WeWeWeWe supplysupplysupplysupply success!!!success!!!success!!!success!!! Tel:Tel:Tel:Tel: 55971195559711955597119555971195 55971197559711975597119755971197
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复旦高数复旦高数复旦高数复旦高数 ++++ 线代模拟试题线代模拟试题线代模拟试题线代模拟试题
1. 2. dx 3. dxdxxx )cottan(
2
0
+∫
π
1
2
0
arctan
1
x
x x−
∫ ( )220
ln
1
x x
x
+∞
+
∫
4.( 1)设 f(x)在[a,b]二阶可导,f(a)=f(b),试证: )('2)('')),( ξξξξ ffbba =−∈∃ 使(
(2)设 f(x)在[a,b]连续,( a,b)可导,f(a)=f(b)=0.试证: 2( , ) '( ) ( ) 0a b f fξ ξ ξ∃ ∈ + =使
(3)设 n 为正整数,f(x)在[0,n]连续,f(0)=f(n).试证: )1()(],,0[1, +=∈+∃ afafnaa 使
(4)设 f(x)在[0,1]连续,f(0)=f(1)。试证: )
4
1
()()1,0( +=∈∃ ξξξ ff使
5.k 为何值时,方程组 ①有唯一解 ②无穷多解 ③无解。 有解时,求出
1 2 3
2
1 2 3
1 2 3
4
4
x x kx
x kx x k
x x kx
+ + =⎧
⎪
− + + =⎨
⎪ − + = −⎩
所有解.
6.设 A= , B = P-1A* P.求 B+2E 的特征值和特征向量,其中 A*是 A
3 2 2 0 1 0
2 3 2 , 1 0 1
2 2 3 0 0 1
P
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
的伴随矩阵。
7.讨论级数的绝对收敛性 ( ) 1 2
1
1 tan( 1 )
n
n
n π
∞
−
=
− +∑
8.求幂级数的收敛域和收敛域上的和函数
( ) ( )1 12 1
1 1
1 1 3
2 1 2 1 4
n n
n
n n
x
n n
− −−∞ ∞
= =
− − ⎛ ⎞
⎜ ⎟− − ⎝ ⎠
∑ ∑
n
并求 的和数
9.求 3xdy-y(1+ +3 sinx)dx=0 的通解xxsin 3y
10.把函数在 展开幂级数 f(x)=0x x=
x
x
−
+
1
1
arctan 0 0x =
11.求 f(x,y)=x+y 在 D: 2 2 1x y+ ≤ 下最值
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12.求 I= , 从 oz 轴正向看去 为逆时针(用2 2 2y dx z dy x dz
Γ
+ +∫
2 2 2
2 2
:
( 0)
z R x y
x y Rx R
⎧ = − −⎪
Γ ⎨
+ = >⎪⎩
Γ
Stokes 公式)
13.求 I= 由圆锥面 i∫∫∫
Ω
zdv Ω 2 2z x y x= + =2和柱面z 所围
复旦高数+线代模拟题一解答
1.1.1.1. 对 ,奇点为 .2
0
tan xdx
π
∫ 2
π
0 0
2 2
( )sin
2lim tan lim 1
2 cos
x x
x x
x x
x
π π
π
π
→ − → −
−
− ⋅ = = < +∞
tan 1
2
x
π
∴ <
1在[0, )正值连续.q=
2
2
0
tan xdx
π
∴∫ 收敛
对 ,奇点为 0.2
0
cot xdx
π
∫ 0 0lim cot lim cos 1sinx x
x
x x x
x
+ +→ →
⋅ = = < +∞
且cot 0 ] 1
2
x
π
<
1在( , 上连续正值. q=
2
2
0
cot xdx
π
∴∫ 收敛
22 2
0 0
cot tan
x t
xdx xdx
π
π π− =
∫ ∫
2
tan2 2
2 40 0 0 0
( tan cot ) 2 tan 2 4
1 1
x t t u
t u
x x dx xdx dt du
t u
π π
+∞ +∞= =
∴ +
+ +∫ ∫ ∫ ∫
收敛于
2 2 2 2
40 0 02 2
2 2
0 02 2
1 1
1 11 1
2 2
1 11
1 1 1 1
2 ( ) ( )
1 1
( ) 2 ( ) 2
u u
u u
du du du
u
u u
u u
d u d u
u u
u u
u u
+∞ +∞ +∞
+∞ +∞
⎡ ⎤+ −⎢ ⎥+ + −
= = +⎢ ⎥
+ ⎢ ⎥+ +
⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= − + +⎢ ⎥
⎢ ⎥− + + +
⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
∫ ∫
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0 0
1 1
21 1 2 1 2
2 arctan ln (0 0)
1 2 2 22 2 2 2 2 22
| |
