藉由量测月球视直径的大小

藉由量测月球视直径的大小 Laboratory Exercise 01?The Moon’s Orbit 第四組 C24884038 胡欽評 Laboratory Exercise 01?The Moon’s Orbit ............................................. 1 一、 目的: ............................................................................ 2 二、 原理: ............................................................................ 2 三、 使用工具 ........................................................................ 2 四、 步驟及處理: ................................................................. 2 (一) 量測月球與地球的相對距離:.................................. 2 (二) 找長軸和焦點: ........................................................ 5 (三) 找離心率: ................................................................ 6 (四) 找近、遠地點: ........................................................ 6 (五) 找Line Of Node: ..................................................... 7 nd(六) Kepler’s 2 law .......................................................... 8 五、 問題: ............................................................................ 9 一、 目的: 藉由量測月球視直徑的大小,來計算出月球的軌道,並驗證Kepler’s second law。 二、 原理: 只考慮地球和月球之間的連心力,月球繞地球的軌道是一個楕圓,所以它和地球的距離時而遠時而近,而用同樣焦距的望遠鏡拍攝之下,月球在底片上的半徑也會變化。 首先,有一個基本假設:那就是我們看月亮的照片時,我們看的月球直徑d和月地間的距離R有一個關係: constant R,d 由以上的關係,我們可以量得月亮和地球間的相對距離,而從不同的時間量得不同的相對距離,可以描繪出月球的軌道形狀。在這個Exercise裡,我們還要找下列幾樣東西: 1. 長軸和焦點 2. 離心率 3. 月球的近地、遠地點 4. 白道和天球赤道的升、降交點 5. 驗證克卜勒第二定率(等面積速率) 三、 使用工具 1. 計算機 2. Microsoft Excel 3. PhotoImpact 4. 小畫家 四、 步驟及處理: (一) 量測月球與地球的相對距離: 在此,我用來量測月球視直徑的方法是量測圓上的任意三個點,利用圓心到圓上任意點都等 距找出圓心,接著就可找出半徑和直徑了。 先來推導一條式子 假設我們在一個圓上已知有三個點的座標,我們可以算出圓心的位置。假設已知三點的座 標是、和,圓心的座標是(a,b),則由圓心到圓上任一點均等距,我們可(,)xy(,)xy(,)xy112233 以知道: 222222 ()()()()()()axbyaxbyaxby,，,,,，,,,，,112233 所以: 22222222a,，，2axxb,，,2byya,，，2axxb,，2byy11112222 2222,,，,，，,,,2()2()0(1)axxbyyxyxy21211122 2222同理: 2()2()0(2)axxbyyxyxy,，,，，,,,32322233 由可以得到: (1)()(2)()，,,，,xxxx3221 22222222,，,,,，，,,,()()()()xyxyxxxyxyxx112232223321 b,2[()()()()]yyxxyyxx,,,,,21323221 22222222,，,,,，，,,,()()()()xyxyyyxyxyyy112232223321同理: a,2[()()()()]xxyyxxyy,,,,,21323221 2222let Axyxy,，,,()1122 2222 Bxyxy,，,,()2233 、、、 Cxx,,()Dxx,,()Eyy,,()Fyy,,()32213221 ,，ACBD,，AEBFa,b,則a、b可示為:、 2[]FCED,2[]DECF, 接著來算誤差,假設測量的誤差是,0.5個px。 ,x1,,，，，,，，，Axxyxy(2...)()先來看a的誤差,令A這項的誤差是,A,則 11122x1同理, ,,，，，bxyxy()2233 ,,E1,,D1,,F1,同理、、 ,,,，,,Cxx132 ,[]AE令表示AE這項的誤差, ,,,，,,,，[]()(||)AEEAAEEAA同理, ,,,，,,,，[]()(||)BFFBBFFBB 所以 ,,，,,，,,,，,，，[][][]||||AEBFAEBFEAFBAB 再來看分母: ,,,，,,，[]DEEDDEDE,,,，,,，[]CFCFFCCF、,所以 ,,,，，，[]DECFCDEF ,,，,,[][]AEBFDECF最後可以算到: ,,，，aa[],，,AEBFDECF ,,，,,[][]ACBDCFED同理, ,,，，bb[],，,ACBDCFED 即然圓心算出來了,那半徑也就算得出來。 