形中的勾股定理。 (2)方法归纳 通过动手操作、合作交流和亲身体验培养学生食好的学习方法，逐步养成优良的学习。 6、实践活动:动手制作直角三角形，并以三边长度为边作一个你喜欢的正多边形，研究它们面积之间的关系。 7、作业: (1)、课本第55页4、5题。 (2)、阅读课本55页的阅读材料 (3)、(选做题)《九章算术》勾股章第6题:今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐(问水深、葭长几何, (本题的意思是:有一水池一丈见方，池中生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，如把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多长,) 【板书设计】 14.1.2 勾股定理 投影 你会利用四块直角形三板中若干个进行拼图说明勾股定理 吗, ?14.1.2直角三角形的判定 【教学目标】 1、探索并掌握直角三角形判定方法. 2、经历勾股定理的逆定理的探究过程，了解勾股定理的逆定理与勾股定理的互逆性. 3、通过对勾股定理逆定理的探究，激发学生学习数学的兴趣和创新精神. 4、通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，•培养学生数形结合的思想. 【设计意图】 以上教学目标包括了本课时的三维目标:知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观. 【教学过程】 一、创设情境，导入课题 1、直角三角形有哪些性质,(从边、角两方面考虑) (1)有一个角是直角; (2)两个锐角的和为90?(互余 ); (3)两直角边的平方和等于斜边的平方. 反之，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢? 2、一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?(板书课题) 7 用心 爱心 专心 (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形; (板书) (2)有两个角的和为90?的三角形是直角三角形; (板书) 222(3)如果一个三角形的三边a ,b ,c 满足a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形??? 3、史料:古埃及人画直角. 据说，古埃及人曾用下面的方法画直角:他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处. 你知道这是什么道理吗? 4.自学指导: (1)、按要求作出53页的三角形，并观察是什么三角形。 (2)、阅读教材53-54页，理解勾股定理的逆定理。 【设计意图】 温故旧知，引入新课，利用史料激发学生探究数学的兴趣. 二、动手实践，发现新知 1、试用小塑料棒拼出三边长度分别为如下数据的三角形，猜想它们是些什么形状的三角形,(按角分类) (1)3，4，4 锐角三角形 (2)2，3，4 钝角三角形 (3)3，4，5 直角三角形 使用“几何画板”演示(拼图 / 还原 / 度量)，加深学生对拼出三角形形状的认识. 2、请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系. 222(1)3，4，4 锐角三角形 ? 3，4 > 4 222(2)2，3，4 钝角三角形 ? 2，3 < 4 222(3)3，4，5 直角三角形 ? 3，4 = 5 3、从勾股定理到勾股定理的逆定理: 222勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形.(板书) 互为逆定理 222勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a+b=c. 注意:(1)勾股定理与勾股定理的逆定理之间的关系; (2)“勾股定理的逆定理”严格的证明以后会学到; (3)“勾股定理的逆定理”的用途. 4、设AB是?ABC中三边中最长边，则 222AC+BCAB ? ?ACB为锐角 【设计意图】 1、课本上要求学生根据三条线段的长度先画出三角形再判断三角形的形状，对于未学过尺 8 用心 爱心 专心 规作图的学生来说有一定的难度，故改为先用小塑料棒拼出已知三边长度的三角形，再让学生度量三角形最大角的度数判断三角形形状，这样设计有利于培养学生的动手实践能力和合作交流意识. 2、将课本上的三条线段的长度尽量改小的目的，便于学生实践操作. 3、利用几何画板的拼接动感加深学生对勾股定理逆定理的探究过程的印象. 三、范例点击，提高认知 例1:判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形? (1)a=7，b=25，c=24; (2)a=12，b=35，c=37(2)a=13，b=11，c=9 解:(1)最大边为25

分析