u u
u u
u
u
π π
π
+∞ +∞
⎡ ⎤
− + −⎢ ⎥ ⎡ ⎤
= + = + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥+ +
⎢ ⎥⎣ ⎦
2222. 0 1x< ≤
1 1
2 2 00
1 arctan
arctan( )
1
|
y
y
dy x
xy
x y x x
=
=
= =
+∫
0 1
:
0 1
x
D
y
< ≤⎧
⎨
≤ ≤⎩
1 1 1 1 1
2 22 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0
arctan
11 1 (1 ) 1 (1 ) 1
D
x dx dy dxdy dx
dx dy
x y
x x x x y x x y x
∴ = = =
+− − + − + −
∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
I(y)=
1 sin 2 2
2 2 2 22 2 20 0 0
1 1
1 sin 1 cos(1 ) 1
x t
dx
dt dt
y t y t
x y x
π π
=
=
+ ++ −
∫ ∫ ∫
= 2 2 2
2 2 2 2 2 02 20 0
tan 1 1
arctan tan
(tan 1 )cos tan 1 21 1
|dt d t t
t y t y
y y
π π
π
π
= = =
+ + + + + +
∫ ∫
1 12
02
1
ln( 1 ) ln(1 2)
2 2 21
|dy y y
y
π π π
∴ = + + = +
+
∫0原式=
3333.f(x)=
2 2 2 2
0 0
ln ln
0 (0 ) lim lim ln 0
(1 ) (1 )x x
x x x x
f x x
x x
+ +
+
→ →
∞ = = =
+ +
在( ,+ )连续,
x=0不是 f(x)的奇点
0
( )f x dx
+∞
∴∫ 为无穷限广义积分
x>1时,f(x)>0.
4
2
2 2
1
ln ln
( ) lim lim lim 0
(1 ) 1x x x
x x x
x
x f x
x x x
→+∞ →+∞ →+∞
= ⋅ = = =
+
2 1P∴ = >
0 0
( ) I= ( ) .f x dx f x dx
+∞ +∞
∴∫ ∫收敛,从而 存在
1
0
2 2 2 2 20 02
2
1 1
lnln 1 ln
1(1 ) (1 )(1 )
x
t
x x t t
t t
I dx dt dt I
x t t
t
=+∞ +∞
+∞
⎛ ⎞
∴ = − = − = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠+
∫ ∫ ∫
0I∴ =
4.分析: (1) ( , ) ( ) ''( ) 2 '( ) 0a b b x f x f xξ ∈ − − =满足
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积分因子:
2
''( ) '( ) 0.f x f x
b x
− =
−
2
2( )
dx
b x
e b x
−
−∫ = −
左式====2( ) ''( ) 2( ) '( ) 0b x f x b x f x− − − =
'2( ) '( )b x f x⎡ ⎤−⎣ ⎦
令 2( ) ( ) '( )F x b x f x= − ( ) 0F b = ( )F a 未知.
0( ) ( ) '( ) 0f a f b f ξ= ⇒ = 0'( ) 0F ξ =
F(x)在 0[ , ]b Rolleξ 上用 定理即可得
(2) 积分因子:( , ) '( ) ( ) ( ) 0a b f x f x f xξ ∈ + =满足
( )
x
a
f x dx
e
∫
( )
( ) ( )
x
a
f t dt
F x e f x
∫∴ = ⋅ ( ) ( ) 0 '( ) 0F a F b F ξ= = ⇒ =
(3) [0, 1] ( ) ( 1) 0a n f x f x∈ − − + =满足 ( ) ( ) ( 1)F x f x f x= − +
(0) (0) (1)F f f= − ( 1) ( 1) ( ) ( 1) (0)F n f n f n f n f− = − − = − −
( ) [0, ] ( ) [0, 1]f x n F x n −Q 在 连续, 在 连续,从而有最大值M,最小值m
0、1、2、、、 n-1k∀ = ( ) ( ) ( 1)m F k f k f k M≤ = − + ≤
0
1
( ) (0) ( ) 0
n
k
m F k f f n M
n =
≤ = − = ≤∑
[0, 1]a n∴∃ ∈ − 1 [0, ] ( ) 0a n F a+ ∈ =使
(4)
1
(0,1) ( ) ( ) 0
4
1 3
( ) ( ) ( [0, ] M
4 4
f x f x
F x f x f x
ξ ∈ − + =
= − +
满足
)在 连续,具有最大值 ,最小值m
1 1 1 1
(0) ( ) ( ) ( ) (0) (1) 0
4 4 2 4
m F F F F f f M
⎡ ⎤
≤ + + + = − = ≤⎢ ⎥⎣ ⎦
5.
