第3练 不等式与线性规划
[明晰考情] 1.命题角度:不等式的性质和线性规划在高考中一直是命题的热点.2.题目难度:中低档难度.
考点一 不等关系与不等式的性质
要点重组 不等式的常用性质
(1)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
(2)如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥1).
(3)如果a>b>0,那么>(n∈N,n≥2).
1.若a>b>0,c B.<
C.> D.<
答案 D
解析 由c->0,
又a>b>0,
∴->-,∴<.
2.(2018·全国Ⅲ)设a=log0.20.3,b=log20.3,则( )
A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0
C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b
答案 B
解析 ∵a=log0.20.3>log0.21=0,
b=log20.3<log21=0,
∴ab<0.
∵=+=log0.30.2+log0.32=log0.30.4,
∴1=log0.30.3>log0.30.4>log0.31=0,
∴0<<1,
∴ab<a+b<0.
3.已知x,y∈R,且x>y>0,则( )
A.->0 B.sinx-siny>0
C.x-y<0 D.lnx+lny>0
答案 C
解析 函数y=在(0,+∞)上单调递减,所以<,即-<0,A错;函数y=sinx在(0,+∞)上不是单调函数,B错;函数y=x在(0,+∞)上单调递减,
所以x<y,即x-y<0,C正确;lnx+lny=lnxy,当x>y>0时,xy不一定大于1,即不一定有lnxy>0,D错.
4.若x>y,a>b,则在:①a-x>b-y;②a+x>b+y;③ax>by;④>这四个式子中,恒成立的所有不等式的序号是____________.
答案 ②
考点二 不等式的解法
方法技巧 (1)解一元二次不等式的步骤
一化(二次项系数化为正),二判(看判别式Δ),三解(解对应的一元二次方程),四写(根据“大于取两边,小于取中间”写出不等式解集).
(2)可化为<0(或>0)型的分式不等式,转化为一元二次不等式求解.
(3)指数不等式、对数不等式可利用函数单调性求解.
5.用min{a,b}表示a,b两数中的最小值,若函数f(x)=min{x+3,-x2+3x+6},则不等式f(x-1)<2的解集为( )
A.{x|x<-1} B.{x|x>4}
C.{x|x<-1或x>4} D.{x|x<0或x>5}
答案 D
解析 画出y=x+3与y=-x2+3x+6的图象如图所示,
由图易得f(x)=
故f(x)的图象如图中的粗线部分所示,由f(x)<2,作出直线y=2,数形结合得x<-1或x>4,
则由不等式f(x-1)<2,可得x-1<-1或x-1>4,得x<0或x>5,故选D.
6.已知x∈(-∞,1],不等式1+2x+(a-a2)·4x>0恒成立,则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.(-∞,6]
答案 C
解析 令2x=t (00⇔a-a2>-,故只要求解h(t)=- (0-,所以4a2-4a-3<0,
解得实数a的取值范围为,
故选C.
7.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a等于( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 由条件知,x1,x2为方程x2-2ax-8a2=0的两根,则x1+x2=2a,x1x2=-8a2,
故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-8a2)=36a2=152,解得a=,故选A.
8.已知函数f(x)=若对任意的x∈R,不等式f(x)≤m2-m恒成立,则实数m的取值范围为____________.
答案 ∪[1,+∞)
解析 由题意知,m2-m≥f(x)max.
当x>1时,f(x)=是减函数,∴f(x)<f(1)=0;
当x≤1时,f(x)=-x2+x,其图象的对称轴方程是x=,且开口向下,
∴f(x)max=-+=.
∴f(x)在R上的最大值为f =.
∴m2-m≥,
即4m2-3m-1≥0,
∴m≤-或m≥1.
考点三 基本不等式
要点重组 基本不等式:≥,a>0,b>0
(1)利用基本不等式求最值的条件:一正二定三相等.
(2)求最值时若连续利用两次基本不等式,必须保证两次等号成立的条件一致.
9.(2018·大庆模拟)设a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值为( )
A.-2 B.-
C.-3 D.-
答案 A
解析 因为由基本不等式a2+2b2≥2ab,
所以2(a2+2b2)≥a2+2b2+2ab=(a+b)2.
