10-063．典型问题推荐：数列单调有界性的证明

10-063．典型问题推荐：数列单调有界性的 山路水桥 http://blog.sina.com.cn/slsq 下面的题与上次的题一样，是为准备参加今年即将进行的全国数学竞赛的学生提供的模拟试题。觉得也可供考研学生复习参考，所以在这里也向考研朋友推荐一下，这是一个关于利用数列单调有界性来证明数列收敛的问题。 【问题】若(1)对于任意实数 ，函数 总满足 ；（2）存在实数 ，使 ， ；(2)当 时， 。试证明数列 收敛，其极限就是方程 的根。 【】本问题要用到两个概念①闭区间上连续函数的性质，所以先要证明其连续性；②证明数列收敛性，由于数列是没有解析式的抽象形式，所以一般只能从“证明其具有单调有界性”入手。 【证明】对于任意实数 ，若为 ，由题意条件可得 ，根据 ，由【夹逼准则】可得 ，这就证明了，函数 在整个实数轴上连续。 作辅助函数 ，则函数 在闭区间 上连续，且根据题意有 。 由闭区间上连续函数性质可知，方程 即 在开区间 内必有实数根 。即 ， 。 为了证明的方便，当 时，将 改写为 ，即 ，这样就得到了下面需要用到的条件 。 接下去用数学归纳法证明数列 单增： 【1．初始验证】 ，即 ； 【2．通式假定】若 ，即 ； 【3．渐进递推】 。 这就证明了 ，即对一切 有 ，数列 确实是单调增加数列。 接下去再用数学归纳法证明数列 有上界 ： 【1．初始验证】 ； 【2．通式假定】若 ； 【3．渐进递推】 。 这就证明了 ，即对一切 有 ，数列 确实有上界 。 因为数列 单增且有上界，所以数列 必收敛，设其极限为 ，即 ，则 ，因为函数 在整个实数轴上连续，所以 。 由 ，可得 ，所以 ，即数列 极限为 就是方程 的根。 _1317455253.unknown _1317466716.unknown _1317467516.unknown _1317467635.unknown _1317467704.unknown _1317467751.unknown _1317467778.unknown _1317467673.unknown _1317467559.unknown _1317466924.unknown _1317467205.unknown _1317467345.unknown _1317467194.unknown _1317466843.unknown _1317460205.unknown _1317460424.unknown _1317466018.unknown _1317466120.unknown _1317466167.unknown _1317466205.unknown _1317466078.unknown _1317465893.unknown _1317465970.unknown _1317465836.unknown _1317460222.unknown _1317460274.unknown _1317459448.unknown _1317460041.unknown _1317459637.unknown _1317459132.unknown _1317459204.unknown _1317459100.unknown _1317454891.unknown _1317455019.unknown _1317455138.unknown _1317455235.unknown _1317455065.unknown _1317454930.unknown _1317454966.unknown _1317454919.unknown _1317449964.unknown _1317452581.unknown _1317452938.unknown _1317453546.unknown _1317453667.unknown _1317452641.unknown _1317452510.unknown _1317450153.unknown _1317450291.unknown _1317449736.unknown _1317449763.unknown _1317449707.unknown