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2 32 1
3 1
2
2 2
1
×( )
22
2
1
21 1 4 1 1 4 10 0
( | ) 1 1 0 1 1 4 01 1 4
2
1 12 4 0 2 2 8 00 4
3
2
2 2
r rr r
r r
r
k
k k
k
B A b k k k k k
k k k
k
k
↔+
− −
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = − + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜ ⎟− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
v
① k≠-1、4 R(A)=R(B)=3. 有唯一解。 3 2 1
2 ( 2) ( 2)
, 4 ,
1 1 1
k k k k k
x x x
k k k
− − +
= = + =
+ + +
② k=-1 R(A)=2 > >
+ + + + + +
1tan 2 n n
x U U
π
+∴ ↑ ∴ >在(0,)上 , ( ) 0nU∴ ↓
n
n
U
∞
=
∑ 收敛,从而条件收敛
8. 求收敛域:
1 2 1 1 2
1 1
( 1) ( 1)
2 1 2 1
n n n n
n n
x x
n n
− − −∞ ∞
= =
− −
− −
∑ ∑和 收敛域相同
, ,
1 2 1
2
1 1
( 1) ( 1)
2 1 2 1
n n n n
n n
x t
x t
n n
− −∞ ∞
= =
− −
=
− −
∑ ∑
1( 1)
2 1
n
n
a
n
−−
=
− 1
1
1
1
(2 )
n
n
n
n
a
n
n
→
−
n→∞
1
1 1 1 1
1, 1, , 0, ( )
12 1 2 1 2(2 )
t n n
n
R t U U n
n n n
n
n
∞
=
−
∴ = = − = > = →∞
− − −
∑
1
1
n
n
∞
=
∑Q 发散
∞ ∞
∴ ∑ ∑
n=1 n=1
1 -1正项级数 发散从而 发散
2n-1 2n-1
ⅰ)1,t
∞
= ∑
n-1
n=1
(-1) 由上可知绝对发散
2n-1
∞
∑
n-1
n=1
(-1) 为交错级数
2n-1
ⅱ) ⅲ)
1
lim 0
2 1x n→∞
=
− 1
1 1
2 1 2 1n n
U U
n n
+= > =− +
{ } 0
n
U∴ ↓
1
1
( 1)
2 1
n
eibniz
n
−∞ −
∴
−
∑
n=
由L 判别法, 收敛从而条件收敛
收敛域为 从而 收敛域为∴
1
1
( 1)
2 1
n n
n
t
n
−∞
=
−
−
∑ 1 1t− < ≤
2 1
1
( 1)
2 1
n n
n
x
n
−∞
=
−
−
∑ 21 1t x− < = ≤
求收敛域上的和函数:
1
2 1
1
( 1)
1 ( )
2 1
n
n
n
x S x x
n
−∞
−
=
−
≤ =
−
∑设 时,
WeWeWeWe supplysupplysupplysupply success!!!success!!!success!!!success!!! Tel:Tel:Tel:Tel: 55971195559711955597119555971195 55971197559711975597119755971197
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( )
( )
'1
12 1 2 21 1
2 1
n
n
n n
x x
n
−
−− −
⎛ ⎞−
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
1 2 2
2
1
1
( 1) , 1
1
n n
n
x x
x
∞
− −
=
− = <
+
∑
1
1 2 2 2 1
0
1 1
( 1)
1 ( 1) . arctan
2 1
n
x
n n n
n n
x dt t dt x x
n
−∞ ∞
− − −
= =
−
< = − ∴ =
−
∑ ∑∫ ∫
x
20
1时,
1+t
1
2 1
1
( 1)
1 . ( ) 1 1
2 1
n
n
n
x x S x x x
n
−∞
−
=
−
= ± ∴ = = −
−
∑ 在 收敛 在 左连续, 右连续.
