君子兰

1 / 6 常见的“概率分布表 + 分布图”汇总（内容源自书本，同时本人额外加了许多内容进去。此表可直接打印）整理人：算法君 说明，我们学过的各种概率分布公式较多且形式多样，各分布的数学期望及方差是常用的数据，为方便做题目，也方便记忆故作此表，并在此共享给大家希望给大家提供一定方便！ 类 分布 数学标记 参数 分布律或概率密度 数学期望 方差 离 散 型 单点分布（退化 分布） b0(𝑎, 1) a P(x = a) = 1 a 0 (0-1)分布（两点 分布或伯努利分 布） b(1, 𝑝) 0 < p < 1 P{𝑋 = 𝑘} = 𝑝𝑘(1 − 𝑝)1−𝑘 , 𝑘 = 0,1 p 1-p 二项分布 B(𝑛, 𝑝) 0 < p < 1 n ≥ 1 P{𝑋 = 𝑘} = 𝐶𝑛 𝑘𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘 K=0,1,2… np np(1-p) 负二项分布（帕 斯卡分布） B0(𝑟, 𝑝) 0 < p < 1 r ≥ 1 P{𝑋 = 𝑘} = 𝐶𝑘−1 𝑟−1𝑝𝑟(1 − 𝑝)𝑘−𝑟 K=r,r+1,… 𝑟 𝑝 𝑟(1 − 𝑝) 𝑝2 几何分布 G(𝑝) 0 < p < 1 P{𝑋 = 𝑘} = (1 − 𝑝)𝑘−1𝑝 K=1,2,… 1 𝑝 1 − 𝑝 𝑝2 超几何分布 H(𝑁,𝑀, 𝑛) N,M,n (M≤N,n≤ N) P{𝑋 = 𝑘} = 𝐶𝑀 𝑘𝐶𝑁−𝑀 𝑛−𝑘 𝐶𝑁 𝑘 k ∈ Z,max{0, 𝑛 − 𝑁 +𝑀} ≤ 𝑘 ≤ min {𝑛,𝑀} 𝑛𝑀 𝑁 𝑛𝑀 𝑁 (1 − 𝑀 𝑁 ) ( 𝑁 − 𝑛 𝑁 − 1 ) 泊松分布 π(𝜆) 𝜆 > 0 P{𝑋 = 𝑘} = 𝜆𝑘𝑒−𝜆 𝑘! K=0,1,2,… 𝜆 𝜆 连 续 型 均匀分布 U(a, b) a < b f(x) = { 1 𝑏 − 𝑎 , 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 0 , 其它 𝑎 + 𝑏 2 (𝑏 − 𝑎)2 12 正态分布（高斯 分布） N(μ, 𝜎2) μ σ > 0 f(x) = 1 √2𝜋𝜎 𝑒−(𝑥−𝜇) 2 (2𝜎2)⁄ μ 𝜎2 对数正态分布 若 X~N(μ,σ2) 且Y = eX则 Y 服从该分布 μ σ > 0 f(x) = { 1 √2𝜋𝜎𝑥 𝑒−(ln𝑥−𝜇) 2 (2𝜎2)⁄ , 𝑥 > 0 0 , 其它 eμ+ 𝜎2 2 e 2μ+𝜎2(𝑒𝜎 2 − 1) 逆高斯分布 N−1(μ, λ) λ, μ > 0 f(x) = { √ 𝜆 2𝜋𝑥3 𝑒−𝜆(𝑥−𝜇) 2 (2𝜇2𝑥)⁄ , 𝑥 > 0 0 , 其它 μ μ3 𝜆 Γ分布（伽玛分 布） Γ(𝛼, 𝛽) 𝛼, 𝛽 > 0 f(x) = { 1 𝛽𝛼Γ(𝛼) 𝑥𝛼−1𝑒−𝑥 𝛽⁄ , 𝑥 > 0 0 , 其它 𝛼𝛽 𝛼𝛽2 指数分布（负指 数分布） Γ(1, 𝜃) 𝜃 > 0 f(x) = { 1 𝜃 𝑒− 𝑥 𝜃 , 𝑥 > 0 0 , 其它 𝜃 𝜃2 注：指数分布是Γ分布的特殊情况 χ2分布 𝜒2(𝑛) 𝑛 ≥ 1 f(x) = { 1 2n 2⁄ Γ(𝑛 2⁄ ) 𝑥 𝑛 2 −1𝑒− 𝑥 2 , 𝑥 > 0 0 , 其它 n 2n 非中心χ2分布 𝜒2(𝑛, 𝜆) 𝑛 ≥ 1 𝜆 > 0 f(x) = { 𝑒 −( 𝑥+𝜆 2 ) 2𝑛 2⁄ ∑ 𝑥 𝑛 2 +𝑖−1𝜆𝑖 Γ ( 𝑛 2 + 𝑖) 22𝑖𝑖! ∞ 𝑖=0 , (𝑥 > 0) 0 , 其它 𝑛 + 𝜆 2(𝑛 + 2𝜆) 韦布尔分布 W(𝜂, 𝛽) 𝜂, 𝛽 > 0 f(x) = { 𝛽 𝜂 ( 𝑥 𝜂 )𝛽−1𝑒 −( 𝑥 𝜂 )𝛽 , 𝑥 > 0 0 , 其它 𝜂Γ( 1 𝛽 + 1) 𝜂2 {Γ ( 2 𝛽 + 1) − [Γ ( 1 𝛽 + 1)] 2 } 拉普拉斯分布 μ λ > 0 f(x) = 1 2𝜆 𝑒− |𝑥−𝜇| 𝜆 μ 2λ2 2 / 6 瑞利分布 𝜎 > 0 f(x) = { 𝑥 𝜎2 𝑒 − 𝑥2 (2𝜎2) , 𝑥 > 0 0 , 其它 √ 𝜋 2 𝜎 4 − 𝜋 2 𝜎2 帕雷托分布 P(r, a) r,a>0 f(x) = { 𝑟𝑎𝑟 1 𝑥𝑟+1 , (𝑥 ≥ 𝑎) 0 , (𝑥 < 𝑎) 𝑟𝑎 𝑟 − 1 (r>1) 𝑟𝑎2 (𝑟 − 1)2(𝑟 − 2) (r>2) 极值分布 E(𝛼, 𝛽) 𝛼 𝛽 > 0 f(x) = 1 𝛽 𝑒 𝑒 − 𝑥−𝛼 𝛽 − 𝑥−𝛼 𝛽 𝛼 + 𝛾𝛽 (𝛾是欧拉常数) 𝜋2𝛽2 6 注：若 X 服从韦布尔分布W(𝜆, 𝜇)，则𝑌 = −𝛽 ln𝑋𝜇𝜆 + α服从E(𝛼, 𝛽)分布。 逻辑斯蒂分布 α β > 0 f(x) = 𝑒 − 𝑥−𝛼 𝛽 𝛽 (1 + 𝑒 − 𝑥−𝛼 𝛽 ) 2 α 𝜋2𝛽2 3 β分布 β(𝛼, 𝛽) 𝛼, 𝛽 > 0 f(x) = { Γ(𝛼 + 𝛽) Γ(𝛼)Γ(𝛽) 𝑥𝛼−1(1 − 𝑥)𝛽−1 , 0 < 𝑥 < 1 0 , 其它 𝛼 𝛼 + 𝛽 𝛼𝛽 (𝛼 + 𝛽)2(𝛼 + 𝛽 + 1) 柯西分布 C(𝜆, 𝜇) α λ > 0 f(x) = 1 𝜋 1 𝜆2 + (𝑥 − 𝛼)2 不存在 不存在 t 分布（学生氏 分布） 𝑡(𝑛) n ≥ 1 f(x) = Γ ( 𝑛 + 1 2 ) √𝑛𝜋Γ ( 𝑛 2 ) (1 + 𝑥2 𝑛 )−(𝑛+1)/2 0，n>1 𝑛 𝑛 − 2 , 𝑛 > 2 非中心 t 分布 𝑡(𝑛, 𝛿) 𝛿 𝑛 ≥ 1 f(x) = 𝑛𝑛 2⁄ 𝑒− 𝛿2 2 √𝜋Γ ( 𝑛 2 ) (𝑛 + 𝑥2) 𝑛+1 2 ∑Γ( 𝑛 + 𝑖 − 1 2 ) ( 𝛿 𝑖 𝑖! ) ∞ 𝑖=0 ( 2𝑥2 2 + 𝑥2 ) 𝑛 2⁄ 𝛿Γ ( 𝑛 − 1 2 ) Γ ( 𝑛 2 ) √ 𝑛 2 (n>1) 𝑛(1 + 𝛿2) 𝑛 − 2 − 𝑛𝛿2 2 ( Γ ( 𝑛 − 1 2 ) Γ ( 𝑛 2 ) ) 2 (n>2) F 分布 𝐹(𝑛1, 𝑛2) 𝑛1 , 𝑛2 f(x) = { Γ [ 𝑛1 + 𝑛2 2 ] Γ ( 𝑛1 2 )Γ ( 𝑛2 2 ) ( 𝑛1 𝑛2 )( 𝑛1 𝑛2 𝑥) 𝑛1 2 −1 (1 + 𝑛1 𝑛2 𝑥) − 𝑛1+𝑛2 2 , 𝑥 > 0 0 , 其它 𝑛2 𝑛2 − 2 , 𝑛2 > 2 2𝑛2 2(𝑛1+𝑛2−2) 𝑛1(𝑛2−2) 2(𝑛2−4) , 𝑛2 > 2 非中心 F 分布 𝐹(𝑚, 𝑛; 𝜆) m,n 为二自 由度 𝜆 f(x) = { 𝑚𝑚 2⁄ 𝑛𝑛 2⁄ Γ ( 𝑛 2 ) 𝑒− 𝜆 2 𝑥 𝑚 2−1 ∑ ( 𝜆𝑚𝑥 2 ) 𝑘 Γ ( 𝑚 + 𝑛 2 + 𝑘) Γ ( 𝑚 2 + 𝑘)𝑘! (𝑚𝑥 + 𝑛) 𝑚+𝑛 2 +𝑘 ∞ 𝑘=0 , (𝑥 > 0) 0 , 其它 𝑛(𝑚 + 𝜆) 𝑚(𝑛 − 2) (n>2) 2𝑛2 𝑚2(𝑛 − 2)2(𝑛 − 4) [(𝑚 + 𝜆)2 + (𝑛 − 2)(𝑚 + 2𝜆)] (n>4) 3 / 6 4 / 6 5 / 6 6 / 6