高数 高斯公式 通量与散

会计学1高数高斯公式通量与散2一、高斯公式定理1设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有或（1′）这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、cosγ是Σ上点(x，y，z)处的法向量的方向余弦。公式（1）或（1′）叫做高斯公式。第1页/共27页3证明:设为XY型区域,则第2页/共27页4所以若不是XY－型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证三式相加,即得所证Gauss公式：第3页/共27页5（2）关于Ω的边界曲面的正向：Ω是单连通区域时取外侧；Ω是复连通区域时外层取外侧，内层取内侧。关于高斯公式的说明:（1）如穿过Ω内部且平行于坐标轴的直线与Σ的交点多于两个时，采用分块的方法…第4页/共27页6（3）高斯公式成立的条件：Σ光滑或分片光滑，P、Q、R在Ω上一阶偏导连续。（4）Σ不闭合时，采取“补面”的方法：Σ+Σ1封闭，所围区域Ω。及易于计算第5页/共27页7例1用Gauss公式计算其中为柱面闭域的整个边界曲面的外侧.解这里利用Gauss公式,得原式=(用柱坐标)及平面z=0,z=3所围空间思考若改为内侧,结果有何变化?若为圆柱侧面(取外侧),如何计算?第6页/共27页8例2利用Gauss公式计算积分其中为锥面解作辅助面取上侧介于z=0及z=h之间部分的下侧.所围区域为,则第7页/共27页9利用重心公式,注意第8页/共27页10例3计算其中（1）　　　　　　　　　的外侧；（2）　　　　　　　　　　　的内侧；解(1)(2)第9页/共27页11例4计算　　，Σ为平面x+y+z=1与三坐标面所围成的面，取外侧。解比用第二类曲面积分的方法简单得多。第10页/共27页12例5设为曲面取上侧,求解作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标第11页/共27页13在闭区域上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式例6设函数其中是整个边界面的外侧.分析高斯公式第12页/共27页14证令由高斯公式得移项即得所证公式.第13页/共27页15二、通量与散度引例设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为理意义可知,设为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为第14页/共27页16若为方向向外的闭曲面,当>0时,说明流入的流体质量少于当<0时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过的流量为当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.流出的,表明内有泉;表明内有洞;根据高斯公式,流量也可表为③第15页/共27页17如果Σ是高斯公式(1)中闭区域的边界曲面的外侧，那么高斯公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域Ω的流体的总质量。由于我们假定流体是不可压缩的，且流动是稳定的，因此在流体离开Ω的同时，Ω内部必须有产生流体的“源头”产生出同样多的流体来进行补充。所以高斯公式左端可解释为分布在Ω内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量。设Ω的体积为V，式（1）两端同除以V，有上式左端表示Ω内的源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值。第16页/共27页18方向向外的任一闭曲面,记所围域为,设是包含点M且为了揭示场内任意点M处的特性,在③式两边同除以的体积V,并令以任意方式缩小至点M则有此式反应了流速场在点M的特点:其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.第17页/共27页19定义设有向量场其中P,Q,R具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向则称曲面,其单位法向量n,为向量场A通过有向曲面的通量(流量)。在场中点M(x,y,z)处称为向量场A在点M的散度。记作divergence第18页/共27页20表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场A处处有,则称A为无源场。例如,匀速场故它是无源场.说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且第19页/共27页21*例7.置于原点,电量为q的点电荷产生的场强为解:计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.第20页/共27页22例8已知向量　　　　　　　　　，Σ为圆柱　　　　　的全表面，求A穿过曲面Σ而流向其外侧的通量。解：第21页/共27页23内容小结1.高斯公式及其应用公式:应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:第22页/共27页242.通量与散度设向量场P,Q,R,在域G内有一阶连续偏导数,则向量场通过有向曲面的通量为G内任意点处的散度为第23页/共27页25思考与练习所围立体,判断下列演算是否正确?(1)(2)为第24页/共27页26备用设是一光滑闭曲面,所围立体的体是外法线向量与点(x,y,z)的向径试证证:设的单位外法向量为则的夹角,积为V,第25页/共27页27高斯(1777–1855)德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,原则:代数、非欧几何、微分几何、超几何在对天文学、大恪守这样的“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.第26页/共27页