3人绕三角形追逐问题的数学模型和matlab仿真

明甲乙丙既不 相逢于 C点也不相逢于任何一点。 对上述问题证明的 matlab程序。 ％甲的速度 是 10m／S，乙的速度是 8m／S，丙的速度 是 5m／s ％此程序是验证甲乙丙在三边上任何一点都不相逢。 clear v=[]； for p=0：5 1=8·p，5； k=2 p； 、，=[v，(300·k-600·p-300=500·1-800·P一1600／3=1200 ·k-1500·1+4oo)]； end ％若 v为 O说 明方程组无解 、，==、， 定理 2 条件如问题所述 。则 (1)甲乙在追逐过程 中相逢且只能相逢于顶点 A； (2)乙丙在追逐过程中不相逢于任何一顶点 ； (3)丙甲在追逐过程 中相逢且只能相逢于顶点 C； 证明：(1)证 明甲乙只能相逢于顶点 A。在一个周期 内 ，甲路程 为 Sl=10x300=3000m，刚好 从顶点 B出发沿正 三角 形 ABC跑 了 1O圈 回 到 B，乙 路程 为 =8x300= 2400m．刚好从顶点 C出发沿正三角形 ABC跑了 8圈回到 C。假设甲乙相逢于正三角形 ABC上反时针方向距离顶点 A m处(见图 3)，则 0~x<300。假设甲跑 了k圈到达相逢 点 ．乙跑了 Z圈到达相逢点 。则 k．Z为整数。且分别取值为 k--O， 1，2，3，4，5，6，7，8，9；l--0，1，2，3， 4。5，6，7；此 时 甲所 走 路 程 为 300k+200 ． 乙所 走 路 程 为 3001+100+x。由路程 速度 的关 系．我们可得如下方程： 3oo，+】oo+ 8 B(甲) 图 3 C(乙) 。 。。 。。’ —— ‘‘ 。。 。’ ’⋯ - 3oo．i}+2oo+ l0 对 k，Z用穷举法 ，解得 x--0，这表明甲乙只能相逢于顶 点 A。 同理可证明(2)(3)成立。 模型一 由上述定理，甲乙丙三人不能在任意点上相 逢，所以，稍加分析即知，甲乙丙在运动过程中共边当且仅 当下述情形之一发生 ： (一 )甲乙丙两两不相逢 ，此时根据三人在同一条边的 位置又有 6种情形 ： (1)甲进、乙中、丙出； (2)甲进、丙中、乙出； (3)乙进、甲中、丙出； (4)乙进、丙中、甲出； 一 12O 一 (5)丙进 、甲中、乙出； (6)丙进 、乙中、甲出； (--)甲乙相逢 ，此时根据三人在同一 条边的位置又有 2种情形： (1)甲乙进 ，丙出； (2)N进，甲乙出； (--)乙丙相逢 ，此时根据三人在 同一条边 的位置又有 2种情形： (1)乙丙进 ，甲出； (2)甲进，乙丙 出； (四)丙甲相逢 ，此时根据 ----．K在同一条边的位置又有 2种情形 ： (1)丙甲进 ，乙出； (2)乙进 ，丙甲出。 根据对第一个周期内以上 12种情形稍加分析(为了使 问题易于分析，对于甲 乙丙共边时有一进一出、一进两出、 两出一出三种情况 的出现 。由于此刻三者虽共边但运动方 向不同，故不考虑该共边起止时间相同的点)，可得在一个 周期内甲乙丙共边 当且仅 当下述情形之一发生： (1)甲进入该边时乙丙还没有走出该边，此时共边的起 止时刻分别就是甲进入该边的时刻和 乙走出该边的时刻； (2)甲丙 同时进入该边时 乙还没有走出该边 ，此时共边 的起止时刻分别就是甲丙进入该边的时刻和甲乙走出该边 的时亥U： (3)甲丙同时进入该边时乙还没有走出该边 ，此时共边 的起止时刻分别就是甲丙进入该边的时刻和乙走出该边的 时亥U： (4)甲乙丙不相逢 ，乙进 入该 边时甲丙还没有走出该 边 ．此时共边的起止时刻分别就是乙进入该边的时刻和甲 丙或甲走出该边的时刻 ； (5)甲乙丙不相逢 ，丙进入该边 时甲乙还没有走出该 边 ．