关于矩阵的泛正定性与广义逆偏序的一个注记

关于矩阵的泛正定性与广义逆偏序的一个注记 刘晓冀 ( )广西民族大学 数学与计算机学院, 广西 南宁 530006 摘要: 指出“矩阵的泛正定性与广义逆偏序”一文的一些错误, 利用矩阵的同时合同变换给出了矩阵偏序 的若干刻画. 关键词: 正定矩阵; 偏序; 广义逆 文 1 讨论矩阵的泛正定性, 给出了泛正定矩阵的一些性质, 并利用矩阵的同时合同变 换提出了矩阵偏序的一些刻画, 但文1 中定理3. 1 并不成立, 从而基于定理3. 1 的该文第三 节的全部结果都不成立, 本文举例说明定理 3. 1 不成立, 其证明中的错误, 给出矩阵偏 () 序的相应刻画. 本文矩阵广义逆、泛正定矩阵和偏序的概念和记号同文 1 . 文 1 中定理 3. 1 的证明主要运用关于矩阵的同时合同变换的一个结论, 为方便起见, 我们将该结论和定理 3. 1 引述如下. = == 3 = 3 1 设 A ?N , B 对称, 则存在非奇异矩阵 P 使得 A = P + P , B = P ?P ,命 n A 其中 + , ?均为对角矩 阵. 1, 定理3. 1= = 命题 设 A ? N , B 对称, 则 Bn = = = = = () () () B - A ? N Ζ C B = C A 且 ΚB A Ε 1. n m in () .的非零最小特征值其中 ΚX 示矩阵 X m in 命题的反例如下.A 例 1: 设 1 0 0 1 = = A = B = , , 0 0 1 0 若存在非奇异矩阵 P 使得 e 0 0 g = = 3 3 A = B = P , P P P 0 h 0 f e g 0 0 ?= 分别为对角矩阵, e, f 之一为 0, g , h 均不为零., 其中 + = 0 h 0 f a b = 3 3 3 ) 设 P =, 由 A = P + P , 有 a ea = 1, a eb = 0, 于是 b = 0. 由0. 1若 f = c d = 3 3 3 3 3 3 B = P ?P , 得到 bg b + d h d = 0, bg a + d h c = 1, 注意到 h ? 0, 则有 d = 0, d h c = 1, 矛盾! 收稿日期: 2004209213 = 3 = 3 因此不存在非奇异矩阵使得 A = P + P , B = P ?P , 其中 + , ?均为对角矩 阵. ) 2若 e = 0 同理可得矛盾. ω = 因此不存在非奇异矩阵 P 使得 A , B可同时对角化. 命题的反例如下:B 1 0 2 0 1 0 = = ω = () B = , 例 2: 设 A = , A = , 由 B非 奇 异, 则 C B =0 0 - 1 0 0 0 2 0 1 0 = = = = = () A = | N . () C A , 且 B A = 1, 而 B - n, ΚB A Εm in 0 - 1 0 0 对于正定矩阵和对称矩阵, 众所周知有: = ω = 3 = 3 引理 设 A ? P , B对称, 则存在非奇异矩阵 P 使得 A = P + P , B = P ?P , 其中n + , ?分别为对角矩 阵. 文 1 第三节中其余的结论都是建立在定理 3. 1 的基础上, 因而这些结论均有误. = = = = = () 定理 1 设 B ? P , A 对称, 则 B - A ? N Ζ ΚB A Ε 1.n n m in = = = 3 = 3 证 ?, 对称, 存在非奇异矩阵使得= , = , 其中 , 分别 B P n A P A P + P B P ? P + ? = = - 1ƒ2 - 1ƒ2 = () 为对角矩阵. 若- ?, 则 - , 于是 - ?, Ε 1.?B A N n ? + N n I ?+ ?N n Κm in B A 反之, 显然成立. 由此可得到其余类似于文 1 中的一些结果. - () 推论 1 设 B ? P , A 对称, 则 B - A ? N Ζ ΚB A Φ 1.n n 1 = = 3 3 定理 2 对 A , B , 只要存在 F ? T , 使 FA + ? P n , 则 D A F 3= 3 3 - 1 = = = = 3 3 = ) () ( A F ] Ε1] B ?A .Κ[ FB + B F FA + m in = = 3 3 = = 3 3 证 由于 FA + A F ? P , 且 FB + B F 对称, 故存在非奇异矩阵 T 使得他们 n = = 3 3 3 = = 3 3 3 可同时对角化, 不仿设 FA + A F = T + T , FB + B F = T ?T , 其中 + , ?分别为 对角矩阵. 于是 = = 3 3 = = 3 3 - 1 ) ) (( 1 Κ[ FB + B F FA +A F ] Ε 3 - 1 - 1 3 - 1 () = Κ[ T ?T T + T ] Ε 1 - 1ƒ2 - 1ƒ2 ) () ( = Κ[ + ? + ] Ε 1 - 12 - 12 ƒƒ() () = + ? N n + ? + -I ? N ] ?