函数对称性与周期性的几个性质
上海中学数学·2008年第4期
函数对称性与周期性的几个性质
343000江西省吉安师范学校杨文光
设厂(z)是定义在R上的函数,口、6、m为常
数.
性质1 满足fCx+n)=f(b—z)的函数
y一厂(z)的图象关于直线z一下a+b对称.
证明:设P(x+n,/’(z+丑))为函数Y一
厂(z)的图象上的任意一点,它关于直线z—
a下+b的对称点为P7(6一z,厂(z+n)).因为厂(z
+口)一f(b—z),所以点P7也在函数y一厂(z)
的图象上.由P的任意性知:函数Y一厂(z)的图
象关于直线z...
上海中学数学·2008年第4期
函数对称性与周期性的几个性质
343000江西省吉安师范学校杨文光
设厂(z)是定义在R上的函数,口、6、m为常
数.
性质1 满足fCx+n)=f(b—z)的函数
y一厂(z)的图象关于直线z一下a+b对称.
证明:设P(x+n,/’(z+丑))为函数Y一
厂(z)的图象上的任意一点,它关于直线z—
a下+b的对称点为P7(6一z,厂(z+n)).因为厂(z
+口)一f(b—z),所以点P7也在函数y一厂(z)
的图象上.由P的任意性知:函数Y一厂(z)的图
象关于直线z=a下+b对称.
将f(x+口)一f(b—z)中的z+口以z代
换,得,(z)一尢(n+6)一z],即
八z+口)一八b--x)C:Vf(x)一尢(n+6)一司.
特别地,当口+b=0时,即:偶函数的图象
关于Y轴对称.
性质2 满足f(x+口)⋯f(bz)的函
数Y一,(z)的图象关于点(下a+b,o)对称.(证
明类似于性质1)f(x+口)⋯f(bz)骨,(z)一一尢(口+
6)一z]
特别地,当口+b=0时,即:奇函数的图象
关于原点对称.
推广 满足f(x+口)+,(6一z)一m的函
数Y一,(z)的图象关于点(生笋,罟)对称.
f(x+n)+f(b—z)=m错,(z)+尢(口+
6)一z]一m.
性质3 满足f(x+n)=f(z+6)(口≠6)
的函数Y一,(z)是周期函数,且口一b是其一个
周期.
证明:因为Ⅱz+(口一6)]=尢(z一6)+
口]一尢(z一6)+6]一,(z),所以厂(z)是以口
一b为周期的周期函数.
f(x+口)=f(x+6)骨fix+(n一6)]一
八z).
性质4 满足f(x+n)一一f(x+6)(口≠
6)的函数Y=,(z)足周期函数,且2(a一6)是
其一个周期.(证明仿性质3)
将f(x+口)=一f(x+6)中的z以z十口一
26代换,得Ⅱz+2(a一6)]一,(z),即,(z+口)
一一厂(z+6)㈢fEz+2(a--6)]一,(z)(n≠6).
例1 函数Y=厂(z)在(0,2)上是增函数,
y=f(x+2)是偶函数,则正确的大小关系是
( ).
A.刚)<,(导)</’(吾)
B.,(÷)<厂(号)<八1)
c.厂(÷)<刖)<,(导)
D.厂(导)<舯)<厂(÷).
解 因为f(x+2)是偶函数,所以f(x+
2)=f(2一z),由性质l,知函数,(z)的图象关
于直线z=2对称,又厂(z)在(o,2)上是增函
数,易知,(吾)一厂(÷)<,(·)‘<,(导)一
厂(导).故选c.
例2 函数,(z)的定义域为z∈R,且z≠
1,已知、f(x+1)为奇函数,当z<1时,厂(z)=
222一z一1,那么,当z>1时,,(z)的递减区间
是( ).
A.睁+o。) B.(·,}]
c.睁+o。) D.(,,÷]
解 因为f(x+1)为奇函数,所以f(x+
1)一一厂(1一z),由性质2,知函数厂(z)的图象
关于点(1,o)对称,结合图象可知选C.
例3 已知定义在R上的奇函数,(z)满足
f(x+2)一f(x一2),且f(3)一0,求证方程
,(z)一0在区问(O,10)内的实根至少有7个.