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:根据勾股定理的逆?a2+c2=72+242=49+576 =625 定理, 判断一个三角形是不是b2=252 =625 直角三角形, 只要看两条较短 边长的平方和是否等于最长边?a2+c2= b 2 长的平方. ?以7，25，24为边长的三角形是直角三角形. (2)(3)学生板演 数形结合思想 例2 设三角形?ABC分别满足下列条件,试判断各三角形是否是直角三角形: (1)::5:12:13(2)::2:3:5abcABC, ，，，, 提示:三角形的内角和等于1800 例3、 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中?A和?DBC都应为直角。工人师 傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求吗, C 13 D 12 师生共同分析，教师板演) 4 5 A 3 B 思考:此时四边形ABCD的面积是多少? 【设计意图】 1、例1是本课时的重点，讲练相结合， 2、例2属于“勾股定理”与“勾股定理的逆定理”想结合的题目，有助于培养学生综合解题能力，同时该题将求四边形的面积问题转化为求三角形的面积问题来处理，渗透了数学中的转化思想. 四、随堂练习，巩固深化 练习1、下面以a、b、c为边长的?ABC是不是直角三角形,如果是请指明哪一个角是直角, (1) a=25 b=20 c=15 (2) a=13 b=14 c=15 (3) a=1 b=2 c= 3 练习2、三角形三边长a、b、c满足条件a:b:c=9:12:15,，则此三角形是( ) A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形 9 用心 爱心 专心 【设计意图】 练习1与例1配套练习，放在例1结束后使用. 练习2、解答“选择题”的一些技巧方法. 练习2放在例2结束后使用. 练习3、解释“古埃及人画直角”的理论根据. 解:如图，设每两个结的距离为a(a>0)， A 则AC=3a，BC=4a，AB=5a. 22222 ?AC +BC=3，，a+4，，a=25a 222 AB=5，，a=25a 222 ?AC +BC=ABB C 从而，ACB=90: 【设计意图】 1、首尾呼应的需要; 2、调节或控制上课时间的用途. 五、课堂总结，发展潜能 通过本节课的学习，同学们有哪些收获, 1、 勾股定理的逆定理的内容; ,、判定一个三角形是直角三角形有哪些方法(从角、边两个方面来总结); ,、勾股定理与它的逆定理之间的关系. ,、数形结合的数学思想(通过三角形三边长间的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形). 六、分层作业，个性发展 1.教科书54页，习题14.1 第6题 2.(选做题)已知?ABC的三边分别为a,b,c，且a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2(m>n,m、n是正整数)， ?ABC是直角三角形吗,说明理由。 提示:先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大 【设计意图】 课后作业分为“必做题”与“选做题”，充分体现不同的学生在学习数学时得到不同的发展的理念. 《勾股定理的应用》教学设计 一、单元设计总体分析 (一)教材所处的地位---教材分析:华东师大版《数学》八年级下册第14章第2节是学习勾股定理及其逆定理的应用。因此教学中可以结合实际情况让学生了解勾股定理及其逆定理在现实生活以及数学中的各种应用，体会勾股定理的文化价值. (二)单元教学目标: 1.能熟练、灵活地应用勾股定理及其逆定理. 2.会应用勾股定理及其逆定理解简单的实际问题. (三)单元教学重难点:勾股定理及其逆定理的应用. 10 用心 爱心 专心 (四)单元教学策略:利用实物模型及多媒体将实际问题转化为应用勾股定理及其逆定理解 直角三角形的数学问题. 二、课时教学设计 ?14.2 .1勾股定理的应用 (一)教学目标 1(知识目标 (1)了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”;而勾股逆定理的作用是 由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”. (2)掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算. 2(过程性目标 (1)让学生亲自经历卷折圆柱. (2) 让学生在亲自经历卷折圆柱中认识到圆柱的侧面展开图是一个长方形(矩形). (3)让学生通过观察、实验、归纳等手段，培养其将“实际问题转化为应用勾股定理解直 角三角形的数学问题”的能力. (二)教学重点、难点 教学重点:勾股定理的应用. 教学难点:将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”. 原因分析: 1.例1中学生因为其空间想像能力有限，很难想到蚂蚁爬行的路径是什么，为此通过制作圆 柱模型解决难题. 2.例2中学生难找到要计算的具体线段.通过多媒体演示来启发学生的思维. 教学突破点:突出重点的教学策略: 通过回忆复习、例题、小结等，突出重点“勾股定理及其逆定理的应用”， 自学指导: 1、自学课本第57页例1; 2、重点了解怎样利用课本知识解决实际问题. (三)、教学过程 教学过程 设计意图 复 复习练习，引出课题 通过简单计算题的练习，帮助学生 1、在Rt?ABC中，两条直角边分别为3，4，求斜回顾勾股定理，加深定理的记忆理解，习 边c的值, 为新课作好准备 部 答案:c=5. 例2、在Rt?ABC中，一直角边分别为5，斜边为 分 13，求另一直角边的长是多少, 答案:另一直角边的长是 12. 