设计、定价和套期保值原理：最低收益保证的股票挂钩票据分析

、定价和套期保值原理：最低收益保证的股票挂钩票据 361005 “最低收益保证的股票挂钩票据”（Guaranteed Equity-Linked Notes，以下简称GELN） 是国际金融市场上近年来最受欢迎的结构化金融产品之一，其基本的设计是：该证券的收益 率与某股票（也可能是股票篮子或股指）的收益率相挂钩，同时投资者享有最低收益保证。 一个经典的例子是1987年美国Chase Manhattan Bank发行的MICD存款产品：其中一档一年期存款的利息为4%，该存款到期时如果S&P500指数上涨，投资人可以额外享有指数涨 幅45％的收益；如果到时S&P500指数下跌，则投资者至少享有4%的收益率。显然这就是一个以4%为最低收益保证，与S&P500指数涨跌相挂钩的金融产品。 自GELN类产品推出以后，其形式不断变幻，除了与MICD类似的标准结构外，各种设计层出不穷，例如在计算股票指数收益率时使用特定的平均值、所挂钩的股票篮子可以自 选、具有删除股票机制的股票篮子、最低收益保证为负、收益率上限乃至可赎回等多种设计。 从证券类型来看，则可以多种形式出现：债券、银行存款、保险单和共同基金等。但无论形 式如何，GELN类产品最重要的共同特点就是对风险的灵活调整和限制，它们可以在保证基 本收益率的同时向投资者提供一个分享股票市场上升空间、限制股票市场风险的投资工具， 从而使得投资者可以将自己的预期和风险偏好通过一个金融产品的直接交易得到实现。 GELN类产品的这一特征显然颇为符合个人投资者、追求本金稳定的基金管理者和寻求组合 保险的机构投资者的需要，因而在零售市场和部分机构市场得到了迅速的发展。 以香港和台湾的发展经验，大多数设计较为复杂的GELN类产品都是由国外的金融机构发行，国内金融机构代销。然而，从未来发展和中国市场投资者特性来看，结构性金融产 品的推广和应用是一个必然的趋势，中国的高储蓄率更进一步决定了此类具有保本或最低收 益保证的结构化产品在中国应具有广阔的市场前景。因此，本文的研究目的在于从发行者的 角度出发，探讨GELN类产品的结构分析、设计、定价和风险管理基本原理。 一、GELN类产品的结构分析和设计 从理论上说，GELN类产品 1的具体设计种类可能是无限的，现实市场也的确印证了这 2一点。然而，无论如何变化，GELN类产品的基本结构都可用以下公式加以描述： ,,，，,,,,S1，,1min,max,1k,, ,,,,,,S0,,,,，，,, 上述公式描述的是投资本金为1元，最低收益率为,，最高收益率为，投资者在挂钩k ,,S1股票收益率上涨中的分享比率为,1,（通常称之为参与率），挂钩对象的收益率为（其,,S0,, 3中SS为基准价格，为比较价格）的GELN票据的在计算日的支付（payoff）。以前述的01 MICD为例，显然MICD中的k,0,,4%,,45%，，，基准价格和比较价格分别为该 1 在市场上同时存在着与股票上涨挂钩的票据和与股票下跌挂钩的票据，其中前者多于后者，出于篇幅所 限，加上分析过程比较相似，本文只讨论和股票上涨挂钩的GELN类产品。 2 Chen & Kensinger (1990)最早提出了描述MICD的到期支付（payoff）的两个公式，本文对其进行了一些 修改。 3 所谓计算日是指事先规定的计算发行者所需要支付的金额的日期，一般来说，如果是存续期少于一年， 这个计算日往往就是到期日；如果存续期超过一年，则主要有两种情形，一是在付息日计算，二是在到期 ,日计算。如果在到期日计算，则这里的是指总的最低收益率。 1 存款发行时和到期时的S&P500指数。到期时投资者可以收到 的金额。 1max4%,45%1，，,，，SS，，T0，， 从上述的到期支付公式中可以看出，GELN类产品实际上可以分解为一个债券和几个期 权产品的组合，相应地，在发行时刻GELN类产品的设计也是按照这一分解和组合原则进 行的。其中，债券部分和期权产品部分的设计都可以根据市场状况和投资者需求进行变化。 （一）债券设计 在GELN类产品的债券部分，发行者主要需要考虑两个方面的问题： 其一，最低收益率的设定：可以是正的、零和负的。前述的MICD是正的最低收,, 1益率；如果为零，则意味着这是一个保本的产品，即投资者到期时至少能够收回100%的, 本金；如果为负，这个产品就是一个部分本金保护的产品，例如－7%的最低收益率意味, 着投资者到期时至少能收回93%的本金。更复杂的情况包括每次付息具有锁定的效果，后 一次的付息不能低于前一次，即公式中的是具有棘轮效应的。一般来说，GELN类产品中, 的最低收益率必然低于该发行者当时的正常资金成本。最低收益率越高，投资者能够分享的 股市收益就越低。总之，在产品发行时的设定需要结合、、时间等参数和所选择的期,k,权类型进行整体考虑，我们将在第二部分详细讨论这个问题。 其二，利息确定方式和支付方式的设定：和一般债券相同，GELN中债券的基本设计也可以分为零息、附息、摊销（Amortizing，即本金和利息均分期偿还）和浮动利率债券等几 类，不同债券类型的选择将影响前述支付公式的计算，发行者可以根据具体情况进行选择。 （二）期权设计 GELN类产品的核心在于期权的设计，具体来看发行者需要考虑以下几个方面的问题： 1. 挂钩对象的选择 GELN类产品的亮点之一就在于对挂钩对象收益率的分享。从挂钩对象的选择来看，发 行者可以在单只股票、单一股票指数和股票（股指）篮子中根据市场情形和投资者需求进行 选择。一般来说，金融机构较多发行与股票指数或股票篮子挂钩的产品，而与单只股票挂钩 的GELN则往往是由本公司发行的证券。在股票（股指）篮子的设计中，也存在很多变化： 可能是全球多个股票指数；可能是由发行人选取设定的多种个股；也可能是发行人事先设定 选择范围，之后由投资者根据自身的风险偏好和市场期望自行从中选取的固定数量的个股； 可能在一篮子股票中，最后真正挂钩的只是其中现最佳的股票/最差的股票/排名中间的股票（例如2002年法国兴业银行发行的“100%参与全球精选股连动债券”即以16只股票篮子中表现为9-12名的股票作为挂钩对象）；也可能是具有删除机制的股票篮子（一定时间之 后从原来的股票篮子中删去一定数量的表现最差的股票）；股票篮子中都是蓝筹股、科技股 等等。 总的来看，在GELN类产品中，挂钩对象的选择日益走向多样化，创新层出不穷。但 其中的设计颇有技巧：例如，与股票指数挂钩的GELN往往对组合保险管理者比较有吸引力；让投资者自选股票篮子的策略实际上迎合了行为金融学中投资者的自负心理；按行业、 板块等设定的股票篮子则侧重于市场中的相应投资者。另外，由于GELN产品是由债券和期权组合而成，这意味着发行者实际上是将发行收入中的一部分代替投资者进行期权投资， 由于金额有限，如果期权价值较高，则参与率 ,必然是有限的。因此，与最佳股票挂钩的往 往参与率比较低，如果投资者希望获得较高的参与率，则需要选择较差或是中等的挂钩对象， 在股市整体涨幅较高的情况下，虽然挂钩对象的涨幅略逊，但是较高的参与率也能够使得投 资者获取较高的收益。 2. 挂钩收益率的计算 1 实际上正的最低收益率也实现了保本。 2 ,,S1挂钩收益率,1的计算方法实际上在很大程度上决定了GELN产品中所隐含的期,,S0,, 权类型。在前述MICD的标准结构中，由于和分别为该存款发行时和一年后到期时的SS01 S&P500指数，因此该产品的到期支付可以表达为： ,,，，,, ，，,，,1max1SS10,,,,,S,,，，0 ,由此可见，每价值一元的MICD产品中隐含了个基于S&P500指数的标准股指期权，S0 ,,,其执行价格为，S1。 ,,0,,, 但是，在更多的情况下，GELN产品中所隐含的是其他更为复杂的股票期权，这些奇异 期权和期权组合或者能够降低期权的价值，从而在其他条件相同的情况下使投资者能更多地 分享股票市场的可能收益；或者能够使投资者通过GELN产品更个性化地实现自己对股市未来特定特征的预期。