函数y=ax+bx

函数y=ax+b/x（a≠0,b≠0）的图象，性质与运用 一、【知识梳理】 1、函数f(x)=ax+b/x（a,b≠0）的四种图象的性质 2、均值不等式的等号成立条件 二、【主要方法】 1、f(x)=ax+b/x（a,b≠0）的四种图象 当a>0,b>0时，定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，值域为(-∞,-2√b/a]∪[2√b/a,+∞)，函数有4个单调区间，在(-∞,-√b/a]和[√b/a,+∞)上分别递增，在[-√b/a,0)和(0,√b/a]上分别递减 当a>0,b<0时，定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，值域为R，函数有2个单调区间，在(-∞,0)和(0,+∞)上分别递增 当a<0,b<0时，定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，值域为(-∞,-2√b/a)∪[2√b/a,+∞]，函数有4个单调区间，在(-∞,-√b/a)和[√b/a,+∞]上分别递减，在[-√b/a,0]和(0,√b/a)上分别递增 当a<0,b>0时，定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，值域为R，函数有2个单调区间，在(-∞,0)和(0,+∞)上分别递减 三、【本卷难点的典型例】 例1：求下列函数的值域 （1）f(x)=(x^2+3x+3)/(x^2+x+1),x∈[-1,1] （2）f(x)=(x^2+x-1)/(x^2-1) （3）f(x)=sinx-1+2/(sinx-1) （4）f(x)=(x^2-5x+12)/(x-2),x∈[4,8] 分析：4道题都是关于y=ax+b/x的值域问题，前两题利用拆项构造，第三题则隐含了新参数的范围，第4题明确指出x的范围，都要注意不要忽视了细节 解：（1）拆项得f(x)=1+2(x+1)/[(x+1)^2-(x+1)+1]，此时同除要注意x+1是否为0的问题 若x+1=0，即x=-1，那么f(x)=1 若x+1≠0，f(x)=1+2/[(x+1)+1/(x+1)-1]，设t=x+1，t在(0,2)之间 那么f(t)=1+2/(t+1/t-1)分母范围是[1,+∞]，倒数后为(0,1)，乘上分子2为(0,2)，加上前面的1为(1,3) 然后两种情况取并集，最后是[1,3] （2）拆项得f(x)=1+x/(x^2-1)，同样讨论x 当x=0时，f(x)=1 当x≠0时，f(x)=1+1/(x-1/x)，由于x-1/x在分母上，其值域为(-∞,0)∪(0,+∞) ，倒数以后也是(-∞,0)∪(0,+∞)，加上1以后是(-∞,1)∪(1,+∞) 两种情况取并集，最后答案是R （3）换元令sinx-1=t，因为分母不为0，所以这里t的范围是[-2,0]，可以画图解决了，t+2/t<=-2√2，等号成立条件是t=-√2 所以本题答案就是(-∞,-2√2) （4）因为x-2不为0,所以令x-2=t∈[2,6] f(t)=t+6/t-1，当t=√6时，取到最小值2√6-1 当t=6时，取到最大值6 所以本题答案就是[2√6-1,6] 例2：设函数g(x)=√(x)+1，函数h(x)=1/(x+3)，x∈(-3,a)，其中a为正常数，令f(x)为g(x)和h(x)的积函数 （1）求f(x)的解析式和定义域 （2）当a=1/4时，求函数f(x)的值域 （3）是否存在自然数a，使f(x)的值域为[1/3,1/2]？若存在，试写出所有满足条件的a的集合；若不存在，说明理由 分析：（1）考察积函数的定义域问题，（2）考察耐克函数的值域，（3）则考察均值不等式以及耐克函数的值域综合 解：（1）因为g(x)的定义域为[0,+∞]，h(x)的定义域为(-3,a)，交集后得f(x)定义域为[0,a] 所以f(x)=[√(x)+1]/(x+3)，x∈[0,a] （2）当a=1/4时，令√(x)+1=t，t∈[1,3/2] 那么f(t)=t/[(t-1)^2+3]=1/(t+4/t-2) 因为分母中的耐克函数取不到最低点，所以分母的范围是[13/6,3]，取倒数后得到本题答案[1/3,6/13] （3）继续运用上一题的t，其中t∈[1,1+√a] 若函数值域为[1/3,1/2]，则分母的范围是[2,3]，那么t+4/t的范围就是[4,5] 可以知道，当t=2时，t+4/t=4 当t=1或t=4时，t+4/t=5，那么显然1+√a的范围就是[2，4]，解得a在[1,9]内 所以本题答案是{a|1≤a≤9，a∈N}