小结:在上面两个小题中，我们应用了勾股定理: 加深定理的记忆理解，突出定理的 在Rt?ABC中，若?C,90?，则 c2= a2+b2 . 作用. 勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现 实生活和数学中有着广泛的应用( 例1如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为20cm，高 ,,为4cm，,,是上底面的直径(一只蚂蚁从点A 新 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的 11 用心 爱心 专心 最短路程( 课 讲 解 通过动手作模型，培养学生的动 分析:蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行(大手、动脑能力，解决“学生空间想像能 家用一张白纸卷折圆柱成圆柱形状，标出A、B、C、力有限，想不到蚂蚁爬行的路径”的难 D各点，然后打开，蚂蚁在圆柱上爬行的距离，与题，从而突破难点. 在平面纸上的距离一样(AC之间的最短距离是什 么,根据是什么,(学生回答) B C 由学生回答“AC之间的最短距离及 A根据”，有利于帮助学生找准新旧知识D 的连接点，唤起与形成新知识相关的旧 根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是知识，从而使学生的原认知结构对新知 侧面展开图矩形ASBCD对角线AC之长(我们可以识的学习具有某种“召唤力” 利用勾股定理计算出AC的长。 B C A D 解 如图，在Rt?,,,中，,,,底面周长的一 半,,,cm， 根据勾股定理得 (提问:勾股定理) 再次提问，突出勾股定理的作用，加深 记忆. 2222AB，BC4，10? AC,, 229,?,,(,,(cm)(勾股定理)( 答: 最短路程约为,,(,,cm( 例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6 米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂，问这辆 卡车能否通过该工厂的厂门? 12 用心 爱心 专心 图14.2.3 分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要 看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH(如 图,,.,.,所示，点D在离厂门中线0.8米处，且 CD?,,， 与地面交于H( 解 :OC,1米 (大门宽度一半)， 利用多媒体设备演示卡车通过厂 OD,0.8米 (卡车宽度一半) 门正中间时的过程(在几何画板上画出 在Rt?OCD中，由勾股定理得 厂门的形状，用移动的矩形表示卡车， 矩形的高低可调)，让学生通过观察，2222OC,OD1,0.8,,,,,,.,米， 找到需要计算的线段CH、CD及CD 所 C,,,.,，,.,,,.,(米),,.,(米)( 在的直角三角形OCD，将实际问题转 因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门( 化为应用勾股定理解直角三角形的数 学问题. 小 本节课我们学习了应用勾股定理来解决实际问 结 题.在实际当中，长度计算是一个基本问题，而长度 计算中应用最多、最基本的就是解直角三角形，利 用勾股定理已知两边求第三边，我们要掌握好这一 有力工具. 练习 1. 如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长 的钢缆，求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离( 课堂练 习 (第,题) 2. 现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使其 仍为直角三角形，两直角边同时扩大到原来的两倍， 问斜边扩大到原来的多少倍? 拓展1 如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程 又是多少呢, 13 用心 爱心 专心 B A B B 10 A 10 10 C A 拓展2 如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢, B A 分析:蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多少种情况, (1)经过前面和上底面; (2)经过前面和右面; (3)经过左面和上底面. B B B 1 2 2 C A 2 3 A C 1 3 1 C A 3 (四)、练习 练习1.如图,从电杆离地面5米处向地面拉一条长7米的钢缆，求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离. 14 用心 爱心 专心 解:如图，在Rt?,,,中，AC=7米，BC=5米， 由勾股定理，得 2222(米) AB,AC,BC,7,5,24 答:地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离是 米. 24 练习2. 如图所示，校园内有两棵树相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞13 米 A B C 13米 8米 12米 强调: 1.