江苏省连云港市灌云县四队中学高中
选修2-2教案:共面向量定理
教学
目标
1.了解共面向量的含义,理解共面向量定理;
2.利用共面向量定理
有关线面平行和点共面的简单问题;
重点难点
教学重点:共面向量的含义,理解共面向量定理
教学难点:利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题
教学过程[
一、创设情景
1、关于空间向量线性运算的理解
平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量,只要图形封闭,其中的一个向量即可以用其它向量线性表示。
从平面几何到立体几何,类比是常用的推理
。
二、建构数学
1、 共面向量的定义
一般地,能平移到同一个平面内的向量叫共面向量;
理解:若
为不共线且同在平面
内,则
与
共面的意义是
在
内或
2、共面向量的判定
平面向量中,向量
与非零向量
共线的充要条件是
,类比到空间向量,即有
共面向量定理 如果两个向量
不共线,那么向量
与向量
共面的充要条件是存在有序实数组
,使得
这就是说,向量
可以由不共线的两个向量
线性表示。
三、数学运用
1,例1 如图,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且
.
求证:MN//平面CDE
证明:
=
又
与
不共线
根据共面向量定理,可知
共面。
由于MN不在平面CDE中,所以MN//平面CDE.[
2、例2 设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C,若点P满足向量关系
(其中x+y+z=1)
试问:P、A、B、C四点是否共面?
解:由
可以得到
由A,B,C三点不共线,可知
与
不共线,所以
,
,
共面且具有公共起点A.
从而P,A,B,C四点共面。
解题
:
推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使得:
,或对空间任意一点O有:。
3、
课堂练习
(1)已知非零向量
不共线,如果
,求证:A、B、C、D共面。[
(2)已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量
,
。求证:(1)四点E、F、G、H共面;(2)平面AC//平面EG。
课外作业
教学反思
B
M
N
A
D
C
A
B
C
D
M
N
A
B
C
D
E
F
N
M
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