直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用

直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用 “直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用 发在《中学生数理化》 在学习矩形时，曾有这样一个推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这是直角三角形的一个性质。如图1，在Rt?ABC中，?ACB=90?，CM是斜边AB上的中线，则 1CM=AB。下面我们给出这个性质的证明: 2 如图2，延长CM至点D，连结AD、BD。 根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”知四边形ABCD是平行四边形。 又?ACB=90?，根据“有一个角是直角的平行四边形”是四边形ABCD是矩形。 11?AB=CD。?CM=CD=AB( 22 根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质可知，直角三角形斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形。于是这个性质也可以利用前面学习的等腰三角形知识进行证明，过程如下: 如图3，在Rt?ABC中，?ACB=90?。在?ACB内部作?BCM=?B，CM交AB于M，则CM=BM( 又??A+?B=90?，?ACM+?BCM=90?， ??A=?MCA，?CM=AM( 1?CM=BM=AM=AB( 2 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一个非常重要的性质，在解答一类与之相关的问时，常能收到事半功倍之效。 我们知道，判定两个三角形全等的定理一般有四个:“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”(而判定两个直角三角形全等，除了可以应用上面四个判定定理外，还可以应用“斜边、直角边”定理。课本在得出“斜边、直角边”时，是通过以斜边和一条直角边为边长，只能画出一个直角三角形得出该定理的。学生普遍感到“斜边、直角边”定理难以理解，甚至心存疑虑。他们认为“斜边、直角边”这个判定定理只有两个元素对应相等，而前面学习的四个判定定理都有三个元素对应相等，因此在应用“斜边、直角边”这个定理判定两个直角三角形全等时不习惯，心里不踏实。其实在学习了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质时，就可以应用这个性质证明“斜边、直角边”定理，证法如下: 如图4，在Rt?ABC和Rt?A'B'C'中，AB=A'B'，AC=A'C'，?C=?C'=90?( 求证:Rt?ABC?Rt?A'B'C'( 证明:如图4，分别作Rt?ABC和Rt?A'B'C'斜边上的中线CM和C'M'，则 11MC=MA=AB，M'C'=M'A'=A'B'( 22 ?AB=A'B'，?MC=MA=M'C'=M'A'( 在?AMC和?A'M'C'中， MC=MA=M'C'=M'A'，AC=A'C'， ??AMC??A'M'C'，??A=?A'( 在Rt?ABC和Rt?A'B'C'中，AB=A'B'，?A=?A'，AC=A'C'( ?Rt?ABC?Rt?A'B'C'( 这样通过应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质和前面所学的判定 定理证明“斜边、直角边”定理，从而使学生信服并容易接受“斜边、直角边”定理。 下面再通过两例感悟这个性质的应用。 例1 如图5，在?ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是边BC上的高。 (1)求证:四边形ADEF是平行四边形。 (2)求证:?DHF=?DEF。 1)已知条件中多次出现中点，联想三角形的中位线定理证明;(2)由AH是边分析:( BC上的高可知?AHB和?AHC都是直角三角形，又有中点条件，联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质并结合平行四边形的性质进行证明。 证明:(1)点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点， ?DE、EF都是?ABC的中位线。 ?EF?AB，DE?AC。 ?四边形ADEF是平行四边形。 (2)在平行四边形ADEF中，?DEF=?BAC。 ?D、F分别是AB、CA的中点，AH是边BC上的高， ?DH=AD，FH=AF。 ??DAH=?DHA，?FAH=?FHA。 ??DAH+?FAH=?BAC，?DHA+?FHA=?DHF。 ??BAC=?DHF。??DHF=?DEF。 1例2 如图6，在Rt?ABC中，?C=90?，AD?BC，?CBE=?ABE， 2A D 求证:DE=2AB( 分析:欲证DE=2AB，则可寻DE的一半，再让其与AB相等， F 1取DE的中点F，连AF，则AF=DF=DE，可证得?AFD， E 2B C ?ABF均为等腰三角形，由此结论得证( 1证明:取DE的中点F，连AF，则AF=DF=DE，所以?DAF=?ADF，又因为AD?BC，2 1所以?CBE=?ADF，又因为?CBE=?ABE，所以?ABF=?AFB，所以AF=AB，即DE=2AB( 2 请同学们试一试吧～ 1(如图7，?ABC中，AB=AC，?ABD=?CBD，BD?DE于D，DE交BC于E， A 1求证:CD=BE( 2 2(如图了8，?ABC中，?B=2?C，AD?BC于D，M是BC的 D 中点，求证:AB=2DM( A E C B M? C B D 11(提示:结论中的BE是直角三角形的斜边，由BE应想到“直角三角形斜边上的中2 线等于斜边的一半”，故应取BE的中点F，连结DF，只需证明DC=DF，即证?C=?DFC( 2(提示:取AB的中点N，连结DN、MN即可(