又因为a2+2b2=6,
则有2×6≥(a+b)2,
即-2≤a+b≤2.
10.若正数x,y满足x2+6xy-1=0,则x+2y的最小值是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由x2+6xy-1=0,可得x2+6xy=1,
即x(x+6y)=1.
因为x,y都是正数,
所以x+6y>0.
故2x+(x+6y)≥2=2,
即3x+6y≥2,
故x+2y≥(当且仅当2x=x+6y,即x=6y>0时等号成立).故选A.
11.如图,在Rt△ABC中,P是斜边BC上一点,且满足=,点M,N在过点P的直线上,若=λ,=μ(λ>0,μ>0),则λ+2μ的最小值为( )
A.2 B.
C.3 D.
答案 B
解析 =+=+=+(-)=+=+,
因为M,N,P三点共线,
所以+=1.
因此λ+2μ=(λ+2μ)
=++≥+2=,
当且仅当λ=,μ=时“=”成立,
故选B.
12.(2017·天津)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为________.
答案 4
解析 ∵a,b∈R,ab>0,
∴≥=4ab+≥2=4,
当且仅当
即且a,b同号时取得等号.
故的最小值为4.
考点四 简单的线性规划问题
方法技巧 (1)求目标函数最值的一般步骤:一画二移三求.
(2)常见的目标函数
①截距型:z=ax+by;
②距离型:z=(x-a)2+(y-b)2;
③斜率型:z=.
13.(2018·天津)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为( )
A.6 B.19
C.21 D.45
答案 C
解析 画出可行域如图中阴影部分所示(含边界),由z=3x+5y,得y=-x+.
设直线l0为y=-x,平移直线l0,当直线y=-x+过点P(2,3)时,z取得最大值,zmax=3×2+5×3=21.
故选C.
14.(2018·安徽省“皖南八校”联考)设x,y满足约束条件则z=|x+3y|的最大值为( )
A.15B.13C.3D.2
答案 A
解析 画出约束条件所表示的可行域,如图(阴影部分含边界)所示,
设z1=x+3y,可化为y=-x+,
当直线y=-x+经过点A时,
直线在y轴上的截距最大,
此时z1取得最大值,
当直线y=-x+经过点B时,
直线在y轴上的截距最小,
此时z1取得最小值,
由解得A(3,4),
此时最大值为z1=3+3×4=15;
由解得B(2,0),
此时最小值为z1=2+3×0=2,
所以目标函数z=|x+3y|的最大值为15.
15.(2016·山东)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( )
A.4B.9C.10D.12
答案 C
解析 满足条件的可行域如图阴影部分(包括边界),
x2+y2是可行域上动点(x,y)到原点(0,0)距离的平方,显然,当x=3,y=-1时,x2+y2取最大值,最大值为10.故选C.
16.(2018·永州模拟)设实数x,y满足约束条件则z=的最大值是________.
答案 1
解析 满足条件的可行域如图阴影部分(包括边界)所示.
z=表示可行域内的点(x,y)与(0,0)连线的斜率,
由图可知,最大值为kOA==1.
1.若不等式(-2)na-3n-1-(-2)n<0对任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 当n为奇数时,要满足2n(1-a)<3n-1恒成立,
即1-a<×n恒成立,
只需1-a<×1,
解得a>;
当n为偶数时,要满足2n(a-1)<3n-1恒成立,
即a-1<×n恒成立,
只需a-1<×2,解得a<.
综上,<a<,故选D.
2.已知实数x,y满足不等式组则(x-3)2+(y+2)2的最小值为________.
答案 13
解析 画出不等式组表示的平面区域(图略),易知(x-3)2+(y+2)2表示可行域内的点(x,y)与(3,-2)两点间距离的平方,通过数形结合可知,当(x,y)为直线x+y=2与y=1的交点(1,1)时,(x-3)2+(y+2)2取得最小值,为13.
3.设实数x,y满足条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则+的最小值为____________.
答案 4
解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示,当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12,即2a+3b=6,则+=+=2++≥4,当且仅当=,即时取等号.