此时共边的起止时刻分别就是丙进入该边的时刻和甲 走 出该边的时刻 ； 根据模型一 的描述我们得到在第一个周期内三者的共 边情形 ： (1)在 担 ×3s这一时刻 ，甲进入 BC边 ，此 时乙丙 尚未出该边 ，乙出该边的时刻是 t： ×3s，所以甲 乙丙第 一 次共 BC边，起止时刻 为[ ×3， ×3]； (2)在 at= x4s这一时刻 ，甲丙同时进入 CA ，此时 乙尚未出该边 ，甲乙出该边的时刻 t= ×5s是 ，所以甲乙 丙第二次共 cA边 ，起止时刻为[ ×4， ×51； (3)在 t= ×16s这一时刻 ，甲丙同时进 CA ，此时 乙尚未 出该边 ，乙出 CA边 的时刻 ，即 t： ×13s，所以甲 乙丙第三次共 cA边，起止时刻为[ ×16， ×13]； 维普资讯 http://www.cqvip.com l：御 陡 浇 {f；)2007年第4期 (4)在 t： x17s这一时刻 ，乙进入 BC边 ，此时甲丙 尚未出该边，甲丙出该边的时刻是t=等 ×22s，所以甲乙丙 第四次共 Bc边 ，起止时刻为[ ×17， ×22]； (5)在 xlSs这一时刻 ，乙进入 CA边 ，此 时甲丙 尚未出该边 ，甲出该边的时亥u是 t= ×23s，所以甲乙丙第 五次共 cA边，起止时刻为[ ×18，1IO 0×23]； (6)在[110 0×23 ，300]这段时间内，甲乙丙不会有共边 的情形发生。 下面我们证明这一论 断的正确性 。在 担 x23s时 刻。甲乙丙所在位置如 图 4，此时沿运动方向，乙在 甲前 240m。甲乙共边的一个必要条件是在运动 方向上甲距离乙 小于 lOOm，所以根据相对运动性 ，要达到这一必要条件甲 需要的时间须多于兰坠 ：70(s)；丙在甲前 250m，甲丙 共边的一个必要条件是在运动方向上甲距离丙小于 100m， 所以根据相对运动性 ，要达到这一必要条件甲需要的时间 须多于 ：3o(s)；同理 乙在丙前 290m，所以根据相 对运动性 。要达到必要条件需要 的时间须 多于 (s)；要使 甲乙 丙三者共线 。必须同时满足上述 三种情况。则三者再次共边的时 间应该大于 7 ，而 [ 10 0x23 ， · u B 30o]这段时间只有 70s，所 以在 这段时间内不会共边。 图4 C 综上所述。我们得到如下的一般性结果 ： (1)在一个周期内共有 5次共边 ，第 k个周期第 1次共 边的起止时刻为 l 300( 1) 百1oo(“2)，30o( 1) 1oo(“2)l，当 1，2时； l 300( 1)+11~(1+13),300( 1)+ 100【,“Io)]，当 时； I 300(k-1)+ 100(．“I3)，30o(k-1)+ (“l8)I，当 ，5时。 (2)记 n=5k+l，1≤Z≤5，则 ／I．第次共边的起止时刻正好 是第 k+1个周期第 1次共边的起止时刻。 模型二 首先 ．以ilz~_ 角形 ABC顶点 B (甲所 在 的 位置)为坐标原点 ，边 BC所 在的直线为 轴建立坐标系 (见初始状态图)。甲乙丙在 t 时刻的路程分别为s。(t)=lOt， s2(t)=8t，s3(t)= ；对 甲而 言，我们给 BC，CA，AB分别 初贻状态 (1)甲乙丙共边BC当且仅当[ 】~O(mod3)， [ ------2fro0d3)且[ ~1(mod3)； (2)甲乙丙共边CA当且仅当【 】s1(- 3)， [ ------O(m0d3)且[ 】一2(m。d3)； f300k+200<10t<300(k+1) {300l+100<8t<300l+200 I300p<5t<300p+1O0 根据 k。l,p的取值所对应的 t的取值范围如下： J30k+20O qm~oor(n／5)；r=rem(n。5)； if r==0 fl=300·(q-1)+18008；tr=150·(q-1)+2300／10； eheif r= 1 tl--300’q+300／10；tr=300‘q+300／8； elseif r==．2 tl=300‘q+400／10；tr=-300‘q+500／10； elseif r==3 tl--300‘q+1600／10；tr=-300‘q+1300／8； else tl--300’q+1700／8；tr=-300‘q+2200／10； end disp([ 第 num2str(n) 次共边 的起止 时刻为 [ num2str (d) 。 num2str(tr) ] ]) end 下面我们给出模型二的 matlab程序 。该程序利用 mat— lab强大的绘图功能，用形象的动画仿真演示追逐过程 ，并 且给出了第一个周期内的共边的次数及相应的起止时刻 。 ％模型二的 maflab 程序一 动画演示追逐过程． ％追逐模型的程序——动 画演示追逐过程． clear all；close all format long；％数据用 lang格式 ，只是为了起止时刻记录的 更精确一点 ％初始状态 ：等边三角形，甲乙二人 的位置． x=[O 100 500]；)r=[O0 50·sqrt(3)0]； plot(x。Y。qinewidth',3)； text(O。-4， )；text(99。-4，，C )；text(49。90。 )； a 8([一10 110-10 95])；hold on ． - 122 -- ％甲及其所在的位置． hi--plot(O，O)；set(hl，"color ，，r ，"marker ， 0 ，"erase ，"xor 。 "LineWidth ，6)； ％乙及 其所 在 的位 置． h2=plot(100，O)； set(h2，"color ，，m 。"m~ll"ker 。1l ，"erase ， "xor ，1_Jinewidth 。4)； h3=plot(50，50★sqrt(3))；set(h3，"color 。，g ，"marker ，，p ， "erase ， " xor ，1_JinewidtIl ，5)； title(~秒后开始追逐 (圆圈代表 甲，六角星代表 乙，五角星 代表丙 ) )；hold off；pause(3) ％下面动画演示追逐过程(一个周期的情形)． dt=l／48；t--O：dt：300％一个周期为 T=150秒． s=zeros(3，1)；c=[]；ss=[]；next=l； x1=[]；y1=[]；x2=[]；y2=[]；x3=[]；y3=[]； for i=l：length(t) s(1)=10-t(i)； s(2)=8★t(i)；s(3)=5★t(i)； k=floor(s／!O0)；l=s-k★100； as(：，i)-l；p=mod(k，3)； axis([一10 110—10 953)； ％对甲的描述． ifp(1)--0 xl(i)-l(1)；yl(i)=0； set(hl。"Xdata',xl(i)，"Ydata',yl(i))； drawnow elseif p(1)= 1 xl0)=100-1(1)·cos(pi／3)；yl(i)-l(1)·sin(pi／3)； set(hl，"Xdata',xl(i)，"Ydata',yl(i))； drawnow else ‘ x1(i)--50-1(1)·sin(pi／6)； yl(i)--50‘sqrt(3)-l(1)·cos(pi／6)； set(hl，"Xdata ，xl(i)，"Ydata 。yl(i))； drawnow end ％对乙的描述． ifp(2)=---O x2(i)=100-1(2)·cos(pi／3)；y2(i)：：l(2)·sin(pi／3)； set(h2。"Xdata 。x2(i)。"Ydata 。y2(i))； drawnow elseifp(2)w~ l x2(i)=50-1(2)·sin(pi／6)； y2(i)--50·sqa(3)-l(2)·cos(pi／6)； set(h2，"Xdata 。x2(i)，"Tdata 。y2(i))； drawnow else x2(i)-l(2)；y2(i) O； set(h2。"Xdata 。x2(i)，"Ydata 。y2(i))； drawnow end ％对丙的描述 维普资讯 http://www.cqvip.com <局订陡 鹰 最 )2007年第4期 if p(3)--O x3(i)=(100--1(3)) cos(pi／3)； y3(i)=(100-1(3))·sin(pi／3)； set(h3，"Xdata',x3(i)，"Ydata',y3(i))； drawnow elseif p(3)=：1 x3(i)=1(3)；y3(i)=0； set(h3，"Xdata',x3(i)，"Ydata",y3(i))； drawnow else x3(i)=100-1(3) eos(pi／3)；y3(i)=1(3)·sin(pi／3)； set(h3，"Xdata',x3(i)，"Ydata',y3(i))； drawnow end title([ 当前时刻 ，num2str(t(i))，，s ， (圆圈代表 甲，六角 星代表乙，五角星代表丙) ]， Color ， )； if(p(1)~----O&p(2)=2&p(3)= l I p(1)一 1＆p(2)— ＆p(3)一2 ⋯I p(2)= l&xl(i)--50&yl(i)==50·sqrt(3)&x3(i)--O&y3(i) ==oI xl(i)~ lOO&yl(i)~----0＆ x2(i)~---O&y2(i)--O＆ x3(i)~ lOO&y3(i)==O ⋯ Ixl(i)--50&yl(i)一50 sqrt(3)& x2(i)==50&y2(i)--50 sqrt(3)& x3(i)~----O&y3(i)---O ⋯ lp(2)一1＆】【1(i)==o＆y1(i)==0＆】【3(i)一50＆)，3(i)一50·sqrt (3))＆ rem(t(i)，50)---0 e(next)=t(i)； next=next+l； end pause(dO； end ％一个周期内共边 的次数统计 。及相应的起止时刻． nmbrs=l；nat--[]； mt(1)=e(1)；％第一个周期内第一次共边的起始时刻． for i=l：length(e)-I if e(i+1) (i)>1 nmbrs=nmbrs+l； rot=[mt c(i)e(i+1)]；％第 i次共边终止时刻 c(i)，第 i+1次共边起点时刻 e(i+1)． end end rot(2·nmbrs)=e(end)；％第一个周期内最后一次共边 的终 止时刻． mt _ final=[]； fori=l：nmbrs mLfinal=[rot_final；rot(2·i-1)rot(2·i)]； end nmbrs ％一个周期内共边的次数． mt final ％第一个周期内第一次至最后 一次共边 的起止 时刻． 程序 二的运行结果 为一个周期 内共边次数 为 nmbrs= 5。相应的共边 的起止时刻为 mr_final=1．Oe+O02· 0-37479166666667 0．499791 66666667 1．62479166666667 2．19979166666667 2．250《×××X×X}(×××} 2．2S 979166666667 从上面 的结果我们 不禁惊 叹于 maflab强大的数值计 算功能 ：30、40、160、212．5和 225这五个值都为真实值而非 近似值。 3．讨论 对于引言 中提到的追逐问题 。我们建立了两个模型。模 型一给出了完整的解答 ，运动的周期性用得淋漓尽致 ，一个 周 期 内的共 边 的次 数和 起止 时刻 交待得 都很 清 楚。模型二表述简单 ，运 用初等 数论 知识 建立模 型 ．能够较易地 推广到多 人 绕正 多边 形追逐 的情 形 ：但模型二没 有明确 交 待 共边 的起 止时刻 和 没 有给 出相逢的判断 。即留 下了三个模糊 的东西 ：一 是共边的起止 时刻 ．二是 时段 [0，t]内共 边 的 次 数 ．三是相逢前后都有共 边 。应算一 次共边 ，模 型 二却将其一分为二。虽然 这三 个 问题 都 可通 过计 算机程序给 以解决 。但 由 于计算机运算的近似性 起 止时刻 只是 近似 的数 字解。本文为引言中提到 的追逐 问题 所建 立 的两 追逐到第 13．5417s时刻的图像 追逐到第 30．5417s时刻的图像 个模型 ，都是一种理想化 的结果 ，即甲乙丙三人体质无差异 地绕正三角形做持续的匀速运动 ，没有考虑人 的生命特征 ， 所以理论上的结果将与实际情况有所不符。 Matlab语言具有极 强的数值计算功能和绘图功能．是 工程计算、系统仿真等领域具有广泛应用性的软件【l】。本文 没有用 maflab的仿真工具箱 simulink．也没有用动 画命令 getframe和 movie(这两个命令一般很难看到它们的使用方 法的介绍)t2a。 参考文献： [1]薛定宇，陈阳泉．高等应用数学问题的matlab求解[M]．北 京：清华大学出版社，2006． [2]胡 良剑，孙晓君．matlab数学试验[M]．北京：高等教育出版 社，2006，107_113． ． 123 ． 维普资讯 http://www.cqvip.com