111222222222raxbyaxbyaxby,,，,,,，,,,，,[()()][()()][()()]112233 那半徑的誤差如下。 ,，,ax221,,,,，,,,，,,,,,,,,,，[]0.5[]()()(0.5)axaxaaxaxaxa 11111ax,1 2同理, ,,,,,,，[]()(0.5)bybyb11 ()(0.5)()(0.5)axabyb,,，，,,,，11？,,r 12,r1 量得的數據記錄如下表: xyxyxy ,a,b a b 112233 Moon1 300 0 400 23 500 457 288.9079 277.118 13.30895 11.47545 Moon2 300 0 400 19 500 471 298.9036 278.4284 13.09893 11.15926 Moon3 300 4 400 29 500 487 280.3655 295.0381 13.29384 11.72142 Moon4 300 10 400 36 500 506 275.8883 308.045 13.37933 11.97674 Moon5 300 4 400 19 500 551 304.8834 312.2776 12.82173 11.11632 Moon6 300 10 400 16 500 578 331.697 318.0504 12.7738 10.83192 Moon7 300 3 400 18 500 545 305.2294 308.9707 12.81141 11.07352 Moon8 300 15 400 33 500 527 298.396 310.6891 13.21651 11.56224 Moon9 300 30 400 53 500 520 285.5508 321.714 13.77365 12.37686 Moon10 300 4 400 41 500 430 252.3946 286.2983 14.22463 12.99616 Moon11 300 1 400 24 500 459 288.8072 278.5558 13.32444 11.50558 Moon12 300 3 400 30 500 437 280.1418 275.2342 13.70289 11.97312 ,d ,r,Rr d R 277.3399 6.259077 554.6798 12.51815 1802.842 40.68699 278.4306 5.85636 556.8611 11.71272 1795.78 37.77147 291.6997 6.561089 583.3993 13.12218 1714.092 38.55441 299.0188 6.777644 598.0375 13.55529 1672.136 37.9011 308.3162 5.701932 616.6325 11.40386 1621.712 29.99157 309.6768 4.956881 619.3536 9.913762 1614.587 25.84409 306.0154 5.672178 612.0308 11.34436 1633.905 30.2854 295.6934 6.068235 591.3869 12.13647 1690.941 34.70156 292.0716 6.783616 584.1432 13.56723 1711.909 39.76057 286.2841 7.878386 572.5682 15.75677 1746.517 48.06321 277.7814 6.276432 555.5628 12.55286 1799.976 40.67021 272.9575 6.736678 545.9151 13.47336 1831.787 45.20907 R,R地球到月球的平均距離= 1719.68,誤差=37.45 ※ 我們這裡取的半徑並沒有考慮赤緯,只是真正半徑到天球赤道面的投影而已 (二) 找長軸和焦點: 把找到的那12個點標在圖上,再用平均半徑畫一個圓,使這個圓儘量接近那12個點,然後把地球的位置和這個圓的圓心畫一條線,就是長軸。 我們把那12個點標出來,選定地球的位置是(2000,2000),(PhotoImpact好像沒有辦法有負的座標值)得到下圖: 然後,畫一個圓,一樣,找出它的圓心。 圓心座標是: (1914.57.1,2062.47.8),, (三) 找離心率: a:半長軸,ae從楕圓的中心到焦點的距離可以表示成 ,e:離心率, 由座標可以得知,,假設a,1719.68?則ae,105.810.3,e,0.0610.007, 即0.0540.068,,e。已知月球軌道的離心率是0.0549005(2001年天文年鑑),在誤差範圍之 內。 (四) 找近、遠地點: 由下表: ,R Date Longitude R Moon1 7.44 270 1802.842 40.68699 Moon2 8.46 283 1795.78 37.77147 Moon3 10.46 309 1714.092 38.55441 Moon4 12.46 336 1672.136 37.9011 Moon5 14.46 5 1621.712 29.99157 Moon6 15.81 27 1614.587 25.84409 Moon7 17.84 57 1633.905 30.2854 Moon8 19.94 87 1690.941 34.70156 Moon9 22.92 127 1711.909 39.76057 Moon10 24.79 151 1746.517 48.06321 Moon11 26.90 176 1799.976 40.67021 Moon12 29.92 212 1831.787 45.20907 以及我們所得的長軸上的兩個點:(1914.5,2062.4)及(2000,2000),利用這條直線和圓可以找 到兩個交點:(3389,986.2)和(610.9,3013.8)我們把地球的位置重新放回(0,0),則這兩點就變成了: (1389,-1013.8)和(-1389.1,1013.8) 看(1389,-1013.8)這個點:可以算出這時的Longitude是36.13度。如果Date和Loogitude是 ,1sin線性的關係的話,可以用內插了得知,此時的Date是16.43,至於誤差,不知道的要怎麼 算,不知道該怎麼寫,不過和講義所給的16.6差一點。 (五) 找Line Of Node: 由下表: Date Latitude Moon1 7.44 +1.5 Moon2 8.46 +2.6 Moon3 10.46 +4.3 Moon4 12.46 +5.2 Moon5 14.46 +5.8 Moon6 15.81 +3.9 Moon7 17.84 +1.6 Moon8 19.94 -1.2 Moon9 22.92 -4.3 Moon10 24.79 -5.1 Moon11 26.90 -5.1 Moon12 29.92 -3.5 用內插法就可以得知:降交點Date應該是19.04,此時的Longitude是74.14,畫圖如下:(圖 中的藍色線是Line of nodes) nd(六) Kepler’s 2 law rr,,,A12由下面這條式子:A,及arial velocity= ,,t360 A的誤差 誤差 A Arial velocity Moon1~2 367283.5 16014.19 360081.9 15700.19 Moon2~3 698405.9 30398.87 349202.9 15199.44 Moon3~4 675331.1 30497.21 337665.6 15248.61 Moon4~5 686262.9 28246.62 343131.5 14123.31 Moon5~6 502695.5 17343.2 372367 12846.81 Moon6~7 690647.9 23856.52 340220.6 11751.98 Moon7~8 723308.7 28250.74 344432.7 13452.73 Moon8~9 1010454 44205.24 339078.4 14833.97 Moon9~10 626198.5 31776.65 334865.5 16992.86 Moon10~11 685846.5 34370.74 325045.7 16289.45 Moon11~12 1035837 48969.39 342992.5 16215.03 把誤差考慮進去,大致可以說明克卜勒第二定律。 450000 400000 350000 300000 250000 200000 150000 100000 50000 0 024681012 上圖表示把誤差估計進去以後,軌道半徑的最大值和最小值。只有第五個和第一個數值較奇 怪,其餘的都差不多,在誤差範圍內。 五、 問題: 問題一: 你的量測結果能夠證明克普勒第二定律:等面積定律:嗎,如果可以,請證明看 看;如果不行,請說明為何不行, 答:見三、(六),大致上可以。 問題二: 你所得到的月球軌道離心率為多少,和前人的觀測結果相比,你覺得你的資料可 信度有多高,為什麼, 答:我量得的月球軌道離心率是0.061,但是誤差有11%,即便我量測時的誤差只有0.5個 pixel。天文年鑑上的值雖然也在誤差範圍之內,但11%的誤差,算不上精準。 問題三: 在這個實驗中,我們用的是月地距離的相對比值來計算,如果要量測月地距離的 絕對值:真實值:你能想到或查到哪些量測方法, 答:可用月食的地球影來球得。事先必需知道:日、地的距離(1AU)、地球半徑 ,及地球、 太陽的半徑比。 資料來源: R1 1.首先,和這個exercise一樣,在月球邊緣量三個點,量出月球的直徑,再到地球影 的邊緣量三個點,可以得到地球影的直徑,首先,假設地球影的直徑和地球直徑一樣R2 Rr1,大(6378km),可以求出月球的半徑r: 6378R2 r,d 2.再量月球視角,可得地月距離d: ,()rad, 3.再來,要修正地球影的大小: 已知地球、太陽的半徑比(109:1)、日地距離,也知道地月距離的估計值,我們可以重新 1(..)AU,dR(1091),估計地球影的大小: ,1(..)AU6378 (1091), 4.把地球影的大小再代回1.、2.可得地月距離。 5.再把4.所得的距離拿來算地球影大小,算完再代回1.…如此反覆疊代,會逼近某一個 值。 到此,我也拿一張地球影的照片來試試看吧: 上面這一張月全食的地球影是從王為豪的星光畫廊抓下來的 (),量得的月球直徑=360.1,地球影直 徑=445,視直徑不知道,就先用原來網頁的0.539度來試試吧。疊代16次以後,趨近於 一個值:360717.9公里。和已知約380000公里差不多。,反覆運算的結果如下圖: 600000 500000 400000 公里300000 200000 100000 0 12345678910111213141516 疊代次數