理科学习

2006年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学试题（理科）第I卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合，，则（A）[0，2] （B）[1，2] （C）[0，4] （D）[1，4]（2）已知，其中，是实数，是虚数单位，则=（A） （B） （C） （D）（3）已知，则（A） （B） （C） （D）（4）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（A） （B）4 （C） （D）2（5）若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则m=（A） （B） （C） （D）（6）函数的值域是（A）（B）（C） （D）（7）“a>b>0”是”ab<”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（8）若多项式，则=（A）9 （B）10 （C）－9 （D）－10（9）如图，O是半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧与的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是（A） （B）（C） （D）（10）函数f：{1，2，3|{1，2，3|满足f(f(x))＝f(x)，则这样的函数个数共有（A）1个 （B）4个 （C）8个 （D）10个第Ⅱ卷（共100分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。（11）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5=10，S10=－5，则公差为____________（用数字作答）.（12）对a，b∈R,记max|a，b|=，函数f（x）=max{|x+1|，|x－2|}（x∈R）的最小值是_________________.（13）设向量a，b，c满足a+b+c=0，（a－b）⊥c，a⊥b，若|a|=1，则|a|2+|b|2+|c|2的值是_______.（14）正四面体ABCD的棱长为l，棱AB∥平面，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是____________.三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的夹角。（16）设，若，求证：（Ⅰ）且； （Ⅱ）方程在（0，1）内有两个实根。（17）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，分别为、的中点。（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求与平面所成的角。（18）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球，现从甲、乙两袋中各任取2个球。（I）若n＝3，求取到的4个球全是红球的概率；（II）若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n。（19）如图，椭圆（a>b>0）与过点A（2，0）、B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e＝.（I）求椭圆方程；（II）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF2的中点，求证：ATM=AF1T.（20）已知函数＝x3+x2，数列{xn}（xn>0）的第一项x1＝1，以后各项按如下方式取定：曲线y＝在处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn））两点的直线平行（如图）。求证：当n时：（I）；（II）数学试题（理科）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。题号12345678910答案ACABCCADBD（1）设集合，，则[0，2]，选A.（2）已知，其中，是实数，是虚数单位，，所以，则=，选C.（3）已知，则m>1，n>1，m>n，所以，选A.（4）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域为△ABC，其中A(2，0)，B(0，2)，C(2，4)，=4，选B.（5）若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则离心率e=3，∴，m=，选C.（6）函数，，所以原函数的值域是，选C.（7）若“a>b>0”，则”ab<”成立；若”ab<”，可以是a<0，b>0，所以“a>b>0”是”ab<”的充分而不必要条件，选A.（8）若多项式，则，比较等式两边x9的系数知，，则=－10，选D.（9）如图，O是半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧与的中点，取OA中点D，连接DE、DF，则DE=DF=，EF=1，所以△OEF是正三角形，∠EOF=，点E、F在该球面上的球面距离是，选B.（10）函数f：{1，2，3|{1，2，3|满足f(f(x))＝f(x)，则这样的函数有几种情况：①；②，……，这样的函数有3个；③，，……，这样的函数有6个，所以满足条件的函数共有10个，选D.二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。（11）－1 （12） （13）4 （14）（11）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5=10，S10=－5,∴，解得d=－1.（12）对，记，函数，(x∈R)，当x>时，|x+1|>|x－2|，当x<时，|x+1|<|x－2|，∴=，所以f(x)的最小值是.（13）设向量a，b，c满足a+b+c=0，(a－b)⊥c，a⊥b，∴a·b=0，a·c=b·c，所以向量a，b，c首尾相接为直角三角形，c为斜边，且a、b与c所夹的角相等，若|a|=1，|b|=1，|c|=，|a|2+|b|2+|c|2的值是4.（14）如图，正四面体ABCD的棱长为1，平面α过棱AB，且。正四面体ABCD的棱长为l，棱AB∥平面，若CD∥α，则CD在平面内的射影C’D’恰好与AB垂直平分，即正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形为正方形AC’BD’，它的面积是，若平面ABC⊥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形为三角形，且CD在α面内的射影长为，则射影面积为，所以射影的取值范围是.三、解答题（15）本题主要考查三角函数的图像，已知三角函数求角，向量夹角的计算等基础知识和基本的运算能力。满分14分。解：（I）因为函数图像过点，所以即因为，所以.（II）由函数及其图像，得所以从而，故.（16）本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识。满分14分。证明：（I）因为，所以.由条件，消去，得；由条件，消去，得，.故.（II）抛物线的顶点坐标为，在的两边乘以，得.又因为而所以方程在区间与内分别有一实根。故方程在内有两个实根.（17）本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力。满分14分。解：方法一：（I）因为是的中点，，所以.因为平面，所以，从而平面.因为平面，所以.（II）取的中点，连结、，则，所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.因为平面，所以是与平面所成的角.在中，.故与平面所成的角是.方法二：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则.（I）因为，所以（II）因为，所以，又因为，所以平面因此的余角即是与平面所成的角.因为，所以与平面所成的角为.（18）本题主要考察排列组合、概率等基本知识，同时考察逻辑思维能力和数学应用能力。满分14分。解：（I）记“取到的4个球全是红球”为事件.（II）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件，“取到的4个球只有1个红球”为事件，“取到的4个球全是白球”为事件.由题意，得，所以，化简，得解得，或（舍去），故.（19）本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。解：（I）过点、的直线方程为因为由题意得有惟一解，即有惟一解，所以（），故又因为即所以从而得故所求的椭圆方程为（II）由（I）得故从而由解得所以因为又得因此（20）本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。满分14分。证明：（I）因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以.（II）因为函数当时单调递增，而，所以，即因此又因为令则因为所以因此故