线性无关向量组的几个性质及其应用

线性无关向量组的几个性质及其应用 第20卷 第1期 邢 台 职 业 技 术 学 院 学 报 Vol.20 No.1 2003年2月 Journal of Xingtai Vocational and Technical College Feb. 2003 线性无关向量组的几个性质及其应用 贾寅戌 邢台职业技术学院 河北邢台 摘 要 线性无关的向量组组成的矩阵在某些方面和非奇异阵有着相似的性质但与非奇异阵又有着一些本质的区别。本文首先讨论了几个有关性质 然后证明几个关于矩阵秩的问。 关键词 线性相关与线性无关 矩阵的秩 非奇异阵。 中图分类号 文献标识码 文章编号——— 设有维线性无关的列向量组rαααvLvv21? 维线性无关的行向量组rβββvLvv21? 则矩阵rmrA×αααvLvv21的秩等于它的列数 称其为列满秩矩阵矩阵 nrTTrTTB×βββvLvv21的秩等于它的行数 称其为行满秩矩阵。列满秩矩阵的转置是行满秩矩阵 行满秩矩阵的转置是列满秩矩阵。列满秩矩阵和行满秩矩阵具有非奇异阵的某些性质 但与非奇异阵也有着一些本质性的区别。下面以定理的形式对这些性质做一讨论。 【定理】设有列满秩矩阵 行满秩矩阵 则 和行满秩矩阵 使RLHG均为非奇异阵。 存在着列满秩矩阵 〖证〗中有阶非零子式 不妨设1GGGr 则矩阵??rmrIGG10为非奇异阵 取0rmmrmIH??×??为列满秩矩阵 且可有为非奇异阵 类似可证后一部分。 若中的阶非零子式不是它的前行 也可以选外的行构造来得到定理中的 。 对也可同样处理。 证毕 定理说明 列满秩矩阵和行满秩矩阵均 行满秩矩阵可以扩充为非奇异阵。 【定理】设有列满秩矩阵 则存在着同型的列满秩矩阵 和行满秩矩阵 使 。 〖证〗 因为存在着列满秩矩阵 和行满秩矩阵 使RLHG均为非奇异阵 首先记rmrMKHGTT???? 1 则由??HMGMHKGKHGMKHGHGITTTTTTm1 知。 再记1rnTrTTSRL???? 由??TTTTTTmRTRSLTLSTSRLRLRLI1 知 。 证毕 定理说明 列满秩矩阵左乘一个合适的行满秩矩阵可以成为单位阵。 【定理】设有列满秩矩阵 行满秩矩阵 则存在着列满秩矩阵 和行满秩矩阵 使 。 〖证〗因为存在矩阵 使为非奇异阵 不妨设 rmrMKHGTT???? 1 由行列式0?TTMKMK 知为列满秩矩阵。 再由 收稿日期2002—10—15 作者简介贾寅戌1950—河北南宫人邢台职业技术学院基础部副教授。 33 邢台职业技术学院学报 2003年 第1期 34??HMGMHKGKHGMKHGHGITTTTTTm1 知。 类似地 存在行满秩矩阵nrnR×?? 使RL为非奇异阵。 设1rnTrTTSRL???? 由行列式0?TTTSTS 知为行满秩矩阵。 由??TTTTTTmRTRSLTLSTSRLRLRLI1 知。 证毕 定理说明 列满秩矩阵左乘一个合适的行满秩矩阵可以成为零阵。 【定理】设有列满秩和行满秩矩阵 则对任意矩阵 只要可乘 则有 GALRALRGARAR。 〖证〗只证即可。 记 。 则有 ? ?。 因为存在着同型的列满秩矩阵和行满秩矩阵 使 。 于是由 则又有? ?。 所以有 。 证毕 定理说明 左乘一个列满秩矩阵 右乘一个行满秩矩阵 均不改变原矩阵的秩。 【定理】对任意矩阵 则rAR的充分必要条件是存在两个秩为的列满秩矩阵和行满秩矩阵 使。 〖证〗充分性。 若 则。 必要性。 存在非奇异阵 使 000rIPAQ 或11000????QIPAr。 记1KGPr?? rRLQ??1 显然 的秩为 即是列满秩矩阵 是行满秩矩阵。 并且有GLRLIKGAr000。 证 毕 【例】设是两个阶矩阵 用??示的任意子式 ??表示中相应??的代数余子式 则所有可能??与??的乘积之和等于BA。 〖证〗把按列分块 记为naaaAvLvv21 nbbbBvLvv21。则有行列式 nnbababaBAvvLvvvv2211。 将BA按列的加法分成行列式之和 为 BAnnbababavvLvvvv2211nnnnbababbabaavvLvvvvvLvvv221221 nnnnnnnnbabbbaabbababaaavvLvvvvLvvvvLvvvvLvv21212121LLLL nnnnbbbaabbaaaaavLvvLvLvvLvLvvvLvv21212121 nBAknBkABnABnAljjjjj01101?????LL nBAknBkABnAnkljjj00111?????? 其中 knBkAClkn??表示所有由的个列和的个剩余位置的列构成的行列式。 对其在的个列上取余子式?? 则其代数余子式恰是其中的列元素相应的余子式?? 所以有 .0???????nkBA 【例】证明?。 邢台职业技术学院学报 2003年 第1期 35 〖证?〗设 且均为×矩阵。取中的阶子块 并记为 则有 。 由例知 行列式???????ikiBA0。于是有 若 则0?? 若? 那么 ? 则0??。即恒有00???????ikiBA。 所以 ?。 〖证?〗设 且均为nm×矩阵。 则存在着秩为的列满秩矩阵和行满秩矩阵 秩为的列满秩矩阵和行满秩矩阵 使得11 LGBLGAsr 故有11LLGGBAsr 从而有 ??。 【例】证明 ?。 〖证〗由例的结论 ?可以有 ? 移项即得 ?。 证明 ?。 〖证〗因为 故存在非奇异矩【例】设阶矩阵有 阵 使000rIPAQ。 而 ????BQIRBPAQQRPABRABRr11000 又 BQIBQBQIIBQIrnrnnr1111000000000???????????????? 所以 BQIBQIBQrnr111000000????????。 由例的结论 有 rnABRBQIRBQIRBQRBRrnr????????????111000000。 亦即 ? 即得 ?。 【例】设npijpmijbBaA×× 且 。 证明 ?。 〖证〗由 存在秩为列满秩矩阵×和行满秩矩阵× 使。 对矩阵× 存在秩为的×矩阵 使为非奇异阵 从而TTHH1也是非奇异阵。 另有为×矩阵 则当时 有 . 001111psrrpBRHRBRBHRBRBHBHHRBHRBHRBGHRABRTTTTTnTTT??????????? ??? 当时 有 ? ?。 综上所述 恒有 ?。 例和例用两种不同的方法证明了类同的两个命题。 由于例中的矩阵是方阵 所以它可以用例的证明方法。 实际上例也可以用例的证明方法 此处不再叙述。 【例】证明 ?。 〖证〗设矩阵nqijqpijpmijcCbBaA××× 则对矩阵 存在秩为的列满秩sqspHG×× 邢台职业技术学院学报 2003年 第1期 36使得。 由例的结论 便得到 ??。 【例】设阶矩阵适合。 证明。 〖证〗因为 所以由例的结论知 ?。 又因为 故 ? 从而有 。 【例】设阶矩阵适合。 证明 。 〖证〗因为 所以有 由例的结论知 ?。 又由 再由例的结论 有 ? 从而有 。 【例】设为阶方阵 证明 ??