例如高盛证券于1991年发行的SIGN中的S设定为到期日前2天之1倒数30个交易日内S&P500指数的平均收盘价，这使得该产品中隐含的期权成为亚式期权， 而亚式期权的价值一般要低于标准期权的价值。其他降低期权价值的手段还包括运用障碍期 权、牛市价差期权组合和虚值期权等。在股票市场波动率较大的时候，敲出期权尤其便宜。 而牛市价差期权则导致了收益率上限的存在，我们将在后文详细描述。虚值期权则使得投k 资者在股市表现较为一般的时候没有收益。另外，前文所述的股票篮子期权是目前GELN产品发展的趋势：产品蕴涵的是多资产期权，这一期权显然能够反映投资者对市场特定相关 性的预期。另外的一些创新包括如SS和分别是事先选定的两个股票篮子中的较低收益率01 和较高收益率等，这个结构反映了对相对表现的预期。 3. 的设定 , ,,的设定和GELN产品的定价是息息相关的，总的来看，为了实现发行时定价准确，、 、、时间等参数和具体期权类型之间需要进行权衡，我们将在第二部分详细探讨。在k,t 很多时候，发行者会给出多个kt,,,,,之间的组合菜单，供投资者选择。 4. k的设定 如前所述，收益率上限的引入，实际上是GELN产品中包含了一个牛市价差看涨期权： 每买入一个执行价格较低的看涨期权cc，同时就需要卖出一个执行价格较高的看涨期权。12 ,以前文的标准MICD股指期权为例，如果加上收益率上限，实际上就等于在买入份执行S0 ,,,,,,,,价格为，，，Sk1S1的看涨期权同时，卖出份执行价格为的看涨期权。,,,,00SS,,,,,,00 在这个结构下，由于通过买卖期权，可以大大降低最终的期权组合的成本。另一方面，著名 3 的期权市场的隐含波动率结构——波动率微笑对这一牛市价差组合是有利的。波动率微笑表 明：虚值程度较高的期权隐含波动率较大；虚值程度较低的期权隐含波动率较小。上限机制 的引入使得卖出虚值程度较高的期权而买入虚值程度较低的期权，显然可以降低期权投资的 总成本。 除了上述的设计之外，有时GELN产品还嵌入了赎回结构或是卖回结构。赎回条件常 常是和股价的上升相联系的，这样投资者实际上购买了一个虚值程度较低的看涨期权，卖出 了一个虚值程度较高的互换期权，因此和上限结构一样，投资者可以利用波动率微笑降低期 权价格。卖回结构则相反，进一步提高了期权的总体价格。无论在赎回结构还是卖回结构下， 投资者都需要承担股价和利率运动相关性的风险。 二、GELN产品的参数设计和定价 （一）GELN产品的参数设计 对GELN产品的一个正确理解是：除非出现极其严重的市场下跌，GELN产品的发行 人都可以向其投资者提供最低收益率的保证，同时可以通过合理的定价和套期保值，无论市 场表现如何，该产品的总资金成本将和该发行人当时的正常资金成本（年利率）相同。也i 就是说，每一元资金（以一年期为例）应该满足， ic,，,, 其中的c是GELN产品中所含期权的价值，可能是标准期权，可能是期权组合，可能是 奇异期权。 GELN产品又可以理解为发行者将利息节省部分的现值投入相应的期权市场，表明了, 一元中利息节省的现值可以购买的期权数量。因此， c和的价值一旦确定，发行者就可以i在和之间进行权衡选择。下表给出了在其他条件不变的情况下，诸因素对和的一般,,,, 影响： 表一 各因素对,和的一般影响： , c,SS 和 r t i, ,k D10 － － － － － ＋ － － ＋ , － － － － － ＋ － － ＋ , 其中，,r为标的资产波动率，为无风险利率，为标的资产在期权有效期内可预见D的收益。 事实上，以上只是一般影响的描述，在具体的产品中，可能某些因素具有不同的影响力。 例如，当S,为零的时候，如MACD的标准股指期权中的正好等于当前股指的价值，在这0样的情况下，根据Merton（1973）的分析，普通的欧式期权价格和标的资产价格和执行价 格具有一阶齐次性，因而 cXSScX,,,1 ，，，，00 其中为执行价格。 X 这时S的大小对定价和参数都是没有影响的。 