布莱克—舒尔斯期权定价模型

布莱克—舒尔斯期权定价模型 布莱克—舒尔斯期权定价模型 布莱克—舒尔斯期权定价模型 深化第五章中期权定价的概念，尤其是二叉树定价方法 期权的风险实际上在标的物的价格及其运动中就得到反应，而且标的物的价 格还反映了市场对未来的预期，因此，要研究期权的定价必须首先刻画标的物股 票价格运动的规律 股票价格运动的规律 证券价格可能取任何值 研究股票价格运动规律—得出二叉树定价的合理性 随机过程 一族无穷多个相互有关的随机变量{S(t)} 如果t>=0，则是随机过程 如果t的变化是离散的，则是随机序列或随机链 S(t)可以是一维的变量，也可以是多维的向量 股票价格运动规律 每天的收益率 年利率 利用连续计息方式计息的连续复利 推广 连续计息的年利率 股票价格运动方式的基本假设 1)所有的 都是独立同分布的; 2)股票的价格变化是连续的。 由假设条件可知:当时间间隔取很小，即n可以取很大数值时r(股票的连 续复利收益率)服从正态分布，价格的年变化就服从对数正态分布 说明:鉴于正态分布是统计学上最常见的现象，人们自然会设想金融资产的价格服从正态分布，然而这种假设会带来若干问，最明显的就是服从正态分布的随机变量可以取负值，但负的资产价格却没有意义; 既然可以认为资产收益率服从正态分布，那么通过考察资产价格与收益率之间的关系，便可探求资产价格的变化规律 二叉树定价的合理性 二叉树各个阶段股票价格的变化是互相独立的，而且变化的概率分布是同分布的，因此满足条件1 二叉树定价中所分阶数越来越多，适当的选择二叉树中的u和d，使他们都足够快的趋于1，当所分阶数趋于无穷大时，股票的价格变化就趋向于对数正态分布(收益率变化趋于正态分布) 适当选择参数，二叉树无限细分确实能够描述股票价格的运动规律 布莱克—舒尔斯期权定价模型 假设条件: 1)市场的无摩擦性 2)从时刻t=0到t=T，都可以以一相同不变的利率借贷，利率按连续复利r计算 3)从时刻t=0到t=T股票不分红 4)标的物股票价格的变化遵循对数正态分布的随机过程 伊藤过程 在以上假设条件下，股票价格的运动遵循一种称之为带漂移的几何布朗运动的规律，在数学上则现为称作伊藤过程的一种随机过程 漂移率 波动率 布朗运动 连续计算收益率的股票在单位时间内收益的自然对数实际就是单位时间连续计息的复利收益率 满足上述伊藤过程的股票的连续计息复利收益率服从正态分布，所以这一伊藤过程的数学模型确实描绘了股票价格的连续变化规律(附录中证明) 伊藤引理 是衍生品的价格(取决于标的物股票的价格S和时如果 间t)，则有以下的关系 显然， 可以统一地表示买权或卖权的价格 动态复制过程 1)与复制1份欧式买权相对应，股票的头寸始终小于1股 2) 3)套头比不停的变化，所以为了复制一份期权，需要随时调整复制组合中股票的头寸，但这种调整是自融资的 这一动态复制过程就是用期权、标的物股票和一种无风险证券来构筑一个无套利均衡的组合头寸 布莱克—舒尔斯随机微分方程 布莱克—舒尔斯的期权定价公式 注:N(3>.)是累计正态分布函数 对定价公式的说明(看涨期权) 当上述一个变量改变，而其他变量不变时，看涨期权的价值特征: 1)标的物股票的价格S越高，看涨期权的价值也就越高 2)期权执行价X越高，看涨期权的价值越低 3)期权的到期时间T越长，看涨期权价值越高 )无风险利率 越高，看涨期权价值越高 4 5)标的物股票的价格波动率 越大，看涨期权的价值越高 关于波动率:在这个公式中，最难理解的莫过于波动率(??)，其实这是期权定价法中最重要的变量。这个变量体现的是:金融市场上，吸收了全部当前“信息”之后，对未来该股票价格走势的“不确定性”的判断。 也就是说，??越小，说明市场对该股票价格的判断就越明确，市场上投资人相信其价格在未来不会出现大的波动，投资人根据当前市场上掌握的信息，可以比较容易地判断该股票未来价格走势，因而该股票未来价格的不确定性也就越低。 如果??越大，说明市场对其价格的判断越困难，市场上投资人相信该股票在未来会出现剧烈的价格波动。投资人根据当前市场上掌握的信息，很难判断该股票未来价格走势，因而该股票未来价格的不确定性也就越高。 利用布莱克—舒尔茨公式求解期权价格 [例1] 假设年利率为20,，有效期限为半年，敲定价格为$105，股票现行价格为$100，股票价格波动率为5%。那么，该股票欧式看涨期权的价格为多少, 显然，S0,1OO，X,105，r,0.20，T-t,0.50，σ,0.05 用公式计算:d1=1.47 ; d2=1.43 查正态分布数值表(正态曲线下的面积—累积概率): N(d1)=N(1.47)=0.9292; N(d2)=N(1.43)=0.9236 用公式计算: C = $5.17 * *