耐克函数
双钩函数
函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)叫做双钩函数。 (注:形如 ?ax-b/x
的函数不是双钩函数)
该函数是奇函数,图象关于原点对称。位于第一、三象限。
当x>0时,由基本不等式(均值不等式)可得:y ?2?ab
当且仅当ax=b/x,即x=?(b/a)时取等号。
故其顶点坐标为(?(b/a),2?ab),图象在(0,?(b/a))上是单调递
减的,在(?(b/a),+?)上是单调递增
同理:当x<0时,由基本不等式可得:y?-2?ab
当且仅当ax=b/x,即x=-?(b/a)时取等号。
故其顶点坐标为(-?(b/a),-2?ab),
图象在(-?,-?(b/a))上是单调递增,
在(-?(b/a),0)上是单调递减的.
当a<0,b<0 时可转化为a>0,b>0的情况
因为它是奇函数
所以,当x<0时,由基本不等式可得:y?-2?ab
当且仅当ax=b/x,即x=-?(b/a)时取等号。
故其顶点坐标为(-?(b/a),-2?ab),
图象在(-?,-?(b/a))上是单调递增,
在(-?(b/a),0)上是单调递减的.
当a<0,b<0 时可转化为a>0,b>0的情况
下面我们证明函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)在x>0上的单调性
设x1>x2且x1,x2?(0,+?)
则f(x1)-f(x2)=(ax1+b/x1) -(ax2+b/x2)
=a(x1-x2)-b(x1-x2)/x1x2
=(x1-x2)(ax1x2-b)/x1x2
因为x1>x2,则x1-x2>0
当x?(0,?(b/a))时,x1x2b/a
则ax1x2-b>b-b=0
所以f(x1)-f(x2)>0,即x?(?(b/a),+?)时,f(x)=ax+b/x单调递增。