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广州市第二中学2018-2019学年上学期高二中段考试题文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合，，则A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的并集运算进行计算即可．【详解】由B={x|x﹣3＜0}，得B={x|x＜3}，则A∪B={x|x≤3}=（﹣∞，3]，故选：C．【点睛】本题主要考查集合的并集运算，比较基础．2.在等比数列中，，公比，若，则A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】运用等比数列的通项公式，解方程即可得到所求k的值．【详解】在等比数列{an}中，a1=1，公比q≠±1，若ak=a2a5，则a1qk﹣1=a12q5，可得k﹣1=5，即k=6，故选：B．【点睛】本题考查等比数列的通项公式及应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3.下列函数中，在区间上单调递增的是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据常见函数的单调性分别判断即可．【详解】对于A，函数在区间[0，+∞）上单调递减，不合题意；对于B，函数在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意；对于C，在（0，1）递减，不合题意；对于D，函数在[0，+∞）递增，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了常见函数的单调性问题，熟练掌握常见函数的性质是解题的关键．4.一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是A.两次都中靶B.至少有一次中靶C.两次都不中靶D.只有一次中靶【答案】A【解析】【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．【详解】一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是两次都中靶．故选：A．【点睛】本题考查互事件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用．5.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得x=1，k=10执行循环体，x=3，k=11不满足条件x＞2k，执行循环体，x=7，k=12不满足条件x＞2k，执行循环体，x=15，k=13不满足条件x＞2k，执行循环体，x=31，k=14此时，满足条件x＞2k，退出循环，输出k的值为14．故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.若，则A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2θ的值．【详解】∵tanθ=2，则sin2θ====．故选：A．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．7.在中，“”是“是直角三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【答案】A【解析】【分析】结合两角和的正弦公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由sin（A﹣B）cosB+cos（A﹣B）sinB≥1得sin（A﹣B+B）≥1，即sinA≥1，∴sinA=1，即A=，此时“△ABC是直角三角形，当B=时，满足△ABC是直角三角形，但sinA≥1不成立，∴“sin（A﹣B）cosB+cos（A﹣B）sinB≥1”是“△ABC是直角三角形”的成立的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用两角和的正弦公式是解决本题的关键．8.已知变量，满足约束条件则的最小值为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【详解】由z=x﹣2y得y=x﹣z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z，过点A时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，2）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=﹣1﹣2×2=﹣5．∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣5．故选：B．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.9.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是A.若，∥，∥,则B.若，，，则C.若∥，，，则D.若∥，，，则【答案】D【解析】【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面平行的判定定理得α∥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【详解】由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m⊥n，α∩β=m，n⊄α，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m∥n，m⊥α，n⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故C错误；在D中，若m∥n，n⊥β，m⊂α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．