扭量理论

彭罗斯扭量理论简介系列之一 ——四元数：用光线代替时空点 张 华 （北京师范大学 物理系 ，北京 100875） 摘要 基于广义相对论的量子引力比较著名的有圈量子引力和扭量理论两种，后者是著名 广义相对论专家彭罗斯发展出来的基于复数和共形变换理论。本文介绍其核心的思想：时空 点不再是基本的，而光线代替时空点成为最基本的物理对象，其基本技巧就是利用四元数或 者说泡利矩阵。 关键词 四元数 泡利矩阵 扭量 光线 广义相对论是一副绝世名画,当很多人欣赏这个画的时候,有的人看不太懂。以为这个是 凡高的画，你横直看不懂的时候，除了赞美之外只能保持缄默不语。而相对论的历史发展却 不能停止，当代还活着的广义相对论画家中，彭罗斯（R.Penrose）却一意孤行，有了很高 的见地。从他的旋量手法出发，他几乎一个人做出了扭量（twistor），这是一个曲高和寡的 。在扭量计划中，一直以来物理学家习惯的时空点不再是最基本的，光线取代了时空点 的地位。这似乎确实是疯狂了，凡高因为他的疯狂割掉了自己的耳朵，最后还饮弹自戕。这 是一种艺术的疯狂，而彭罗斯浑身充满了科学的理性的色彩，他生活在优美的世界里，有美 丽的妻子，安静的日子。 会画画的人多数知道射影几何。当一个画家站在野外写生的时候，画板竖立在面前，画 家看到一对平行的铁路线，当在画在纸上的时候，所有跟铁路一起平行的线应该在纸上交于 一个点的。 光线是世界上最重要的因素。 人的眼睛是很重要的，这是审美的工具，也是这个世界有意义的大部分理由。一条光 线从远处跑来，它一路经过了很多时空点，但在视网膜上仅仅是同一点。 在扭量计划中，通俗地讲，视网膜相当于扭量空间。所以，眼睛是心灵的窗户，这句话 背后完全有数学的基础。人类通过讲废话达到相互确认，但心灵上总是感觉空虚，这原因在 于，多数废话背后没有数学的基础。 什么是一个扭量呢？ 最简单的说，在闵氏时空有一个点 R，也称为一个事件（event），当选择好一个参考点 作为原点后，需要（t，x，y，z）四个实数来刻画。而这个点的四个实数相对于选定的闵氏 时空原点,构成了一个四维矢量。这个四矢量背后，有一个美丽的故事。对于三维矢量，矢 量之间可以定义叉乘，矢量 A和矢量 B的叉乘的几何意义是以矢量 A和矢量 B为邻边的平 行四边形的有向面积，方向与 A和 B都垂直。这不是一件平庸的事情。也仅仅在三维中， 一个矢量和另外一个矢量的叉乘，得到的还是一个三维矢量。威廉.哈密顿,历史上最伟大的 数学家之一。他 1805年 8月 3日出生于爱尔兰的都柏林，1865年 9月 2日卒于都柏林附近 的敦辛克天文台。哈密顿是一位罕见的语言奇才。14岁时就学会了 12种欧洲语言。13岁就 开始钻研牛顿和拉普拉斯等人的经典著作。17 岁时掌握了微积分，并在光学中有所发现。 ———————— 基金项目：国家自然科学基金资助项目（10373003） 22 岁时大学还未毕业就被聘任为他就读的都柏林三一学院的教授，同时获得“爱尔兰 皇家天文学家”的称号。哈密顿在物理学和数学领域里都有杰出的成就，他是一位勤奋工作 爱真理的人。他和妻子在一起散步的桥头，已经有一个纪念碑。 四元数是由哈密顿在 1843 年爱尔兰发现的。爱尔兰有一个很多人熟悉的英雄，威廉. 华莱士。在电影《勇敢的心》中，有一柄长剑，叮地插在大地之上，长剑在风中微颤，你仿 佛听见爱尔兰的英雄在高呼：Freedom！！ 在通往数学的自由或者奴役的道路之上，哈密顿的四元数是一个丰碑。从物理学上讲， 它就是非相对论性自旋的泡利（pauli）矩阵，有了泡利矩阵，就有了 2分量旋量。所以天才 总是相互感应，而有了泡利矩阵，才有了扭量，这亦是自然的事情。 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 10 01 0σ ， ， ， ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 01 10 1σ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 0 0 2 i iσ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 10 01 3σ 当时哈密顿正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）。他不能做到三维 空间的例子，但在四维则造出四元数。根据哈密顿记述，他是于 10月 16日跟他的妻子在都 柏林的皇家运河散步,突然灵感扑面而来,他在桥上写下四元数的基之间的乘法表: 1222 −=== kji ，i·j＝k，k·i＝j，j·k＝i；j·i＝-k；i·k＝-j，k·j＝-i。 如果用根号负一乘上后三个泡利矩阵，它们正好可以做为四元数的基。这是一个普通的 桥,它以前的名字叫布鲁穆桥（Brougham Bridge，现称为金雀花桥 Broom Bridge）。 哈密顿创造了把四元数描绘成一个有序的四重实数：一个标量（a）和向量（bi + cj + dk） 的组合。 根据上述乘法表，四元数显然是复数的扩充，它将复数作为特殊形式包含在自身之中， 它属于超复数。但这种数对乘法的交换律不再成立，哈密顿为此考虑了十几年，最后直觉地 想到：必须牺牲交换律，于是第一个非交换律的代数诞生了，在以前的乘法中,乘法是交换 的,比如从数学开始,没有人告诉你为什么 1×2=2×1,但这背后其实埋藏无穷秘密。哈密 顿的这个创造，把代数学从传统的实数算术的束缚中解放出来，人们开始认识到数学既可来 自现实世界的直接抽象也可以来自人类的思维的自由创造，这种思想引起了代数学领域的一 次质的飞跃，现代抽象代数的闸门被打开了。 我们知道，so（n）群中，只有 so（4）不是单李群。也只有在 4 维之上，霍奇(Hodge) 算子能把曲率映为曲率，并且是共形不变的。也只有在 4维欧空间之上，唐纳森发现了无穷 多微分结构。