定理中基本公式中的项都是平方项; 2.计算直角边时需要将基本公式移项变形，按平方差计算. 3.最后求边长时，需要进行开平方运算. (五)小姐: 1.运用勾股定理解决实际问题,关键在于“找”到合适的直角三角形. 2. 在运用勾股定理时，我们必须首先明确哪两条边是直角边，哪一条是斜边. 3. 数学来源与生活，同时又服务于我们的生活.数学就在我们的身边，我们要能够学以致用. (六)作业: 1. 必做题:课本P60习题14.2第1、3题. 2. 选做题:在一棵树的10米高处B有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过距离相等，试问这棵树有多高, D . B A C ?14.2 .1勾股定理的应用 教学目标:1、能熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题; 2、通过学习提高同学们的逻辑推理能力. 15 用心 爱心 专心 教学重点:勾股定理的应用. 教学难点:将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”. 教学过程: 例1 如右图，已知CD,,m， AD,,m， ?ADC,,,?， BC,,,m， ,,,, ,m(求图中阴影部分的面积( 解:在Rt?ADC中， 22222AC,AD，CD,6，8,100 ？AC,10 22222？AC，BC,10，24376,AB ? ?ACB为直角三角形(如果三角形的三边长a、 b、 c有关系: a2，b2,c2，那么这个 三角形是直角三角形)， ？S,S-S 阴影部分,ACB,ACD 11,，10，24-，6，8 221尺 2,96(m) 例2 葭生池中 今有方池一丈， 葭生其中央， X-1 出水一尺， 水 引葭赴岸， 尺 适与岸齐。 X尺 池 问:水深、葭长各几何, 解:可设葭长为x尺，则水深为(x-1)尺 222则有: (x-1)+5=x 5尺 解得: x=13 所以:葭长13尺，水深12尺 试一试: 1.一架飞机在天空中水平飞行,某一时刻正好飞到一个男孩头顶正上方3000米处,过了20 秒,飞机距离这个男孩头顶5000米，试求这架飞机的飞行速度? C B 20秒 3000米 5000米 A 16 用心 爱心 专心 2.一艘轮船以20海里/小时的速度离开港口O向东北方向航行，另一艘轮船同时以22海里/ 小时的速度离开港口向东南方向航行，2小时后两船相距多远, 北 甲(A) 西 东 ? O 乙(B) 南 3、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险.某日早晨8:00 甲先出发,他以6千米/小时的速度向东行走,1小时 后乙出发,他以5千米/小时的速度向北行进,上午 10:00,甲、乙二人相距多远? 北 乙 甲 东 小结: 请谈谈你女的收获～ 作业: 1.教材60页，习题14.2 第4、5、6题。 2.(选做题)利用勾股定理分别画出长 度为 3cm和5cm的线段。 17 用心 爱心 专心 勾股定理的复习 学案主备 教案主备 傅廷云 练习主备 授课教师 授课时间 课时数 共1 课时，第 1 课时 教学内容 第14章 勾股定理单元复习 授课班级 1、勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 知识 教 2222、如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c,那么这个三角形是直角三角形; 能力 学 3、勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛目 的应用( 情感 标 教学 勾股定理的应用 重点 教学 实际问题向数学问题的转化 难点 教学 准备 学案 教学 教 学 内 容 师 生 互 动 备 注 过程 想一想 学生分组探讨: 1 直角三角形有那些特征, 1一般三角形具有的特征 它都有。 2 勾股定理:直角三角形 两直角边的平方和等于斜 边的平方 一 2 直角三角形有那些识别方法, 创 学生分组探讨: 设 1有一个角是直角的三角情 形。 境 2 两个角互余的三角形。 引 3 如果三角形的三边长a、 222入 b、c有关系a+b=c,那新 么这个三角形是直角三课 3 你能说几组勾股数呢, 角形 学生互相交流。 3、4、5; 5、12、13 7、24、25; 8、15、17 9、40、41; 二 探究1 讨论: 本题的实质为请如图，以Rt?的三边为边向外作ABC 合 1三个正方形的面积分别同学们回顾勾股 18 用心 爱心 专心 作 与哪三条边有关系, 定理。 正方形，其面积分别为，请SSS，，123交 ，，2 如果S,4S,812流 同学们想一想之间有何关SSS，，123自 那么S=, 3 主 系呢, 3 如果 ，，S,4S,812探 究 则的长为多少呢, AB A S 3 S2 B C S1 联想 (1)若以Rt?的三边为直径作ABC 半圆，其面积分别为，请同SSS，，123 等边三角形的面积公式是 学们想一想之间有何关系SSS，，123怎样的呢, 呢, (2)若以Rt?