耐克函数
耐克函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的耐克函数,是形如
bf(x),ax,的函数,是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数,所以更加要注x
意和学习。耐克函数图像形似两个中心对称的对勾,故名对号函数、(对)勾函数,也叫均值函数。
ba,0,b,0f(x),ax,当x,0时,有最小值(这里为了研究方便,规定),x
bx,也就是当的时候,同时它是奇函数,就可以推导出x,0时的性质。 a
1、耐克函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式,其实也是根据二次函数得来的。
22222(a,b),0a,2ab,b,0a,b,2ab我们都知道,,展开就是,有,两边
2同时加上,整理得到,同时开根号,就得到了平均值定理的公2ab(a,b),4ab
式:。 a,b,2ab
bbbax,,2ax,,2ab现在把ax,套用这个公式,得到,这里有个规定:xxx
bbx,当且仅当时取到最小值,解出,对应的。 ax,f(x),2abax
a,b我们再来看看均值不等式,它也可以写成这样:,前式大家都知道,,ab2
是求平均数的公式。那么后面的式子呢,也是平均数的公式,但不同的是,前面的称为算术平均数,而后面的则称为几何平均数(例:a,b,c的几何平均数是3),总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。 abc
2、另外一种方法,用导数法也可以研究耐克函数的性质。这里不叙述。
上述研究都是建立在x,0的基础上的,易知耐克函数是奇函数,所以研究出正半轴图像的性质后,自然能补出对称的图像。
知识点归纳概括
k耐克函数的一般形式是: f(x),x,(k,0)x
,,xx,0定义域是:
值域是: ,,yy,,2k或y,2k
当x,0时, ,有最小值; x,k2k
x,0当时,,有最大值 x,,k,2k
f(x)单调性:?函数在区间; (,,,,k]和[k,,,)上单调递增
f(x) ?函数在区间。 [,k,0)和(0,k]上单调递减