,( ) ( )
1 0
1 1 0 lim arctan
4x
S S x
π
→ −
= − = =
1 0
( 1) ( 1 0) lim arctan
4x
S S x
π
→− +
− = − + = = −
1
2 1
1
( 1)
1 arctan
2 1
n
n
n
x x x
n
−∞
−
=
−
∴ ≤ =
−
∑时,
1
1
( 1) 3
( )
2 1 4
n
n
n
n
−∞
=
−
−
∑ 的和数 1x ≤
1
2
1
( 1)
arctan
2 1
n
n
n
x x x
n
−∞
=
−
=
−
∑
令
1
1
3 ( 1) 3 3 3
[ 1,1], arctan
2 2 1 4 2 2
n
n
n
x
n
−∞
=
− ⎛ ⎞= ∈ − =⎜ ⎟− ⎝ ⎠
∑
9. ,
( )31 sin 3 sin
3
y x x y x
dy
dx x
+ +
= 4
1 sin sin
3
dy x x x
y y
dx x x
+
− =
,3
4
1 1 sin sin
3
dy x x x
y
y dx x x
−+− =
3
31 1 sin sin
3 3
dy x x x
y
dx x x
−
−+− − =
3
31 sin 3sindy x x x
y
dx x x
−
−+ −+ =
1 sin 1 sin
ln cos cos
3
cos
cos cos
1 3sin 3sin
3
3
x x x x
dx dx
x x x
x x
x
x x
x x
e e dx c e xe dx c
y x x
e c
e c e
x x x
+ +
−
− + −
−
⎡ ⎤− −⎡ ⎤∫ ∫= + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + = − +⎣ ⎦
∫ ∫
10. 2
2
0
1
'( ) ( 1)
1
n n
n
f x x
x
∞
=
= = −
+
∑ 1x < (0) arctan1
4
f
π
= =
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2 1
0
1 f(0) '( ) ( 1)
4 2 1
n
x
n
n
x
x f t dt
n
π
+∞
=
< = + −
+
∑∫0时,f(x)= +
( 1) 1 1 1 1
1 lim 0, , 0
2 1 2 1 2 1 2 3 2 1
n
x
x
n n n n n
∞
→∞
± − ⎧ ⎫= ± = > ↓⎨ ⎬
+ + + + +⎩ ⎭
∑Q
n=0
时, 为交错级数.
2 1
( 1) 1
f(x) arctan 1 1
2 1 1
( 1)
1 1
2 1
n
n
n
x
x x
n x
x x
n
π
∞
∞
+
± − +
∴ = = − =
+ −
−
∴ ≤ < +
+
∑
∑
n=0
n=0
收敛. 又 在 右连续, 不连续
- 时f(x)=
4
11. 第一步:求 2 2
1 0
( , ) D 1, ,
1 0
x
y
f
f x y x y x y
f
= ≠⎧⎪
= + + < ⎨ = ≠⎪⎩
在 内部, 驻点 无驻点
第二步:求 2 2( , ) D : 1f x y x y x y= + ∂ + =在 下驻点
L= 2 2( 1)x y x yλ+ + + −
2 2
1 2 0
1 2 0 ,
1
x
y
L x
L y x y
x y
λ
λ
⎧ ⎫= + =
⎪ ⎪
= + =⎨ ⎬
⎪ ⎪
+ =⎩ ⎭
找 关系
1 1
0. 0, 2x
x y
λ λ≠ ≠ − = =
2 2 2 2 2
. , , ,
2 2 2 2 2
x y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = ± − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
驻点
2 2
,
2 2
x y= =
2 2
2, , , 2
2 2
f x y f= = − = − = −
连续函数 在有界闭区域上必有最大值和最小值( , )f x y x y= +
2 2
2 2
2 2
x y x y∴ = = = = −时有最大值 , 时有最小值-
12. 2 2 2 2 2 2: ( 0)z R x y y z R z= − − + + = ≥∑ 2即x 上侧
正向法向量2:
xy
y RxΓ + ≤2x ( , , )x y z∀ ∈∑ { }, ,x y z
单位法向量 { } { }1 , , cos ,cos ,cosn x y z
R
α β γ= =
v
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1
2 2 2 2 ( )I zdydz xdzdx ydxdy xz xy yz ds
R
= − − − = − + +
∑ ∑
∫∫ ∫∫
2
xzds
R
−
∑
∫∫对称性 2 2 2: z R x y= − −∑
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
1
xy
x y
R R
ds z z dxdy x R x y dxdy
R
R x y R x yΓ
= + + = = − − −
− − − −
∫∫
cos
32
0 0
4 cos
4
R
d r rdr R
π
θ
π
θ θ= − = −∫ ∫
13. 在 上求交点0y =
2
z x
x z
=⎧
⎨
=⎩
1
1
0
0
x
z
=⎧
⎨
=⎩
2
2
1
1
x
z
=⎧
⎨
=⎩
,
2
2 2
:
z x
z x y
⎧ =⎪
Γ ⎨
= +⎪⎩
2 2
x y x xoy+ = Γ是 关于 平面的投影柱面
2 2
0z
xoy
x y x
=⎧
Γ⎨
+ =⎩
是 在 平面上的投影曲面
2 2
2 2
cos 2 42 2
0 0
2
1
( ( ))
2
1 1
( cos ) cos
2 12 64
xy xy
x
x y
I dxdy zdz x x y dxdy
d r r rdr d
π π
θ
π
π
θ θ θ θ
+
Γ Γ
−
= = − +
= − = =
∫∫ ∫ ∫∫
∫ ∫ ∫