换元积分法与分部积分法

换元积分法与分部积分法 《数学分析》 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 ?8.2 换元积分法与分部积分法 教学目标:掌握第一、二换元积分法与分部积分法( 教学内容:第一、二换元积分法;分部积分法( 基本要求:熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法( 教学建议: (1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算( (2) 总结分部积分法的几种形式:升幂法，降幂法和循环法( 教学过程: 一、第一类换元法 ——凑微分法: 有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如， cos2xdx,求不定积分，如果凑上一个常数因子2，使成为 11cos2cos2cos22xdxxxdxxdx,,,，，,,,22 2xu,令则上述右端积分 111cos22cossinxdxuduuC,,，，，,,222 x然后再代回原来的积分变量，就求得原不定积分 1cos2sin2xdxxC,，,2 Fxfx,,,x，，，，，，更一般的，若函数是函数的一个原函数，是可微函数， Fx,，，，，，，并且复合运算有意义，根据复合函数求导法则 ,,,,FxFxxfxx,,,,,,,，，，，，，，，，，，，，，，，,,，，，，，， 及不定积分的定义，有 ,fxxdxFxC,,,,，，，，，，，，，，，，，，，, fuduFuC,，，，，，,由于 ,fxxdxfudu,,,，，，，，，，，，，ux,,，，，，,,从而 (1) 1 《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 综上所述，可得如下结论 fuFufu，，，，，，定理8.4:(第一换元积分法) 设是连续函数，是的一个原函数。又若 fx，，,，，ux,,，，，，连续可微，并且复合运算有意义，则 ,fxxdxfuduFxC,,,,,，，，，，，，，，，，，，，，ux,,，，，，，，,, (2) gxdx，，gxdx，，,第一换元积分公式(2)说明如果一个不定积分的被积表达式能够写成 ,fxxdx,,，，，，，，ux,,fudu，，，，，，的形式，可通过变量代换把被积表达式等同于，若不定积分 fuduFuC,，，，，，, ux,,Fu，，，，容易求得，那么再将代入，便求出原不定积分 gxdxFxC,，,，，，，，，，，, gxdx，，由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式变为 ,fxxdxfxdx,,,,,，，，，，，，，，，，，gx，，，，，，的形式。也就是把被积函数分解成两个因子的乘积，其 fx,，，，，,x,x，，，，，，dx中一个因子与凑成某一函数的微分，而另一因子是的函数，且经过这样 fxdx,,，，，，，，，，的微分变形后被积表达式变为容易积分的形式，所以人们也经常称第一换元积分法为“凑微分法”。凑微分法技巧性强，无一般规律可循，因而不易掌握，初学者只有多做练习，不断总结经验，才能运用自如。 11f(ax，b)dx,f(ax，b)d(ax，b),f(u)du.凑微分法1: aa 1dxdaxbabRa,，,,,,0，，，，a例,、利用，求下列积分 11331343434xdxxdx，,，，，，，，，，,,ux,，343，令有 1441131333334xdxuduuCuC，,,,，,，,,3344 ux,，34再将代入，有 41333434xdxxC，,，，，，,4 2 《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 dxdxx12()0,,,da，，，，,,,22axxax,22a1()1(),,aa xu,a令，有 dxdu,,，arcsinuC,,222axu,,1 xx,a再将代入， dxx,，arcsinC,22aax,有 xd()dxdx1a3,,，，22,,,xxaxa，222a[(1())]1()，，aa xu,a令 dxdu11,,，arctanuC222,,axaua，，1 xu,a再将代入，有 dx1,，arctanxC22,axa， ux,,，，如果运算比较熟练，为了简化解题步骤，变量代换可以不写出来，只需默记在头脑中 就可以了。 11k,1kkkxf(x)dx,f(x)d(x),f(u)du凑微分法2、 . 特别地, 有 kk 11f(x)222f(x)xdx,f(x)d(x),f(u)du 和 . ，，dx,2fxdx22x 例,、利用 1,,，1,，,,,,,,xdxdaxbabRa,,,0,1，，，，，a1,，，， 求下列积分 12221575757xxdxxdx，,，，,，，，，，，，，,,52, 3 《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 221111222257XC，，575757xdxxC，，,,，，，，，，，，，，,2010102 , 11111xxxedxedeC,,,,，21()，，，，,,2xx dxdxdx3222arctan,,,，xC，，2,,,1，xxx1，，，1，x，， dx40x,，，，，,22xx1， 解:(4) dx11111,,,,,,,dd,,,,,222xxx,,1xxx11，，,,1，,,2x,, 2，，111,,1,,d,,,,,22,22，，，，2x,,111,,,,,,1，，,,,，，11d,,,,1，,,,,,,,2xx,,,,x,,,,,,，，，， 1222，，111,,,,,,,，，,,，，211CC,,,,,,2xx,,,,,,，， ,,x,,,xdx，，，，，，fx,,,fxdxdx,,,,，，，，xxx，，，，，，,,,例,、若被积函数利用，有如下公式 ,xdx,,，，，，fxdxdxxCln,,,,,,，,，，，，,,,xx，，，，,, 求下列积分 dxdxln1lnln,,，xC，，,,xxxlnln sincosxdx2tanlncosxdxdxxC,,,,,，，，,,,coscosxx cossinxdx3cotlnsinxdxdxxC,,,，，，,,,sinsinxx 以上,例都是直接利用“凑微分法”求不定积分。