10.已知函数，若，，，则，，的大小关系为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式先判断函数的单调性和奇偶性，然后根据指数和对数的运算法则进行化简即可．【详解】∵f（x）=x3，∴函数f（x）是奇函数，且函数为增函数，a=﹣f（log3）=﹣f（﹣log310）=f（log310），则2＜log39.1＜log310，20.9＜2，即20.9＜log39.1＜log310，则f（20.9）＜f（log39.1）＜f（log310），即c＜b＜a，故选：C．【点睛】本题主要考查函数值的大小的比较，根据函数解析式判断函数的单调性和奇偶性是解决本题的关键．11.若函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则的值为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】把函数y=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜π）的图象向右平移个单位后，得到y=sin（2x﹣+φ）的图象，根据所得图象与函数y=sin（2x﹣）的图象重合，可得﹣+φ=2kπ﹣，k∈Z．令k=0，可得φ=，故选：C．【点睛】由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.12.已知函数，，设为实数，若存在实数，使得成立，则的取值范围为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用二次函数的性质和对数函数的单调性，求出函数f（x）值域，进而根据存在a∈R使得f（a）+g（b）=1，得到g（b）=b2﹣2b﹣4≤，解不等式可得实数b的取值范围．【详解】当x＜﹣1，f（x）=+（）2=（+）2﹣，∵x＜﹣1，﹣1＜＜0，则﹣≤f（x）＜0，当x≥﹣1时，x+2≥1，则ln（x+2）∈[0，+∞），综上f（x）≥﹣，若存在a∈R使得f（a）+g（b）=1，∴g（b）=1﹣f（a）≤1+=则g（b）=b2﹣2b﹣4≤，即4b2﹣8b﹣21≤0，解得﹣≤b≤故b的范围为[﹣，]，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是分段函数，函数的值域，基本不等式，对数函数的性质，存在性问题，二次不等式，是函数和不等式较为综合的应用，难度中档．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.已知向量，，且，则___________.【答案】【解析】【分析】根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系分析可得•=2m+（﹣3）×（﹣2）=0，解得m的值，即可得答案．【详解】根据题意，向量=（2，﹣3），=（m，﹣2），若⊥，则有•=2m+（﹣3）×（﹣2）=0，解可得m=﹣3；故答案为：﹣3【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算公式，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系．14.已知命题方程有两个不等的实根；命题方程无实根，若“”为真，“”为假，则实数的取值范围为___________.（写成区间的形式）【答案】【解析】【分析】分别求出命题p、q为真命题时，a的取值范围，根据复合命题真值表判断若“”为真，“”为假时，命题p、q一真一假，可求a的取值范围．【详解】∵方程x2+ax+1=0有两个不等的实根，∴△=a2﹣4＞0⇒a＞2或a＜﹣2，命题p为真时，a＞2或a＜﹣2；∵方程4x2+2（a﹣4）x+1=0无实根，∴△=4（a﹣4）2﹣16＜0⇒2＜a＜6，命题q为真时，2＜a＜6；由复合命题真值表知：若“”为真，“”为假时，命题p、q一真一假当p真q假时，⇒a≥6或a＜﹣2，当p假q真时，⇒a∈∅，综上a的范围是a≥6或a＜﹣2．【点睛】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，注意解不等式公式的合理运用．15.向面积为的△内任意投一点，则△的面积不小于的概率为_____.【答案】【解析】【分析】根据题意知是在面积为S的△ABC内部任取一点P，使△PBC的面积小于的概率，可考虑画图求解的方法，根据图形求出面积比即可．【详解】记事件A={△PBC的面积不小于}，基本事件空间是三角形ABC的面积，如图所示；事件A的几何度量为图中去掉阴影部分的面积，其中DE是三角形的中位线；因为阴影部分的面积是整个三角形面积的，所以P（A）=1﹣=1﹣=．故答案为：．【点睛】几何概型问题时，首先分析基本事件的总体，再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式，概率就是度量比，一般是长度、面积、体积。16.已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为___________.（写成区间的形式）【答案】【解析】【分析】对a分类讨论，利用二次函数的图像与性质即可得到结果.【详解】对任意的，恒成立，即恒成立，当，显然成立；当时，，解得综上：故答案为：【点睛】本题考查了二次不等式恒成立问题，解题关键注意对二次项系数的分析，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程.17.已知等差数列的公差为，前项和为，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（Ⅰ）首先利用已知条件求出数列的通项公式．