方阵

网上购物 就到“淘宝网购物” http://www.66gw.com.cn 方阵 同学们要参加运动会入场式,要进行队列*练,解放军排着整齐的方队接受检阅等,无论是训练 或接受检阅&127;,都要按一定的规则排成一定的队形,于是就产生了这一类的数学问题,士兵 排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,正好排成一个正方形,这就是一个方队, 这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。 方阵的基本特点: (1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的 人数就少2。 (2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系; 四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4 每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1 (3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数 (4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的 层数×4 例1.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最 外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人? :根据四周人数与每边人数的关系可知: 每边人数=四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,&127;那么这个方 阵队列的总人数就可以求了。 解:(1)方阵最外层每边的人数:20÷4+1=5+1=6(人) (2)整个方阵共有学生人数:6×6=36(人) 答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。 例2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方 阵最里层一周共有多少棋子?&127;摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子? 分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求 出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。 (2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数,&127;再乘以层数,再乘 以4,计算出这个空心方阵共用棋子多少个。 解:(1)最里层一周棋子的个数是:(15-2-2-1)×4=40(个) (2)这个空心方阵共用的棋子数是:(15-3)×3×4=144(个) 答:这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个空心方阵共用144个棋子。 网上购物 就到“淘宝网购物” http://www.66gw.com.cn 例3.玲玲家的花园中,有一个如下图那样,由四个大小相同的小等边三角形组成的一个大 三角形花坛,玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花,已知每个小三角形每边上种鸡冠花5棵,问 大三角形的一周有鸡冠花多少棵?&127;玲玲一共种鸡冠花多少棵? 分析:(1)由图可知大三角形的一条边是由两条小三角形的边组成的,&127;而在大三角形 一条边的中间那棵花,是两条小三角形的边所共用的,所以如果小三角形每边种花5棵,那么大 三角形每边上种花的棵数就是5×2-1=&127;9棵了,又由于大三角形三个顶点上的3棵花,都是 大三角形的两条边所共用的,&127;所以大三角形一周种花的棵数等于大三角形三边上种花 棵数的和减去三个顶点上重复计算的3棵花,即:9×3-3=24,就是大三角形一周种花的棵数。 (2)三角形各条边上种鸡冠花棵数的总和,&127;等于里边小三角形一周上种花的棵 数,加上大三角形一周种花的棵数,再减去重复计算的3棵花(因为里边小三角形的三个顶点上 的三棵花,&127;也分别是外边大三角形每条边上的一棵花)。 解:(1)大三角形一周上种花的棵数是:(5×2-1)×3-3=24(棵) (2)小三角形一周种鸡冠花的棵数是:(5-1)×3=12(棵) (3)玲玲一共种鸡冠花的棵数是:24+12-3=33(棵) 答:大三角形一周种鸡冠花24棵;玲玲一共种鸡冠花33棵。 例4.五年级学生分成两队参加学校广播*比赛,他们排成甲乙两个方阵,其中甲方阵每边 的人数等于8,如果两队合并,可以另排成一个空心的丙方阵,丙方阵每边的人数比乙方阵每边 的人数多4人,甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心五年级参加广播*比赛的一共有多少人? 分析:若只排列一个乙方阵,则多余的人数为(即甲方阵的人数)8×8=64(人),排列一个实心 的丙方阵,不足的人数是:8×8=64(人)假设丙方阵为实心方阵,则乙多的人数是:8×8+8×8=128 (人),又根据方阵扩展一层,每边增加2人,丙方阵比乙方阵的外边多4人,丙方阵多于乙方阵的 层数是4÷2=2(层),方阵扩展2层,需要增加128人,则方阵最外层的人数是(128+2×4)÷2=&127; 68(人),丙方阵的总人数18×18-8×8=260(人) 解:(1)假设丙方阵为实心方阵,则方阵最外层的人数是:(8×8+8×8+2×4)÷2=68(人) (2)丙方阵最外层每边的人数是:68÷4+1=18(人) (3)空心丙方阵的总人数:18×18-8×8=324-64=260(人) 答:五年级参加广播*比赛的一共有260人。 例5.有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成7行7列的方阵,问这个方阵最外一层有杨树和 柳树各多少棵?方阵中共有杨树,柳树各多少棵? 分析:根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种,假设黑点表示杨树,&127;白点表示柳 树观察图(1)(2)不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上,方阵中 网上购物 就到“淘宝网购物” http://www.66gw.com.cn 除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。因而杨树和柳树的棵数相等,即最外层杨,柳 树分别为(7-1)×4÷2=12(棵)。 当柳树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的 角上时,最内层的一棵是杨树,即在方阵中,杨树和柳树总数相差1棵。 解:(1)最外层杨柳树的棵数分别为:(7-1)×4÷2=12(棵) (2)当杨树种在最外层角上时,杨树比柳树多1棵: 杨树:(7×7+1)÷2=25(棵) 柳树:7×7-25=24(棵) (3)当柳树种在最外层角上时,柳树比杨树多1树 柳树(7×7+1)÷2=25(棵) 杨树7×7-25=24(棵) 答:在图(1)(2)两种方法中,方阵最外层都有杨树12棵,柳树12棵,方阵中总共有杨树25棵, 柳树12棵,方阵中总共有杨树25棵,柳树24棵,或者有杨树24棵,柳树25棵。