巧用对称性求解三角形周长的最小值

巧用对称性求解三角形周长的最小值 l?嘞m 解题技巧与方法 一引? 辔 【摘要】三角形周长的最小值的求解是初中数学学习 的一个重点和难点.在求解此类问题时,学生往往感到不 知从何入手.本文探讨的主要内容是如何利用对称性来解 决三角形的周长何时取得最小值. 【关键词】三角形的周长;对称性;三角形的性质;线段 垂直平分线性质:两点之间线段最短 求解三角形周长的最小值时,有以下两种情况:一,如 果三边均为未知.此时找出其中两边分别关于某一直线的 对称线段.三条线段在一条直线上时,即为j三角形周长的 最小值:二是如果遇到题中所涉及的三边中,有一边的值 已知或是为一定值,那么只需考虑另外两边的值的和的最 小值.此时.首先须找出其中一边关于某条直线的对称线 段,然后利用角形的两边之和大于第三边这一性质解决 问题即可. 例1(作图题)设A是/MON 内的一个定点,试在OM,ON上确定 点B.C,使AABC的周长最小. 作法:?作点A关于OM,ON 的对称点A.,A. ON (连接1,A2,交OM于点B,交ON于点C. ?连接AB,C,则AABC即为周长最小的三角形. 证明在OM,ON上任取不同于日,C的两点,连接 』411,曰1C1,CIA2,贝1A1B1+BlCl+ClA2>AlA2,即?A日lCl的 周长大于?ABC的周长. ,: A22 例2求证:固定AABC的一边AB,面积一定时,以 日为底的等腰三角形周长最小. 证明作直线?AB,并设c,, L,设?BC中,AC.=BC.,设 C2? AABC2中,4?BC2,显然,AABCl 与AABC2等积.只须证4Cl4-BC】< AC24-日C.设f是B关于直线L的A 数学学习与静f究2009.9 对称点.则BCl=BlCl,BC2=B1C2,从而AC+BC.=AC14-B Cl=AB1<AC24-BlC2=AC2+BC2. 例3如图1,点D为BC上的 一 定点.E.F分别为AB,AC边上的 动点,当E,F分别在什么位置时,对 应?DEF周长何时最小? 解先假设BC上的D点已经 确定,分别作D关于AB,AC的对称 BDC 图1 点G,日,其中DG上曰于,,DHj_C于.,,再连接GH,分 别交B,C于E,F,则EF即为所求的点. 证明分别在B,AC上任意取两点,Y(异于E和 F),连接xy,xD,Gx,,AB. ? . ? B是DG的中垂线,AC是,j的中垂线, . . .C?=xy4-xD4-yD=xy4-xG4-yH>GH=GE4-F+ FH=EF4-DE4-DF=C?. 可见相对于确定的D点,上述ADEF周长最小. 现在我们继续探讨原先问题,即如何在BC上取定适 当的D点,使上述ADEF的周长最小? 存图1中连接,4ID=90.,JD=90.AIDJ,四 点共圆. 又/_AID=RtA_~AD为o0的直径,由正弦定理—=d=D, . ' .C=GH=2/J=2ADsinA. 可见周长是由D的大小最后确定,因此D为高线 时.AD达到最小值,此时周长也就是最小. 如图2.在?ABC中,作高AD,作D关于AB的对称 G.作D关于C的对称点日,则GDJ_曰于I,DHj_C于 _,,连接GH分别交AB,AC于E,F连接DE,CE.这时CE, BF都会是高线.现证明如下: 证明)….=AA 又4,,,D,I,共圆j/_AIJ=,从而CD=A IjADGH的中位线lj力GH,EF=乙lj, 从而ACD=AF=1. 又是,JG的中垂线/1=/2/ACD=/2j. E.D.C共圆j/_AEC=厶4DC=90.jCE是高线,同理 BF也是高线.