0 （二）GELN产品的定价 根据到期支付公式和以上的分析，我们知道，GELN产品的价值可以表示为： VBc,，, 其中，为相应的债券价值。 B 因此计算GELN产品的合理价值，实际上就是分别计算债券价值和期权价值，相加可 4 得。 1． 债券价值的计算： 债券部分的评价相对简单一些，一般来说，由于GELN产品的可赎回和可卖回常常和股票价格相联系，而非和利率相联系，因此GELN产品中的可赎回和可卖回往往和后面期权部分的定价放在一起，类似棘轮利率的设计也如是。因此，GELN产品中的债券价值计算和一般债券定价基本无异。其中的关键参数是对未来现金流的贴现率，也就是该发行者当i 时在市场上所适用的风险利率。 2. 期权价值的确定 期权价值的确定是GELN产品定价中最为复杂的工作。如果期权有解析解，则可以直 接将期权价值代入。例如标准欧式期权和牛市价差期权的价值可以直接用Black-Scholes公 式计算得到 ,,,,rTtrTt()() cSNdXeNdpXeNdSNd,,,,,,,();()()，，1221 2SX，r,，T,tln(/)(/2)()d,1,T,t其中， 2ln(S/X)，(r,,/2)(T,t)d,,d,,T,t21,T,t 如果考虑标的证券已知收益的现值为I或连续复利的收益率为，则可以分别用q ,,qTt，，Se和代替上式中的，得到解析解。 SI,S，， 由于GELN产品中隐含的期权种类可能是无限的。因此，我们无法一一列出定价方法。 一般来说，对一些具有公认的近似解析解的奇异期权，发行者可以直接采用解析方法求出期 权价值。另外，近年来的一个明显趋势是期权设计日益复杂化，且多资产期权远远多于单资 产期权，多资产之间往往存在相关性，而且利率和资产价格的波动之间也往往存在相关性。 在这样的情况下，数值定价方法中的蒙特卡罗模拟方法被大量运用，且模拟之前必须首先处 理这些随机过程之间的相关性。 在假设各资产均服从对数正态分布的情况下，在风险中性世界中，具有相关性的基础随 机过程如下： ,dSrSdtSdz,，,,111SS11,dSrSdtSdz,，,222SS22, , ,nnSnS,dSrSdtSdz,，,nn,rr,,,， drabrdtrdz,，，, Si, dzdtin,,,,1,2,,,iSr, dzdt,,,,SSSSr,dzdzdtijnij,,,,,,1,2,,,SrSrijij,dzdzdtin,,,,1,2,,,ii, 其中利率采用的是CIR模型。要释放各变量之间相关性，一个比较简单的方法是直接 5 ,从考虑了相关性的多维标准正态分布中获得个的样本。另一个方法则是建立基础模n，1型后，将各变量的变动正交化（Orthogonization），正交化可以释放随机过程之间的相关性，使上述随机过程实现独立，此过程称为Cholesky Decomposition。 假设drdzdzdz,,,为独立的随机过程，则可以将转换成以下dzdzdz,,SSS121n，12n 个随机过程： n，1 dradz,,111,dzadzadz,，211222S1, ,311322333dzadzadzadz,，，S2, , ,1,111,221,11Snnnnn,dzadzadzadz,，，，，，，，，n,ij,0,1,2,,1dzdzijnij,,,，,, i,1 ,,aa,ijikjki,1in,，1,2,1,,2其中，k,1 aaa,,,,1,,,jiiiikjiin,，，，1,2,1ak,1,,ii 再令,,,,,，相互独立，可以得到 dzdtdzdtdzdt,,,,,,,,,12n112211nn，， ,rtrtabrdtradt，,，,，,,1,,，，，，，，，，rt111,2,，，,,S,1,11211222SStStrtdtaadt，,,，，1exp,,,,,，，，，，，，，,,1,,,2,,,,，，,2S,，，,,,22311322333S,2，，，，，，，，StStrtdtaaadt，,,，，，1exp,,,,,,,,,2,,2,,,,,，， ,2,SnnnSnnnn1,111,22,，，,,,，，，，，，,StStrtdtaaa，,,，，，，1exp,,,,dt，，,,,,，，，1,11nn，，,2,,，，,, ab,,,,,,, 相应估计和的值，即可进行蒙特卡罗模拟。 ,rSijiSri 3．GELN产品的最终价值 Chen & Sears (1990)、Finnerty(1993)、Bennett ,Chen & McGinness (1996)、Odgen (1996)、 曾世轩（2003）等人的研究均表明：在发行时GELN类产品大多存在溢价发行的现象，即实际发行价格高于理论价值，即使在调整相应参数后依然如此。发行的适当溢价显然是可以理 解的：由于创新本身是具有一定价值的，在市场上不存在的产品组合往往价格要高于理论价 值；出于交易成本、专业水准和方便的考虑，投资者也往往愿意支付一定的费用。这些价值 加上金融机构本身所具有的进一步降低交易成本和规模效益的优势，常常构成了这些机构发 行GELN产品的重要利润来源。 除了上述因素之外，还有一个重要的原因经常导致了表面上的发行溢价。对于发行机构 来说，用上述方法计算得到的GELN产品中所蕴涵的期权价值，并非真正的成本。对于发行 6 者来说，在GELN产品发行后，必须进行相应的套期保值，才能保证资金成本的确定性。套 期保值的一个重要组成就是购买相应的期权，以对冲发行者在GELN产品中卖出的期权。但是由于奇异期权常常在市场上无法得到，这些发行机构只能通过其他的套期保值方法对期权 所蕴涵的风险进行对冲，因此对发行机构来说真正的期权成本是套期保值的全部成本，或者 可以看作理论价值和相应的套期保值额外成本之和。 三、GELN类产品的套期保值 如前所述，一个重视风险管理的金融机构，在发行了GELN产品之后，都会进行相应的套期保值，过大或过小的套期保值都会使发行者面临未来不确定的风险。一般来说，发行 者可以通过多种方法进行套期保值（为了简化讨论，假设GELN产品的套期保值是和发行者投资组合的其他部分相独立的）。当然，在现实生活中很难得到完美的套期保值效果，发 行者必然要面临着相关风险或是基差风险等，套期保值者需要在多种方法中选择一个交易成 本较低而保值程度较高的方式。 （一）债券部分的套期保值 债券的套期保值相对简单，主要的策略包括投资于类似收益率和到期日的固定收益证 券。有时发行者还可以进入一个利率互换，将GELN产品中的固定（浮动）利率转换成自己所需要的浮动（固定）利率。 （二）期权部分的套期保值 期权的套期保值可以选择多种工具，或是多种工具的组合：标的资产、基于标的资产的 期货、基于标的资产的期权以及基于标的资产的期货期权。 1.上市期权：包括直接基于标的资产的期权和相应的期货期权。这是最简单有效的对冲 工具，且风险很小。但是在大多数情况下，适合的期权是难以得到的，套期保值者需要考虑 美式与欧式的问题、到期日的问题、执行价格的问题等等。在无法完全匹配的情况下，套期 保值就是不完美的，有时可能成本较高。 2. OTC期权：此类期权的优点就在于可以量身定制，从而满足特定的需求，但流动性 较差，很多时候是不可得的。 3.标的资产：在缺乏相应期权的情况下，发行者可以通过持有股票组合来复制期权，通 常是通过创造Delta中性来实现，在价格上升的情况下买入资产，在价格下跌的情况下卖出 资产，这就是所谓的动态套期保值。在相当多的时候，GELN产品的发行者不得不通过动态套期保值方法或者与其他工具相结合进行套期保值。动态套期保值的缺点在于在实际中无法 完美实现，往往有跟踪误差和流动性风险，这使得套期保值者只能进行近似的复制，近似程 度究竟有多高则要取决于套期保值者的技巧和市场状态。而且，由于头寸需要经常调整，交 易成本相当高。一个实际从业者曾经估计复制一个基于S&P500的一年期期权，需要高达56个基点的交易成本。在流动性较差的个股市场上，这个成本甚至更高。 4. 