向量值函数的积分学

nullnull 第十章 向量值函数的积分学 10.1 第二型曲线积分 10.2 第二型曲面积分 10.1 第二型（对坐标）曲线积分10.1 第二型（对坐标）曲线积分常力所作的功 一. 定 义分割 变力沿曲线作功问题null近似代替：求和：取极限：近似值精确值null定义null也可以用向量形式示：null注意：第二型(对坐标)曲线积分与曲线的方向有关.null定理1略null特别地，null更一般地，二. 两类曲线积分之间的联系二. 两类曲线积分之间的联系nullnull解null(1)解null问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.null解nullnull问题：被积函数相同,起点和终点也相同,但路径不同而积分结果相同.三. 格林公式、曲线积分与路径无关的条件三. 格林公式、曲线积分与路径无关的条件单连通区域复连通区域null定理 2 [格林（Green，1793-1841，英国）公式]null证明：（ⅰ）null同理可证两式相加得null(ⅱ)null(ⅲ)由(ⅱ)知证毕Green公式的简单应用Green公式的简单应用1. 简化第二型曲线积分的计算（常用）nullnullnull解null解nullnull解nullnull2. 计算平面图形的面积格林公式:null解null解注意：曲线积分的被积 函 数定义在积分曲线上！nullnull定理 3 （曲线积分与路径无关的条件）nullnullnullnullnull证毕nullnull定理 4 证明略问题：nullnullnullnull解null解nullnull解null 四. 全微分方程全微分方程，或者恰当微分方程.全微分方程的解法： 四. 全微分方程nullnullnull解例1故原方程的通解为nullnull解故原方程的通解为null解故原方程的通解为nullnullnull解故原方程的通解为10.2 第二型（对坐标）曲面积分10.2 第二型（对坐标）曲面积分曲面的方向（侧）null上侧下侧内侧外侧麦比乌斯带：典型单侧曲面 .null麦比乌斯带典型单侧曲面:null典型单侧曲面:麦比乌斯带null典型单侧曲面:麦比乌斯带null典型单侧曲面:麦比乌斯带null典型单侧曲面:麦比乌斯带null典型单侧曲面:麦比乌斯带null典型单侧曲面:麦比乌斯带null典型单侧曲面:麦比乌斯带null典型单侧曲面:麦比乌斯带返回null实例: 流向曲面一侧的流量.nullnull1. 分割T:则该点流速为 ，法向量为 .2. 近似代替nullnull4.取极限3. 求和null定义若极限存在.null对坐标的曲面积分nullnull对坐标的曲面积分与曲面的侧有关！ (1) 第二型曲面积分的物理意义:流体的流量null且有null第二型曲面积分也是把它化为二重积分来计算 .定理1 “一投,二代,三定号”nullnullnull注意:(1)对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.(2) 若投影区域的面积是零，则积分值是零.nullnull解nullnull解nullnullnullnull合 一 投 影 法:nullnull用合一投影法nullnull解合一投影法 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式与斯托克斯公式公式(1),(2)称为高斯(Gauss,1777-1855,德国)公式.nullGauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.要证明公式（1）：null类似可证：null同理有其他二式成立，相加即得公式.nullGauss公式的简单应用Gauss公式的简单应用简化第二型曲面积分的计算（常用）nullnullnull解nullnullnull解由高斯公式null解nullnullnullnull用合一投影法null由高斯公式nullnull由高斯公式nullnullnullnullnullnullnull证明略nullStokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式格林公式nullnull解按斯托克斯公式 , 有合一投影法null解null合一投影法null即： 平面曲线积分与路径无关的 条件，不难推广到三维空间上来 .null习题课习题课null根椐格林公式 ，null由高斯公式nullnullnullnullnullnull由stokes公式 , null由stokes公式 , null 场论初步 场论初步1. 梯度场null2. 散度场null定义:null散度在直角坐标系下的形式积分中值定理,两边取极限,null高斯公式可写成解nullGauss公式的 最初形式null解由对 称性，null3. 旋度场环流量的定义:null利用stokes公式, 有旋度的定义: