2004年重庆市初中数学竞赛决赛试卷。
欢迎光临《中学数学信息网》下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光
2004年重庆市初中数学竞赛决赛试卷
(时间 120分钟 满分 140分)
一、选择题:(每小题6分,共42分)
1.使分式
没有意义的x的取值是( )
(A)―3
(B)―2
(C)3或―2
(D)±3
2.设m=
,则m的最小值是( )
(A)0
(B)1
(C)―1
(D)2
3.如图,直线MN和EF相交于点O,∠EON=60°,AO=2m,∠AOE=20°.设点A关于EF的对称点是B,点B关...
欢迎光临《中学数学信息网》下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光
2004年重庆市
竞赛决赛试卷
(时间 120分钟 满分 140分)
一、选择题:(每小题6分,共42分)
1.使分式
没有意义的x的取值是( )
(A)―3
(B)―2
(C)3或―2
(D)±3
2.设m=
,则m的最小值是( )
(A)0
(B)1
(C)―1
(D)2
3.如图,直线MN和EF相交于点O,∠EON=60°,AO=2m,∠AOE=20°.设点A关于EF的对称点是B,点B关于MN的对称点是C,则AC的距离为( )
(A)2m
(B)
m
(C)2
m
(D)2
m
4.已知
,则
的值为( )
(A)0
(B)1
(C)―1
(D)2004
5.估计
大小的范围,正确的是( )
(A)7.2<
<7.3
(B)7.3<
<7.4
(C)7.4<
<7.5
(D)7.5<
<7.6
6.如图A、B、C是固定在桌面上的三根立柱,其中A柱上穿有三个大小不同的圆片,下面的直径总比上面的大.现想将这三个圆片移动到B柱上,要求是每次只能移动一片(叫移动一次),被移动的圆片只能放入A、B、C三个柱之一且较大的圆片不能叠在小片的上面,那么完成这件事情至少要移动圆片的次数是( )
(A)6
(B)7
(C)8
(D)9
7.如图是一个正方体纸盒,在其中的三个面上各画一条线段构成△ABC,且A、B、C分别是各棱上的中点.现将纸盒剪开展成平面,则不可能的展开图是( B )
二、填空题:(每小题6分,共42分)
1.分解因式:
=______________________.
2.如图梯形ABCD中,AD∥BC,EF为中位线,S△ABD∶S△BCD=3∶7,则S梯形AEFD∶S梯形EBCF=______________.
3.已知
,则
的值为_______________.
4.如图,数一数,图中共有多少个(包含大小不同的)正方形? 答案________.
5.如图A是一个面积为a的正三角形,现将它作如下变换:取三角形各边的三等分点向形外作没有底边的等边三角形,这样得到一个六角星(如图B);继续对六角星各边施行相同的变换,得到“雪花形”(如图C).则雪花形的面积为_____________.
6.已知
,
(n=1,2,3,……),则
=________________.
7. 右图是由数字组成的三角形,除最顶端的1以外,以下出现的数字都有一定的规律.根据它的规律,则最下排数字x的值是_____________.
三、解答题:(共56分)
1.(16分)某商场对顾客购物实行优惠,规定:(1)一次购物不超过100元不优惠;(2)一次购物超过100元但不超过300元,按标价的九折优惠;(3)一次超过300元的,300元内的部分按(2)优惠,超过300元的部分按八折优惠.老王第一次去购物享受了九折优惠,第二次去购物享受了八折优惠。商场告诉他:如果他一次性购买同样多的商品还可少花19元;如果商品不打折,他将比现在多花67元钱。问老王第一次购物、第二次购物实际各支付了多少钱?
2.(20分)如图,△ABC中,∠C=90°,∠CAB=30°,AC=BC=AD.
求证:BD=CD.
3.(20分)讨论一道开放性试题,老师要求同组每个同学至少要和三个同学交换意见.某学习小组共有11位同学,讨论完成后有两位同学说自己和4个同学交换了意见.请证明至少还有一位同学也至少和4个同学交换了意见.
2004年重庆市初中数学竞赛决赛初二年级试题
参考答案和
意见
一、选择题:(每小题6分,共42分)
CBCB、CBB
二、填空题:(每小题6分,共42分)
1.
; 2.2∶3; 3.
; 4.55;
5.
; 6.
; 7.178.
三、解答题:
1.解:设老王第一次购物的标价为x元,实际支付0.9x元,第二次购物的标价为y元,实际支付
元. ………………………………………………………………………(4分)
依题意,得
……①
…………………………②……(8分)
由①得,
,∴x = 190(元) ……………………………………………………………(12分)
由②得,
,
将x代入,得 y=390 (元)
故,第一次支付 0.9×190=171(元),第二次支付270+(390―300)×0.8=342(元)
答:老王第一次支付了171(元),第二次支付了342(元)……………………………………(16分)
2.证法一:
如图,过C作CE⊥AD于E,过D作DE⊥BC于F. …………(4分)
∵∠CAD=30°,∴∠ACE=60°,且CE=
AC,………………(8分)
∵AC=AD,∠CAD=30°,∴∠ACD=75°,
∴∠FCD=90°―∠ACD=15°,∠ECD=∠ACD―∠ACE=15°……(12分)
∴△CED≌△CFD,
∴CF=CE=
AC=
BC,∴CF=BF. ………………………………(16分)
∴Rt△CDF≌Rt△BDF,
∴BD=CD. ……………………………………………………(20分)
证法二:
如图,作△AEB,使AEBC为正方形,连结ED. ………………(4分)
∵∠BAD=45°―∠CAD=45°―30°=15°,
∴∠EAD=∠EAB+∠BAD=60°, …………………………………(8分)
又AD=AC=AE,
∴△ADE是等边三角形,……………………………………………(12分)
∴ED=AD=AC=EB,
∴∠DEB=90°―∠AED=30°………………………………………(16分)
∴△ACD≌△EBD,
∴CD=BD.……………………………………………………………(20分)
3.证明:因为甲、乙二人相互讨论一次,每人都说自己讨论了一次,统计时,就被算作了两次.
………………………………………………………(4分)
11个人,如果每人刚好只讨论了3次,总次数将是11×3=33次,
由于其中有两人是讨论的4次,则总次数是:33+2=35次.…………………………………(8分)
根据前面的分析,对每一次讨论都有两人报数,故总次数应该是2的倍数,………………(12分)
所以,总次数
3535+1=36.…………………………………………………………………(16分)
即总次数至少是36次,故,一定至少还有一人是讨论的4次.……………………………(20分)
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1
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