期货：复制期权可以用期货而不是现货来实现，期货通常流动性比较好，交易成本 较低，例如指数期货的交易成本仅仅是股票交易成本的1/3左右。但是运用期货来复制期权有时会出现由于市场间套利不完全，期货错误定价，从而导致基差风险。然而，尽管存在这 个问题，期货仍然是动态套期保值的较优选择。 5. 动态保值的风险 如前所述，动态保值的主要风险包括： （1）跟踪误差：当操作者未持有正确数量的标的资产或是期货的时候，容易出现跟踪 误差。由于该数量是从一个相应的定价模型中计算得到的，以下是跟踪误差的三种可能原因： a. 使用模型不正确； b. 期货存在基差风险； c. 波动率或是短期利率等参数估计不正确。 7 （2）流动性风险：当套期保值者无法充分迅速地根据价格变化调整头寸的时候，他们 就面临着流动性风险，尤其当保值者必须进行大笔交易，而市场价格变化却很快时，这个问 题就显得特别严重。当期权是深度实值和深度虚值的时候，或者举例到期日很远的时候，复 制期权所要求的套期保值调整一般较小，相应的流动性风险也较低。但是当资产快要到期， 且处于平价附近的时候，动态套期保值的基本逻辑就暗示着流动性风险。因为这个时候平价 期权意味着套期保值组合中大约有一半是现金，一半是标的资产或期货，而到期时套期保值 者必须或者完全持有现金，或者完全持有标的资产，因而面临着在很短的时间内要进行组合 总金额一半的交易的需要。 四、中国现有的保本基金 2003-2004年间，中国的基金市场上出现了一些“保本增值基金”，这些保本增值基金 到期回报的基本设计是： ，，,,S11max0,1，, ,,,,S0,,，， 也就是说，最低收益率为零，而参与率为100%。但最大的不同之处在于这些产品并不存在 特定的挂钩对象，而是取决于基金管理者具体操作所带来的收益。基于这一不同点，国内现 有的保本增值基金主要采用的是恒定比例投资组合保险策略（CPPI），其投资步骤大致可分为三步： 1.根据投资组合期末最低目标价值（一般为基金的本金）和合理的贴现率设定当前应持 有的保本资产的数量，即投资组合的价值底线； 2.计算投资组合现时净值超过价值底线的数额，该数值等于弹性缓冲区； 3.将相当于弹性缓冲区特定倍数的资金规模投资于风险资产（如股票）以创造高于最低 目标价值的收益，其余资产投资于保本资产以在期末实现最低目标价值。 因此，在基金存续期间，基金风险资产的计算公式为（假设时间是连续的）： SMPMVFMSBF,,,,，, ，，，，ttttttt，1 其中，SVS为投资组合t时净值，为风险资产时价值，为下一时刻可投资于风险tt，1tt 资产的金额，PBF为时的弹性缓冲区间价值，为时保本资产价值，则为时的价值底tttttt线，为特定的放大倍数。 M 4. 当风险资产的价值损失接近弹性缓冲区间的时候，基金管理者就必须卖出股票，从 而将损失限制在安全缓冲区间内。 因此，如果操作合理，流动性风险较小（在出售股票限制损失的时候流动性风险尤其重 要），此类基金基本可以实现保本的目标。 由上可见，此类保本基金和GELN类产品的设计原理、保值手段等都存在差异。GELN类产品由于具有明确的挂钩对象，因而可以进行定价，可以灵活调整产品中的最低收益率,、 最高收益率k,和参与率等参数，产品结构也可以更多样化一些。 总之，本文主要从发行者的角度，探讨了最低收益保证的股票挂钩票据”（Guaranteed Equity-Linked Notes）的结构设计、参数设计、产品定价和相应的套期保值原理。下一步的 研究方向则是运用上述原理对市场上存在的产品进行实证分析，对定价过程中如波动率、利 率等参数进行敏感性分析，对相关产品的历史表现进行实证，探讨该产品的实际投资价值。 从中国目前的情形来看，主要是因为尚不存在相应的套期保值工具（实际上也可通过动态套 8 期保值实现对冲），人民币的此类产品并不存在。但随着金融市场的发展和进一步开放，相 信此类产品在中国的出现应是迟早的事情。 参考文献： 1. 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