圈量子引力被人诟病，因为她不能回答为什么时空是 4维的，但上帝用数学来 回答。 在 19世纪到 20世纪，哈密顿之后，物理学家洛仑次写了 300多页的《电子论》，虽然 当时还没有发现电子。这是历史上一个伟大的事情，虽然洛仑次不是最出色的，但人们应该 注意到，在洛仑次力公式 )( BvEqF rrrr ×+= 出现了叉乘。 我们还知道在万有引力中行星运动的角动量正是行星的位移3矢量叉乘上动量3矢量。 但一开始人们不知道如何把这种叉乘推到高维。能不能做到呢？格拉斯曼（Grasmann 1809-1877）完成了这种推广，他生于德国 Stettin（今属波兰），曾经在柏林大学攻读神学， 哥廷根大学没落之后,柏林大学已经成为德国最出色的大学。格拉斯曼大学毕业后长期在家 乡中学任教，业余从事科学研究，成为梵文权威和数学家。1844年他了发表《线性扩张论》。 建立了所谓的“扩张的量”（即有 n个分量的超复数）的概念和运算法则，其中包括了非交 换乘法和 n维空间的重要思想，形成了张量理论的初步思想。格拉斯曼代数又叫外代数，超 对称代数就是由庞加莱代数与外代数组成的。 柯里福德（clifford）代数已经是当代数学家讲旋量必须的出发点之一，数学家不讲这个 而谈旋量显得有点脱离潮流。n维矢量空间上的外代数和 n维矢量空间（含内积）上面的柯 里福德代数具有相同维数，全部是 维。这样的话，作为有限维的矢量空间，它们是同构 的。但作为代数，柯里福德代数比外代数复杂一点，或者说，前者是后者的量子化或者畸变。 n2 有了四元数，人们希望推广到更加高的维数，但一般的代数，到了 8元数就终结了，要 找新的代数，只能去发现柯里福德代数了。旋量最早起源于嘉当。旋量与群论关系密切，但 也可以说与柯里福德代数关系密切。物理学家比如咯兴林的《高等量子力学》把狄拉克矩阵 乘起来的 16个矩阵叫做狄拉克群，其实这就是一个柯里福德代数。直观地说，柯里福德代 数对应于四分量旋量，而泡利矩阵对应二分量旋量。 彭罗斯的扭量理论如何在时空点和光线空间实现对应呢？ 对应的关键在于把 4个泡利矩阵写出来，然后把四矢量（t，x，y，z）的第 i个分量和第 i个泡利矩阵相乘，求和得到一个四乘四的矩阵 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −− ++ ztiyx iyxzt =t 0σ +x 1σ +y 2σ +z 3σ 那么，一个扭量的四个复数（ ）满足如下关联（incidence）方程。 3210 ,,, zzzz ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −− ++=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 3 2 1 0 z z ztiyx iyxzt z z 这个关联方程里 全是复数，所以一个扭量就是四个复数，所以扭量空间就 是 ，但考虑到等价类，射影扭量空间是 CP ，这与单个电子自旋态对应一个黎曼球面是 类似的。关联方程顾名思义是把闵氏时空和光线空间（扭量空间）关联了起来，一个时空点 对应成为一个扭量，一个时空点在 CP 中被对应为一个黎曼球面。和爱因斯坦方程一样， 扭量方程也是一副名画。扭量理论中最重要的是光线，光线最重要。对关联方程求导一次， 就可以得到扭量方程。 3210 ,,, zzzz 4C 3 3 在广义相对论中，光线是以光速运动的无质量粒子的世界线。而在扭量理论中，还可以 考虑这个无质量粒子的自旋。对于多数人来说，光线意味着光明。对广义相对论来说，光明 意味着光线，也意味着扭量。这个理论体现出来的非凡美感使得彭罗斯一生都不能停下发展 它的脚步。 ---------------------------------------------------------------------节选自《相对论通俗演义》 参考文献 （1） R.Penrose & W.Rindler [M] Spinors And Spacetime ，Cambridge press，1986 （2） Ward R S & Wells R O [M]Twistor Geometry And Field Theory (Cup, 1990) Quaternion : light ray replaces spacetime point Abstract：Loop quantum gravity and twistor theory are the most well-known approaches to Quantum Gravity. Both of them treat General Relativity as the basis for the ultimate unification theory . Twistor theory which mainly take complex number and conformal transformation seriously was advocated by Sir R.Penrose all his life time . This paper is designed to give an introduction on twistor theory ,focusing on the incidence relation .This incidence relation helps to grasp the sprite of twistor theory : rather the spacetime point is most fundamental , the light ray takes its place . Keywords quaternion , pauli matrix , twistor ，light ray