一维谐振子的级数解细节讨论

二.定态薛定谔方程在方程中做如下的无量纲化变换：方程:则方程变成：渐近解:当ξ→±∞时，方程变为：我们发现它有渐近解：但是应该舍去。所以再进行变换：可得关于H(ξ)的如下方程：三.能级和波函数可以用级数法求解H(ξ)的方程，结果发现：只要H(ξ)是“真”无穷级数，那么在x→±∞的时候H(ξ)就→eξ²,仍然使ψ(ξ)发散。能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止”或“退化”为多项式，要求H(ξ)是ξ的n次多项式.1.级数求解代入方程（2.7－6），令的各次幂系数等于零，得到如下递推关系一个二阶的微分方程解包含两个任意常数是自然的。如果H函数的系数取偶数项，则该函数为偶函数；否则是奇函数。因此，这是两个不同的函数。总共两个不同函数，每个包含一个未定常数，或者任意常数。如果两个解都是无穷，则厄米方程无解。因此要至少有一个有限解。偶数系数与奇数系数交替，随着n的增大，总能保证H方程有一个有限解。a0与a1不用确定，H方程的解也已经求出。确定a0或者a1，就是确定一个特殊解。P53页，公式11,12的特点是，后一项包含前面所有项的分子作为因子。这确保了某一项为零时，它后面所有项都为零。就是所谓的截断了。a0,a1为什么取2na0可以不为，它应该取什么呢？如果不确定它，那是一般解。现在对于谐振子这个具体问题，它有确定的物理条件，作为边界条件。因此，a0必须确定。这个就是归一化所完成的。下面，以n=4为例，讨论这个问题。N=4，lambda=5，公式11，p53页，在哪里截断了？公式22，p54页，就是所得H函数。现在将它带入公式13，p53页，然后归一化。下面给出头五个厄密多项式一般达式递推关系四.讨论1.我们把线性谐振子的能级和波函数如下。能级是：对应的波函数是：Nn是归一化常数，可以由归一化条件可得2.分立能级(1)能级是分立的,是等间隔的；(2)零点能是3.粒子运动的范围经典振子的运动范围是振幅之内(能量决定振幅)量子振子在空间出现的几率密度为花落花开无间断春去秋来不相关