2013年天津市大学数学竞赛试题参考解答及评分标准(理工类)2013年天津市大学生数学竞赛试题参考答案
及评分标准(理工类)
一. 填空题(本小题15分,每小题3分);
1. 已知
则其中的常数
2. 设函数
在区间
上有连续的二阶导数,
,a>0且
在x=a处取得极大值
,则积分
3.
4. 设抛物线
上一点P的横坐标为c(c>2),点Q(c,0).如图,直线
和
与弧
围城的图形为
,三角形OPQ记为
,
和
绕x轴旋转一周所成旋转体的体积分别为
和
.当
时,
=
.
5. 设
连续且
,空间区
则
二. 选择题(本小题1...
2013年天津市大学生数学竞赛
参考
及评分标准(理工类)
一. 填空题(本小题15分,每小题3分);
1. 已知
则其中的常数
2. 设函数
在区间
上有连续的二阶导数,
,a>0且
在x=a处取得极大值
,则积分
3.
4. 设抛物线
上一点P的横坐标为c(c>2),点Q(c,0).如图,直线
和
与弧
围城的图形为
,三角形OPQ记为
,
和
绕x轴旋转一周所成旋转体的体积分别为
和
.当
时,
=
.
5. 设
连续且
,空间区
则
二. 选择题(本小题15分,每小题3分)
1. 设
则
(A)
(B)
(C)
(D)
在点x=0处不可导. 【B】
2.设
,
都是区间
上恒大于零的可导函数,且
则当
时,必有
(A)
(B)
(C)
(D)
【A】
3.设
则
(A)
(B)
(C)0 (D)2 【D】
4.以下积分
的是
(A)
(B)
(C)
(D)
【C】
5.如图,半径不相等的两个木质球体,分别在中间钻出一个以球体直径为轴的圆柱形洞,使得剩下的两个环状立体A和B的高都等于h.通过计算,正确的结论是
(A) A的体积等于B的体积 (B)A的体积小于B的体积
(C)A的体积大于B的体积 (D)不能判断,A与B体积的大小与球半径有关【A】
三.设
,
。求极限
解法1:
=
=
=
=
=
=
解法2:
=
=
=
四.求不定积分
解:令
,(
),则
=
=
=
=
=
五.设
是由方程
确定的隐函数.
(1)证明
是单调增加的;(2)求
.
(1)证方程两端对x求导,得
即
因为
所以
是单调增加的.
(2)解:由于
是单调增加的,故当
有上界时,
(a为某常数);当
无上界时
.
假若
,由于
且广义积分
收敛,令
,由上式可得
矛盾.
因此,只有
,从而得
六.设曲线
的参数方程为
(1)在曲线
上哪些点处的切线与平面
平行,并写出对应的切向量.
(2)求(1)中两条切线之间的距离.(注意两个切线之间的距离指它们的公垂线段的长度.)
解:(1)由曲线的参数方程,得到
已知平面的法向量
由题设
即
解得
在曲线上得到两个点
在此两点处的切线与平面
平行,对应的切向量分别为
(2)解法1 由(1)可得
=(-12,0,-4)=-4(3,0,1),
,
=
于是,(1)中两个切线之间的距离
解法2:通过点
作平行于已知平面
的平面
,其方程为
显然,通过点
的切线在平面
上,通过点
的切线平行于平面
,故两切线之间的距离就是点
到平面
的距离,即
七.设
是区间
上具有二阶导数的非负函数,且
若
证明
证明:令
则
且
=
再求导
由题设
在区间
上应用微分中值定理,存在
使得
又因为题设
于是
. 所以
在区间
单调增加,因此当
时,有
.由此又得到
在区间
单调增加,故
,即
八.求正数a的取值范围,使得曲线
.
解:曲线
的充分必要条件是:存在
使得
,即
也即a属于函数
的值域. 由于
所以只需要求出
的最大值A,那么
的值域就是
令
可得
的唯一驻点就是x=e.
当
当
时,
因此,
为
在
内的最大值.
因此,曲线
与直线
相交的充分必要条件是,a必须要满足
.
九.设曲面
是由直线段
绕z轴旋转而得.
(1)试推导
的直角坐标方程;(2)如果
是
与平面
所围成的立体,其密度为
求
的质量.
解:(1)设
M是
旋转而得,
上的点
对应于参数t,故
而
故
的方程是
即
(2)空间区域
其中
因此,
的质量
=
十.设有曲线
:
(n为正整数),
为
的长.证明
(提示:对于
应用极限的夹逼准则.)
解:如图,设曲线
与x轴的交点为A,
与直线
的交点为
,则点
的坐标为
曲线
在点A到点
间的曲线段的弧长记为
.由对称性,只需证明
在开区间
内,求由方程
所确定的隐函数的导数,得
由弧长计算公式
==
=
另一方面,又有
=
(
).于是由极限的夹逼准则,
因此
十一.计算曲线积分
其中函数f(x)有连续导数,AB是有点
到点
的有向线段.
解:令
经计算
故曲线积分与路径无关.因此,选择如下积分路径:先从点
沿着平行于x轴的直线到点
再从点
沿着平行于y轴的直线到点
.
=
=
=
. 令
则
因此:
十二.设流速场
求流体沿空间闭曲线
的环流量
=
其中
是由两个球面
与
的交线,从z轴的正向看去,
为逆时针方向.
解:由
与
得
取
为平面
(上侧)被闭曲线
所围成的圆的内部,因原点到平面
的距离为
故闭曲线
是半径为
的圆.
的单位法向量为
应用Stokes公式
=
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