万方数据
上海中学数学·2008年第4期
证明:由性质3,知4是,(z)的一个周期,
所以,(3)一,(7)一0,又,(z)是奇函数,所以
,(O)=0=厂(4)=,(8),一,(3)一,(一3)=
,(1)一,(5)=,(9)=0,故l,3,4,5,7,8,9是
根,但不排除还有其它根的可能,即方程,(z)
一0在(O,10)内至少有7个实根.
例4 设定义域为R的函数Y=,(z)的图
象有丽条对称轴z—a,z—b(a≠6),求证:
,(z)是周期函数.
证明:由性质1,知,(z)=f(2a--x),厂(z)
=,(26一z),所以,(2口一z)一,(26一z).由性
质3,知,(z)是周期函数,且2(a一6)是其一个
周期.
注 若定义域为R的函数Y一,(z)的图
象有两条对称轴z=a,z=b(a≠6),则此函数
的图象有无数条对称轴,它们分别是z—a+
2k(a一6)或z—b十2k(a一6),七∈z.
特别地,当b=0时,即:
~ 性质5 若偶函数八z)的图象关于直线z
—a(a≠O)对称,则,(z)是以2n为周期的函数,
且图象有无数条对称轴,它们是z=勉,忌∈z.
例5 设有函数3,一,(z),z∈R,证明:若
函数,(z)的图象关于直线z=口及点(6,c)(6
≠口)对称,则此函数是周期函数.
证明:由性质1及性质2的推广,知.厂(z)=
f(2a—z)①,,(z)+厂(26一z)=2c②,把①代
入②,得f(2a—z)=2c一,(2b—z),z以z+
(上接第42页)
所成的角.
鹪:由(I)知A1Ej-面BEP,BE_LEF.建
立如图3所示的空间直角坐标系E_一划z.
则E(O,0,0)、A1(0,0,1)、B(2,0,O)、F(0,
√手,o)、P(1,,/g,o),
...布一(2,0,一1),茚=(一1,厢,o),
...对平面AlBP内的任一非零向蕞:,存在
不全为零的实数A、卢,威一A万商十产茚一(2A
一卢,而,一A),窟一(o,o,一1),.·.cos<万磕,左>一彘:————————————二i二—————一循万=嘶W
26—2口代换,得尢2口一(z+26—2n)]=2c一
尢26一(z+26—2口)]一2c—f(2a—z)一f(2b
—z),即尢(4a一2b)一z]一f(z6一z),由性质
3,知,(z)是周期函数,且4(a一6)是其一个周
期.
注 若定义域为R的函数Y一,(z)的图
象关于直线z=a及点(6,c)(6≠口)对称,则此
函数的图象有无数条对称轴,它们是z—a+
4k(a一6),足∈z;有无数个对称点,它们是(6+
4k(a——6),f),是∈Z.
特别地,当b—c=0时,即:
性质6 若奇函数,(z)的图象关于直线z
=a(a≠O)对称,则-厂(z)是以4口为周期的函
数,且图象有无数条对称轴,它们是z一(4k+
1)口,志∈z;有无数个对称点,它们是(4勉,o),忌
∈Z
例6(93年江苏省高中数学竞赛)
对任意整数z,厂(z)=f(x一1)+f(x+
1),且,(O)=9,厂(4)一93,则,(59)=
解 由厂(z)一,(z一1)+f(x+1)①,得
f(x+1)一,(z)+,(z+2)②,①+②,得f(x+2)⋯f(x1),由性质4,知6是,(z)的一
个周期,所以
,(59)一,(一1+6X10)=,(一1)一厂(一
2)+厂(0)一厂(4)+厂(O)产102.
。..直线A1E与平NAlBP所成的角是万彦
与面A1BP内非零向量夹角中最小者,.’.可设.=I
>0,从而<稿>=_:===兰====
√s一4等+4(等)‘
1 ,一1页丽≮百’
...石查耵夹角中最小值为60。,^直线
A1E与平面A1BP所成的角是60。.
以上方法各有利弊,我们要善于根据题目
的条件,灵活选择求线面角的方法.
万方数据
函数对称性与周期性的几个性质
作者: 杨文光
作者单位: 江西省吉安师范学校,343000
刊名: 上海中学数学
英文刊名: SCHOOL MATHEMATICS IN SHANGHAI
年,卷(期): 2008,(4)
引用次数: 0次
本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_shzxsx200804021.aspx
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