如果进一步把“凑微分法”与不定积分的运算性质结合起来，就可以利用基本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分。 例,、将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分 dx111,,1,，,dx，，,,22,,axaaxax,,，2,, 4 《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 dxadxa，,，，，，，，11xa，,,，lnC,,,,,22axaxaaxa，,,，， xxxde1，，，dxeedx1，,2,,,,dx，，222,,,,xxxx1，e111，，，eee，，，，，， xxxde1，，，111，,eedxdx，,,，,,,,xxxx1111，，，，eeee 1xxeC,，，，ln1，，2，e1 2sin111x,,31dxdxdxdx,,,,，，,,222,,,,11sin1sinsin，，xxx,,1，2sinx, cotxddxcot12xx，,，2,,1cotx,,cotx2cot，x,,2xC，，arctan1，,,,,222,,,,, 凑微分法3: f(sinx)cosxdx,f(sinx)dsinx,f(u)du; f(cosx)sinxdx,,f(cosx)dcosx,,f(u)du; 2 f(tgx)secxdx,f(tgx)dtgx,f(u)du. nnsinxdxcosxdxnN,，，,,n例,、对于与形式的积分，当是偶数时，可利用三角恒等式 1122sin1cos2cos1cos2xxxx,,,，，，，，22 n来降低三角函数的幂，当是奇数时，变正(余)弦函数的积分为余(正)弦函数的积分。 211，，421sin1cos212cos2cos2xdxxdxxxdx,,,,，，，，，，，,,,,,24，，, 11，，dxxdxxdx,，，,2cos21cos4，，,,,,,42，， 11x,,xxxC,，，，sin2sin4,,428,, , 131,,xxxC,，，sin2sin4,,428,, 322cos1sincosxdxxxdx,,,，，，，,, 5 《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 123cossinsinsinsinxdxxdxxxC,,,，,,3 sinsin,cossincoscos,,,,,,xxdxxxdxxxdx和,,,例,、 对于形式的积分，可利用三角函 数的积化和差公式 1，，1coscos2cos12cos12xxdxxxdx,，，,，，，，，，,,，，2 ，，sin12sin12，,xx，，，，1,,,，，C,,21212，,，， 12cos2sin3sin23sin32xxdxxxdx,，,,，，，，，，，，,,，，2, 111,,sin5sincoscos5xdxxdxxxC,,,，，，,,,,255,, 例,、根据 xxxx2sin2sincos2tancosx,,2222 xx1cos,tancsccot,,,xx2sinx 11x,,1csctanxdxdxd,,,，，,,,,,xxx22,,2tancostan222 xlntanlncsccot，,,，CxxC2 ,,,dx，,,2,,,,,,,,2seclncsccotxdxxxC,,，,，，，，,,,,,,22,,,,,,,sinx，,,lnsectanxxC，，2,,, 例,、 arcsinarcsinarcsinxxxdxdxdx,,22,,,21,xxx1,，，1,x，， 2 2arcsinarcsinarcsinxdxxC,，，，,, xxxx凑微分法4: . f(e)edx,f(e)de,f(u)du. dt.例9、 ,t,2,e 6 《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 dx凑微分法5 : f(lnx),f(lnx)dlnx,f(u)du.x dx例10、 .,x(1，2lnx) f(arcsinx)凑dx,f(arcsinx)darcsinx,f(u)du;微分法6: 21,x f(arctgx) . dx,f(arctgx)darctgx,f(u)du21，x t,xarctgxarctgxarctgt例11、 dx,2dx,,,,,2dt,2,,,1，x1，t(1)x，x 22 . ,2arctgtdarctgt,(arctgt)，c,(arctgx)，c, 其他凑法举例: x,xx,xe,ed(e，e)x,x例12、 dx,,ln(e，e)，c. ,,x,xx,xe，ee，e lnx1d(xlnx)，dx例13、 ,,？