解题秘籍 (1)不等式恒成立或有解问题能分离参数的,可先分离参数,然后通过求最值解决.
(2)利用基本不等式求最值时要灵活运用两个公式:
①a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号;
②a+b≥2 (a>0,b>0),当且仅当a=b时取等号.注意公式的变形使用和等号成立的条件.
(3)理解线性规划问题中目标函数的实际意义.
1.若x>y>0,m>n,则下列不等式正确的是( )
A.xm>ym B.x-m≥y-n
C.> D.x>
答案 D
2.已知a>0,b>0,且a≠1,b≠1,若logab>1,则( )
A.(a-1)(b-1)<0 B.(a-1)(a-b)>0
C.(b-1)(b-a)<0 D.(b-1)(b-a)>0
答案 D
解析 取a=2,b=4,则(a-1)(b-1)=3>0,排除A;则(a-1)(a-b)=-2<0,排除B;(b-1)(b-a)=6>0,排除C,故选D.
3.设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞)
C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)
答案 A
解析 f(1)=3.由题意得或
解得-33.
4.下列函数中,y的最小值为4的是( )
A.y=x+
B.y=log3x+4logx3
C.y=sinx+(0<x<π)
D.y=ex+4e-x
答案 D
5.为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为( )
A.米 B.2米
C.(1+)米 D.(2+)米
答案 D
解析 由题意设BC=x(x>1)米,AC=t(t>0)米,依题意知AB=AC-0.5=t-0.5(米),在ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos60°,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化简并整理得t=(x>1),即t=x-1++2,又x>1,故t=x-1++2≥2+,此时t取最小值2+,故选D.
6.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域Ω:若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为( )
A.5B.29C.37D.49
答案 C
解析 如图,由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界.
∵圆C与x轴相切,∴b=1.
显然当圆心C位于直线y=1与x+y-7=0的交点(6,1)处时,|a|max=6.
∴a2+b2的最大值为62+12=37.故选C.
7.实数x,y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍,则a的值是( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 在平面直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示,
当目标函数z=2x+y经过可行域中的点B(1,1)时有最大值3,当目标函数z=2x+y经过可行域中的点A(a,a)时有最小值3a,由3=4×3a,得a=.
8.若对任意的x,y∈R,不等式x2+y2+xy≥3(x+y-a)恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,1] B.[1,+∞)
C.[-1,+∞) D.(-∞,-1]
答案 B
解析 不等式x2+y2+xy≥3(x+y-a)对任意的x,y∈R恒成立等价于不等式x2+(y-3)x+y2-3y+3a≥0对任意的x,y∈R恒成立,所以Δ=(y-3)2-4(y2-3y+3a)=-3y2+6y+9-12a=-3(y-1)2+12(1-a)≤0对任意的y∈R恒成立,所以1-a≤0,即a≥1,故选B.
9.设函数f(x)=,则不等式f()>-f 的解集是________.
答案
解析 函数f(x)的定义域为(-1,1)且在(-1,1)上单调递增,f(-x)=-f(x),所以f()>-f ⇔f()>f ⇔-<<1,解得x∈.
10.(2018·天津)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为________.
答案
解析 ∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6,∴2a+=2a+2-3b≥2=2=2=2×2-3=,当且仅当即时取到等号,则最小值为.
11.若变量x,y满足条件则(x-2)2+y2的最小值为________.
答案 5
解析 如图所示,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分).
设z=(x-2)2+y2,则z的几何意义为可行域内的点到定点D(2,0)的距离的平方,
由图象可知,C,D两点间的距离最小,此时z最小,
由可得即C(0,1).
所以zmin=(0-2)2+12=4+1=5.
12.不等式组所表示的平面区域的面积为S,则当不等式≥a恒成立时,实数a的取值范围是______________.
答案 (-∞,6]
解析 画出满足不等式组的平面区域,
如图所示(阴影部分含边界),则S=m·|AB|=m2,
所以==
=m+1+=m-1++2
≥2+2=6(当且仅当m=3时等号成立),
则由题意知实数a的取值范围是a≤6.