行业资料平面向量的内积

行业资料平面向量的内积 课:平面向量的内积 教学目的: ?要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 新疆王新敞奎屯?掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离 新疆王新敞奎屯?能用所学知识解决有关综合问题 教学重点:平面向量数量积的坐标表示 教学难点:平面向量数量积的坐标表示的综合运用 教学过程: 一、复习引入: 1(两个非零向量夹角的概念 ,,,,,,aaabbbOAOB已知非零向量与，作,，,，则?A,B,θ(,?θ?π)叫与的夹角. ,,,,aabb2(平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos ,,,,,,,,aaaabbbb 叫与的数量积，记作,，即有, = ||||cos ， ,新疆王新敞奎屯0(,?θ?π).并规定与任何向量的数量积为0 3(向量的数量积的几何意义: ,,,,,,新疆王新敞奎屯数量积aaa,等于的长度与在方向上投影||cos 的乘积 bbb4(两个向量的数量积的性质: ,,,,新疆王新敞奎屯ae设、为两个非零向量，是与同向的单位向量 bb ,,,,,,,,,eaaeaaa1 , = , =||cos ;2 , = 0 bb ,,,,,,,,,,,,新疆王新敞奎屯aaaaaa3 当与同向时，, = ||||;当与反向时，, = ,||||bbbbbb ,,,,,,2aaa 特别的, = ||或 |a|,a,a ,,,,a,b,,aa4 cos =, ;5 |,b| ? |||b| ,|a||b| ( 平面向量数量积的运算律 5 ,,,,aabb交换律: , = , ,,,,,,,a,aa,bbb数乘结合律:(), =(,) = ,() ,,,,,,,acaccbb分配律:( + ), = , + , 二、讲解新课: ?平面两向量数量积的坐标表示 ,,,,,,新疆王新敞奎屯aba,b已知两个非零向量a,(x,y)，，试用和的坐标表示b,(x,y)1122 ,,iyx设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么 j ,,,,,,a,xi，yj， b,xi，yj1122 ,,,,,,,,,,,,22所以,xxi，xyi,j，xyi,j，yyja,b,(xi，yj)(xi，yj)112212122112 ,,,,,,,,又，， i,i,1j,j,1i,j,j,i,0 ,,所以 a,b,xx，yy1212 新疆王新敞奎屯这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 ,,即 a,b,xx，yy1212 2.平面内两点间的距离公式 ,,,22222新疆王新敞奎屯|a|,x，y(1)设，则或 a,(x,y)|a|,x，y ,a(2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(x,y)(x,y)1122,22|a|,(x,x)，(y,y)(平面内两点间的距离公式) 1212 3.向量垂直的判定 ,,,,a,b设，，则 a,(x,y)xx，yy,0,b,(x,y)11121222 0,,,,4.两向量夹角的余弦() ,,xx，yya,b1212,cos, =,2222|a|,|b|x，yx，y1122 三、讲解范例: ,,,,aabb例1 设 = (5, ,7)， = (,6, ,4)，求, ,,a,b解: = 5?(,6) + (,7)?(,4) = ,30 + 28 = ,2 ,,,新疆王新敞奎屯acb例2 已知(1, 2)，(2, 3)，(,2, 5)，求证:?ABC是直角三角形 ACAB证明:?=(2,1, 3,2) = (1, 1), = (,2,1, 5,2) = (,3, 3) ?,=1?(,3) + 1?3 = 0 ?, ACACABAB ??ABC是直角三角形 ,,,,,,,新疆王新敞奎屯xxxaa例3 已知 = (3, ,1)， = (1, 2)，求满足, = 9与, = ,4的向量bb ,x 解:设= (t, s)， ,,x,a,93t,s,9t,2,,,,x, 由 ?= (2, ,3) ,,,,x,b,,4t，2s,,4s,,3,, ,,,,aa例4 已知333,(,，)，,(，,，,,)，则与的夹角是多少?bb ,,,,,,aa分析:为求与b夹角，需先求a,b及,,?,b,，再结合夹角θ的范围确定其值. ,,a333b解:由,(,，)，,(，,，,,) ,,,,aa333bb2有?,，,，(,,),,，,,,,，,,,,( ,,,a,b2,ab记与的夹角为θ，则cosθ,, ,,2a,b ,又?,?θ?π，?θ, 4 评述:已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定. ,, bb例5 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角?ABC，使， = 90:，求点和向量AB的坐标。 , bOBAB解:设点坐标(x, y)，则= (x, y)，= (x,5, y,2) 22OBAB?, ?x(x,5) + y(y,2) = 0即:x + y ,5x , 2y = 0 2222OBAB又?|| = || ?x + y = (x,5) + (y,2)即:10x + 4y = 29 ,73,22,,xx12,,,，,5,2,0xyxy,22 由,或,,,3710，4,29xy,,,y,,y,12,22,, ,73377337?点坐标或;=或 (,,)(,)(,,,)(,,)bAB22222222 例6 在?ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且?ABC的一个内角为直角，ACAB 新疆王新敞奎屯 求k值 3,a解:当 = 90:时，,= 0，?2?1 +3?k = 0 ?k = ,ACAB2 , 当b = 90:时，,= 0，=,= (1,2, k,3) = (,1, k,3) BCBCACABAB 11?2?(,1) +3?(k,3) = 0 ?k = 3 3,13当C= 90:时，,= 0，?,1 + k(k,3) = 0 ?k = ACBC2 四、课堂练习: ,,,,,,aaba,b1.若=(-4,3),=(5,6),则3||,,,( ) A.23 B.57 C.63 D.83 ,,,,,,acacbb2.已知(1,2),(2,3),(-2,5)，则?为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 ,,,,aabb3.已知=(4,3),向量是垂直的单位向量，则等于( ) 34344334(,)(,)(,)(,,,) A.或 B.或 55555555 43343434(,,)(,,)(,,)(,,) C.或 D.或 55555555 ,,,,,,aaabbb4.=(2,3),=(-2,4),则(+)?(-)= . ,,1,,aabb5.已知(3，2)，(-1，-1)，若点P(x,-)在线段的中垂线上，则x= .2 ,,,,,,,c6.已知aaa(1，0)，(3，1)，(2，0)，且=,=,则与的夹角为 .bbbBCCA 7参考答案:1.D 2.A 3.D 4. –7 5. 6.45? 4 五、小结 两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示 六、课后作业: ,,,,aa1.已知=(2,3),=(-4,7),则在方向上的投影为( ) bb 65131365 A. B. C. D. 55 ,,,,aa2.已知=(λ，,)，b=(-3,5)且与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是( ) 10101010 A.λ, B.λ? C.λ, D.λ? 3333 ,,,,,,aaabbb3.给定两个向量=(3,4),=(2,-1)且(+x)?(-),则x等于( ) 232323 A.23 B. C. D. 234 ,,,,,aaa10bb4.已知||=,=(1,2)且?,则的坐标为 . ,,,,,,,,acacacbb5.已知=(1,2),(1,1),=-k,若?，则, . ,,,3,,aabb6.已知=(3,0),=(k,5)且与的夹角为，则k的值为 . 4 ,,,,aabb7.已知=(3,-1),=(1,2),求满足条件x?=9与x?=-4的向量x. 8.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y轴上找到一点C，使?ABC,90?，若不能，说明理由;若能，求C点坐标. 9.四边形ABCD中=(6,1), =(x,y)，=(-2,-3), BCCDAB (1)若?，求x与y间的关系式; BCDA (2)满足(1)问的同时又有?,求x,y的值及四边形ABCD的面积. ACBD 参考答案:1.C 2.A 3.C 4.(，,)或(-，,,) 2222 21 5.(,,) 6.-5 7.(2,-3) 8.不能(理由略) 55 x,,6x,2,,或9.(1)x+2y=0 (2) SABCD=16 四边形,,y,3y,,1,, 七、板设计(略) 八、课后记及备用资料: ,,,,,,,aaaa已知,(3，4)，b,(4，3)，求x,y的值使(x+yb)?，且,x+yb,=1. 分析:这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想. ,,,,aabb解:由,(3，4)，,(4，3)，有x+y=(3x+4y,4x+3y) ,,,,,,aaaabb又(x+y)?(x+y)?,,3(3x+4y)+4(4x+3y)=0 ,, 即25x+24y,, ? ,,,,,,,aabb又,x+y,=1,x+y,,,(,x+4y)，(,x+3y),, ,, ,,,整理得:25x，48xy+25y,,即x(25x+24y)+24xy+25y,, ? ,由??有24xy+25y,, ? 5将?变形代入?可得:y=? 7 2424,,x,x,,,,,,3535和再代回?得: ,,55,,y,,y,,,77,,