5 方向向量与平面的法向量
顺义区杨镇一中 高二
人教A版选修2-1 编写: 叶勇 李峥 董红霞 审核:叶勇
3.5直线的方向向量与平面的法向量 【考点要求】:理解直线的方向向量与平面的法向量;会用直线的方向向量与平面的法向量解决简单的问题。
【预习自学】:
用20分钟左右的时间,阅读探究课本第102—104页的
,熟记基础知识。完成教材助读设置的问题,然后结合课本的基础知识和例题,完成预习自测题。 I、教材助读
一、直线的方向向量:和这条直线平行或共线的非零向量. 二、平面的法向量:
l,如果直线,取直线的方向向量,则向量叫做平面的法向量 nnl,,
三、设直线的方向向量分别为,平面 的法向量分别为,则 ,,,ab,uv,lm,
lm,,(1) ?_____________________________
, (2) _____________________________ l,m,
, (3)______________________________ ,//,,
,(4)______________________________ ,,,,
,(5)__________________________________ l//,,
,(6)______________________________ l,,,
【探究新知与合作交流】:
探究点一、直线的方向向量
例1、 设分别是直线的方向向量,根据下列条件判断直线的位置关ll,ll,ab,1212
系:
(1) a,(2,,1,,2),b,(4,,2,,4)
(2) a,(2,,1,,2),b,(,8,0,,8)
(3) a,(1,,1,3),b,(3,3,2)
拓展提升:设分别是直线的方向向量,且,l,m,a,(sin,,cos,,2)ab,l,m
2b,(cos,,sin,,),,,则__________ 2
探究点二、平面的法向量
例2、 设分别是平面的法向量,根据下列条件判断平面的位置关系: ,,,,,,uv,
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(1) u,(,2,2,5),v,(6,,4,4)
2(2)u,(1,,,4),v,(,3,,2,12) 3
(3) u,(2,,3,5),v,(,3,,1,4)
l,拓展提升:若直线的方向向量,平面的法向量,则a,(1,0,2)n,(,2,0,,4)( )
, 与相交但不垂直 A.l,,B.l//,C.l,,D.l
,,例2、已知平面经过三点,试求平面的一个法向A(1,2,3),B(2,0,,1),C(3,,2,0)量
ABC
:已知,能做平面的法向量的是( ) ABAC,,,,1,0,1,0,3,1,,,,
1,,1,,1A. B. C. D. 1,2,11,0,02,1,3,,,,,,,,3,,
探究点三、直线的方向向量与平面的法向量的简单应用 例3、正方体中,分别为的中点,求证:面ABCDABCD,M,NCC,BCMN//1111111
ABD1
拓展提升:在正方体中,点分别是的中点, ABCDABCD,E,FBB,CD11111
ADE求证:平面 DF,1
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【当堂检测】:
1、已知直线的方向向量是,直线的方向向量是,下列条件可使的是llll//ab1212
( )A =(1,2,-2) =(-2,-4,-4) B =(1,3,0) =(-3,1,0) abab
C=(2,3,0) =(-4,-6,0) D =(-2,3,5) =(16,24,40) abab
2、已知A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,-1),则平面ABC的一个法向量是___________________
【当堂小结】___________________________________________________。
【巩固训练】
1、已知直线的方向向量是,直线的方向向量是,下列条件可使的是llll//ab1212
( )A =(1,2,-2) =(-2,-4,-4) B =(1,3,0) =(-3,1,0) abab
C=(2,3,0) =(-4,-6,0) D =(-2,3,5) =(16,24,40) abab
,2、平面的一个法向量为(1,2,0),平面的一个法向量为(2,-1,0),则( ) ,
,,A 、 B、与相交但不垂直 C、 D、与的位置关系,,,,,//,,不能确定
3、已知A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1),则平面ABC的一个法向量是( )
333333(,,),(,,),A B 333333
333333D(,,),(,,),,,C 333333
l,x4、已知,且的方向向量是,的法向量是(-2,-1,2),则等于(1,2,)xl//,
_________
5、已知直线的方向向量为=(1,2,-2) =(-2,3,m) ,若 ,则m的值是ll,ll,ab1212___________
l6、向量=(1,2,-2) 是直线的方向向量,=(-2,x,y) 是平面的法向量,已知,ab
xy,,,则____________ l,,
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7、根据下列条件,判断相应的线、面位置关系
(1)直线的方向向量分别是=(1,-3,-1) =(8,2,2) ll,ab12
(2)平面的法向量分别是=(1,3,0) =(-3-9,0) ,,与uv
l,(3)直线的方向向量,平面的法向量分别是=(1,-4,-3) =(2,0,3) au
l,(4)直线的方向向量,平面的法向量分别是=(3,2,1) =(-1,2,-1) au
8、在正方体中,棱长为1,G,E,F分别为、AB、BC的中ABCDABCD,AA11111
点,求平面GEF的一个法向量。
,9、在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,
,点E是PC的中点,作EFPB交PB于点F.
,(1)求证:平面EDB (2) 求证:PB 平面EFD PA//
10、在棱长为1的正方体中,点分别为的ABCDABCD,E,F,GDD,BD,BB111111中点,
EF(1)求证: (2)求与所成的角的余弦值 (3)求 EF,CFCGCE优秀需要机会 成功需要准备 人生需要梦想