- 0 n 3= = = 3 3 = 3 3 = = ? N ,即 B ?A .FA - - 则 FB + B F A F n - - 3 3 推论 2 对 A , B ,使 FA + 则 只要存在 F ? T D , A F ? P n , 3= = 3 3 = - - = 3 3 - () ( ) Κ[ FB +B F FA + ] Ε 1] B ?A .A F m in = = 3 定理 3 对 A , B , 若 A + ? P ,则A n = = = 3 = = = 3 - ) (Ε 1Ζ B : A . ] ) (B A + Κ[ B +A m in = = 3 = = 3= = = = 3 = = 3 ?N , 注意到A + A ? P , B + B 证 若 B : A , 则B + B - A - A n n = 3 = = 3 = 3 对称, 则非奇异矩阵 T 使得他们可同时对角化, 不妨设 A + = = T + T , B +A B 3 T ?T , 其中 + , ?分别为对角矩 阵. 于是 ?- + ? N n , 故 = 3 - = = 3 = - 1ƒ2 - 1ƒ2 ) ) () () (A ( = Κ[ B + B A +Κ[ + ? + ] Ε 1 = = 3 = = 3 - ) () ] Ε 1. (充分性类似定理 2 的证明.从而有 Κ[ B + B A + m in A 类似定理 3 的证明, 可得如下结果: - - 3 定理 4 对 A , B , 若 A + 则A ? P n , - - - 3 - - 3 - - ) ) ( Ε 1Ζ B : A . ] B A + (A Κ[ B +m in 参考文献: ( ) 1 系统科学与数学, 1993, 13: 270—275. 杨虎. 矩阵的泛正定性与广义逆偏序[J . ( ) 2 佟文廷. 广义正定矩阵[. 数学学报, 1984, 27: 801—810. J 3 . [. ,H a r tw ig R EA no te o n th e p a r t ia l o rde r ing o f po sit ive sem idef in ite m a t r ice s J L inea r and M u lt ilinea r A lgeb ra ( ) 1978, 6: 223—226. , , . [ . 4 B ak sa la ry J K P uk e lsh e im F S tyan G P HSom e p rop e r t ie s o f m a t r ix p a r t ia l o rde r ing s J L inea r A lgeb ra ( ) , 1989, 119: 57—85.A pp lica t io n , , . , 25 , B ak sa la ry J K B ak sa la ry O M X iao ji L iuF u r th e r p rop e r t ie s o f th e sta rlef tsta rand m inu s p a r t ia l [. , 2003, 375: 83—94.o rde r ing s J L inea r A lgeb ra and It s A pp lica t io n , , . 6 B ak sa la ry J K B ak sa la ry O M X iao ji L iuF u r th e r re la t io n sh ip s be tw een ce r ta in p a r t ia l o rde r s o f m a t r ice s and [. , 2003, 375: 83—94.th e ir squa re s J L inea r A lgeb ra and It s A pp lica t io n , , , . 7 B ak sa la ry J K H auk e J X iao ji L iuSanyang L iuR e la t io n sh ip s be tw een p a r t ia l o rde r s o f m a t r ice s and th e ir [. , 2004, 379: 277—287.pow e r s J L inea r A lgeb ra and It s A pp lica t io n A No te On the Un iver sa l Po s it ive D ef in iten e ss an d the Par t ia l O rder in g of Gen era l ized In ver se of M a tr ix 2L IU X iao ji (, Co llege o f M a th em a t ic s and Com p u te rGuangx i U n ive r sity ), 530006, fo r N a t io na lite isN ann ing C h ina A bstrac t: Som e fa lse sta tem en t s in th e p ap e r ″o n th e un ive r sa l po sit ive def in itene ss and th e p a r t ia l o rde r ing o f gene ra lized inve r se o f m a t r ix″a re co r rec ted, and som e ch a rac te r isa t io n o f th e .p a r t ia l o rde r ing o f m a t r ice s a re g iven : ; ; Keywordspo sit ive def in ite m a t r ixp a r t ia l o rde r inggene ra lized inve r se