（Ⅱ）根据数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】解：（Ⅰ）由于，则，解得.所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则.故.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．18.一台机器的使用年限（年）和所支出的维修费用（万元）有如下统计数据：已知与之间有线性相关关系.（Ⅰ）求关于的回归方程；（Ⅱ）估计使用年限为年时，维修费用约是多少?参考公式：线性回归方程中斜率和截距公式分别为：，.【答案】（I）；（II）万元.【解析】【分析】（Ⅰ）求出对应的系数，求出回归方程即可；（Ⅱ）代入x的值，求出对应的函数值即可．【详解】解:（Ⅰ）,,,,,,故线性回归方程为.（Ⅱ）当时,,故估计使用年限为年时，维修费用约是万元.【点睛】本题主要考查线性回归方程.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19.已知，，分别是△内角，，的对边，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求.【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用余弦定理求出，即可求出A;（Ⅱ）先由正弦定理求出sinB，再根据诱导公式和两角和的正弦公式即可求出【详解】解：（Ⅰ）由于，则.由余弦定理得.因为，所以.（Ⅱ）法1：由正弦定理得，又，，得，得.由于，则.故.因为，则.所以，，.法2：把，代入，得，解得.所以.由,得.所以.【点睛】解三角形的基本策略:一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20.如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，点是的中点.（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）若，，，，求点到平面的距离.【答案】（I）详见解析；（II）.【解析】【分析】（Ⅰ）连结AC、BD，交于点O，连结OE，推导出OE∥PC，由此能证明PC∥平面BDE．（Ⅱ）利用等体积，求出点C到平面BDE的距离．【详解】（Ⅰ）证明：连接交于点，连接，因为四边形是平行四边形，所以点是的中点.又点是的中点，则∥.因为平面，平面，所以∥平面.（Ⅱ）解：由于，，，则，.又平面，，点是的中点，则平面，.所以三棱锥的体积.在Rt中，，在Rt中，，在中，，因为，所以，即.所以.设点到平面的距离为，由于，则，解得.所以点到平面的距离为.【点睛】等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．21.已知圆与轴相切于点，且被轴所截得的弦长为，圆心在第一象限.（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若点是直线上的动点，过作圆的切线，切点为，当△的面积最小时，求切线的方程.【答案】（I）；（II）或.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意设圆心坐标为（a，1），则半径为r=a（a＞0），再由圆被x轴所截得的弦长为2，利用垂径定理求得a=2，则圆C的方程可求；（Ⅱ）P为直线l：2x+y+5=0上的动点，过P作圆C的切线，切点为B，可知，要使△PBC的面积最小，则|PB|最小，也就是|PC|最小，此时CP⊥l，求出CP所在直线方程，与直线l联立解得P（﹣2，﹣1），设切线方程为y+1=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣1=0，再由圆心到切线的距离等于半径求得k，则切线PB的方程可求．【详解】解：（Ⅰ）依题意，可设圆心的坐标为，其中，圆的半径为，因为圆被轴所截得的弦长为，又点到轴的距离为，则，解得.所以圆的方程为.（Ⅱ）因为△的面积.故当最小时，△的面积最小.由于点是直线上的动点，则当时，最小.由于直线的斜率为，则直线的斜率为.直线的方程为，即.由解得所以点的坐标为.设直线的方程为，即.由于直线是圆的切线，则点到直线的距离等于圆的半径，即.解得或.所以切线的方程为或.另法：（Ⅰ）依题意，可设圆心的坐标为，其中，圆的半径为，则圆的方程为.令，得因为圆被轴所截得的弦长为，则，解得.所以圆的方程为（Ⅱ）因为△的面积.故当最小时，△的面积最小.由于点是直线上的动点，设点的坐标为，则.当时，取得最小值，此时点的坐标为.设直线的方程为，即.由于直线是圆的切线，则点到直线的距离等于圆的半径，即.解得或.所以切线的方程为或.【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查垂径定理的应用，是中档题．22.已知二次函数的两个零点为，，且.（Ⅰ）求的取值范围;（Ⅱ）若，且函数在区间上的最大值为，试判断点是否在直线上?并说明理由.【答案】（I）；（II）点在直线上.【解析】【分析】（Ⅰ）运用二次方程的判别式大于0，结合二次不等式的解法，即可得到所求范围；（Ⅱ）若a＞c，则b＞0，化简可得g（x）=2ax2+4bx+，讨论a的符号和最大值的取得，解方程即可得到结论．【详解】解:（Ⅰ）因为二次函数的两个零点为，，所以，.又，即，所以.故，即，得.解得或.所以的取值范围为.（Ⅱ）依题意，，是方程的两根，则，.，，，，，.由于，则.①若，由（Ⅰ）知，得，则二次函数区间上单调递增.故函数在区间上的最大值为.依题意，得，化为，由于，则.②若，由（Ⅰ）知，得，则二次函数区间上单调递增.故函数在区间上的最大值为.依题意，得，化为，由，得，则.故.综合①②知，所以点在直线上【点睛】本题考查二次函数的图象和性质及应用，考查分类讨论思想方法，以及函数的最值求法，存在性问题的解法，考查运算能力，属于中档题．