22,,(xlnx)(xlnx) 2secx(secx，tgx)secx，secxtgx例14 secxdx,dx,dx,,,,secx，tgxsecx，tgx d(secx，tgx) . ,,ln|secx，tgx|，c,secx，tgx cosx，sinxdx例15、 . ,5sinx,cosx cosx，5sinxdx例16、 . ,sinx，cosx 1,,1dx,,,1，22xx，1,,xdxdx例17、 ,,,？42,,,1x，121,,x，x,，22,,xx,, x,5dx例18、 . 2,x，2x，2 以上例子大都采用了初等数学(代数或三角函数)中的运算技巧将被积函数进行适当的变形，然后再进行变量带换。因此在作积分运算时，应该重视有关初等数学知识的灵活运用。 习题:P188—189 1(1),(24); 7 《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 二、第二类换元法 2 从积分 出发，从两个方向用凑微法计算，即 costdt, sinx,t111222 = = (1，cos2t)dt,t，sin2t，c,costdt1,xdx,,,,1,sintdsint,,,,224 ,,,xx2.1连续可微且定号，式中左端的不定积分，，，，，， 在式(,)中，如果 ,fxxdxFxC,,,，，，，，，，，，，，, ,1xuux,,,,是的反函数，，，，容易求得，并且，则式(2)右端的不定积分 ,1，，fuduFxC,，,，，，，,，，。利用这个过程求不定积分的方法，称为第二换元积分法。 第二换元积分法可以确切的叙述如下。 ,fx,x,x，，，，，，定理8.5(第二换元积分法):设是连续函数，是连续可微函数，且定号， ,ft,ftt,,，，，，，，，，，，Ft，，，，，，复合运算有意义。设是的一个原函数， ,fttdtFtC,,,，，，，，，，，，，，,即 ,1,fxdxfttdt,,,，，，，，，，，,1，，，，FxC,，，，,,，，tx,,，，，， 则= (3) ,1,,xt是的反函数，，，，其中。 ,1,,x,t,u，，，，，，证明:有定理假设定号，，故函数存在反函数，又 dFt，，,,,,，，ftt，，，，，，dt ,,dFt,,，，1ddt,1,，，,,,Fxftt,,，，，，，，，，,1,,,,，，tx,，，,，，,,,1,dxdtdxt,，，tx,,，，,,,,于是 ftfx,,，，，，，，,1，，，，tx,,，，= ,1，，Fx,，，，，可见是式(3)左端不定积分的被积函数的一个原函数，所以式(3)成立。 xt,,，，第二换元积分法指出，求式(3)左端不定积分，作变量代换，从而 fxftdxtdt,,,,,，，，，，，，，，，，于是 ,fxdxfttdt,,,，，，，，，，，，，,, ,fttdtFtC,,,，，，，，，，，，，，,若上式右端的不定积分 (4) 8 《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 ,1tx,,，，容易求出，那么再代回原来的变量，便求出原不定积分 ,1，，fxdxFxC,，,，，，，,，， xt,,，，由于第二换元积分法的关键在于选择满足定理8.5条件的变换，从而使式(4)的不定 xt,,，，积分容易求出。那么如何选择变换呢,这往往与被积函数的形式有关。例如，若被积 xt,,，，函数中有根式，一般选择适当的变换来去掉根式，从而使被积函数得到简化，不定积分容易求出。 常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler代换等. 以下我们着重介绍三角代换和无理代换. 1、三角代换 22(1)正弦代换:正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如的根式施 a,x(a,0) 目的是去掉根号. 方法是: 令, 则 行的, x,asint, (a,0) x22t,arcsin. dx,acostdt,a,x,acost,a 22axdxa,,0，，,例19、计算 x,,xatttaxa,,,,,,,,sin,,arcsin,则22a解:令，且 22axatatdxatdt,,,,coscos,cos,从而 2a2222atatdtatdttdtcos.coscos1cos2,,，，，axdx,,,,,2 = 222aaa1,,ttCtttC，，,，，sin2sincos,,2222,, = 由图2.1知 22xax,sincostt,,aa 2222axaxax,22arcsin，,，Caxdx,,22aaa所以== 9 《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 2axx22arcsin，,，axC22a 22(2)正割代换:正割代换简称为“割换”. 是针对型如 的根式施 x,a(a,0) 22行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式 令 x,asect,sect,1,tgt, 22有 变量还愿时, 常用辅助三角形法. dx,xsect,tgtdt.x,a,atgt, dxa,0，，,22xa,例20、计算 x,,xatttxat,,,,,,sec,0sec当或时，t,arcsin,a22 解“令存在反函数。这里仅讨论 ,,t0,,t,,,22的情况，同法可讨论的情况。 ,,220,,txaatatdxattdt,,,,tantan,tansec22由于0报告

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