的三边为边作等ABC 边三角形，其面积分别为，SSS，，引导重在实现图123分析: 形: 1、求梯子的底端B距墙角请同学们想一想之间有何SSS，，A 123O多少米, 关系呢, 2、如果梯子的顶端A沿墙 探究2 下滑0.5m至C，请同学们 C 猜一猜: 如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一 O (1)底端也将滑动0.5米竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，B D 吗, 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么 (2)能否求出OD的长, 梯子底端B也外移0.5m吗, A A O B 与 C C O D B D O 的转化 解:根据勾股定理，在Rt?OAB中， 19 用心 爱心 专心 222 AB=3m，OA=2.5m，OB=AB-OA= 22 3-2.5=2.75。 ?OB?1.658m;在Rt?OCD中， 222解: OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，OD=CD-OC= 22?点F、D关于AE对称 3-2=5。?OD?2.236m。 ? ΔAFE ? ΔAD E BD=OD-OB=2.236-1.658?0.58m ? AF=AD ，EF =ED ?AFE ?如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那= ? ADE 么梯子底端B也外移0.58m。 ?四边形ABCD是矩形 ?BC=AD AB =CD ?C = ? ADE =900 探究3 又?AB =8cm BC =10cm .如图沿AE折叠矩形，点D恰好落在 BC ? AF=10cm CD =8cm 边上的点F处，已知AB =8cm，BC = 10cm，在Rt Δ ABF中 求EC的长. BF= 2222AF,AB,10,8,6A D ?FC =4cm 设EC =xcm 则DE=EF= (8-x)cm E 在 Δ CFE 中， ?EF2=EC2+FC2 ? (8-x)2 = x2+42 B C F 解得x=3 答:EC的长为3cm. 讨论: 1 拖拉机行驶在什么地点 离学校最近呢, 2 若受影响，则在哪一点 开始呢, 探究4 3 在什么范围里，学校将如图，公路MN和小路PQ在点P处交汇，受到影响呢, 且 ?QPN=30?，点A处有一所学校， AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m 内受噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上以18km/h的速度沿PN方向行驶时， 学校是否受到噪音的影响,如果学校 受到影响，那么受影响将持续多长时 间, 20 用心 爱心 专心 N D B C P A Q M 1 如图所示的图形中，所有的四边形都 是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长是8厘米， 则正方形A，B，C，D的面积之和是 ________平方厘米( 三 随 堂 2 根据下列条件，分别判断以a,b,c为练 边的三角形是不是直角三角形( 习 (1)a=7, b=24, c=25. 2222巩 (2)a=m-n，b=2mn, c=m+n.固 (m，n是正整数，且m,n)( ?ABC新 是直角三角形吗,请说明理由( 知 3 已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm， AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点 D重合，折痕为EF，则?ABE的面积为 多少, E D A B C F 21 用心 爱心 专心 1 在?ABC中，?C,90?，若 a,5， b,12，则 c,,,,( 2 在?ABC中，?C,90?，若c,10， a?b,3?4，则ab, ( 2，底上3 等腰?ABC的面积为12cm 的高AD,3cm，则它的周长为,,,( 4 等边?ABC的高为3cm，以AB为 边的正方形面积为,,,( 四 5 直角三角形三边是连续整数，则这 三角形的各边分别为,,,( 目 6 (2006 山西吕梁课改)如图，分标 别以直角的三边?ABC检 为直径向外作半圆(设ABBCCA，，测 直线左边阴影部分的面积为，右ABS形 1成 边阴影部分的面练 A 积和为，则S习 2 ( ) A( SS,12C B B( SS,12 C( SS,12 D(无法确定 五 1 你能说说出本章的知识结构吗, 勾股定理 课 堂 直角三角形 应用 小 结 提 判定直角三角形的一种方法 高 认 2 本节课有什么收获，请你谈谈, 识 1 国旗杆的绳子垂到地面时，还多了 六 1m，拉着绳子下端离开旗杆5m时，绳 子被拉直且下端刚好接触地面，试求旗巩 杆的高( 固 提 2 (2006 荆门大纲)园丁住宅小区有一高 块草坪如图所示，已知米，AB,3运 22 用心 爱心 专心 用 米，米，米，BC,4DA,13CD,12 拓 且，这块草坪的面积是多ABBC? 展 少, , , , B 3 在一棵树的10m高处有两只猴子， 其中一只猴子爬下树走到离树20m处 的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃 向池塘的A处，距离以直线计算，如果 两只猴子所经过的距离相等，试问:这 棵树有多高? 板 书 设 计 电 教 资 源 教 学 反 思 23 用心 爱心 专心 集体反思: 个人反思: 1 在直角三角形中，通过对三边的数量分析，利用数学建模，应用勾股定理，建立一元一次方程，求解一些未知的量。 2 翻折在本章内容中也经常涉及，要把握相等的量。 24 用心 爱心 专心