递推式确定通项公式

对于由递推式所确定的数列通项公式问，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列，也可以通过构造把问题转化。下面分类说明。 一、 例1. 在数列{an}中，已知，求通项公式。 解：已知递推式化为，即， 所以。 将以上个式子相加，得 ， 所以。 二、型 例2. 求数列的通项公式。 解：当， 即 当， 所以。 三、型 例3. 在数列中，，求。 解法1：设，对比，得。于是，得，以3为公比的等比数列。 所以有。 解法2：又已知递推式，得 上述两式相减，得 INCLUDEPICTURE "mhtml:file://C:\\桌面\\如何转化递推公式为通项公式.mht!http://www.fjctyz.net/article/news/UploadPic/2006-11/2006116224651795.gif" \* MERGEFORMATINET ，因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列。 所以，所以。 四、型 例4. 设数列，求通项公式。 解：设，则，， 所以， 即。 设 这时，所以。 由于{bn}是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。 由此得：。 说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。 五、型 例5. 已知b≠0，b≠±1， INCLUDEPICTURE "mhtml:file://C:\\桌面\\如何转化递推公式为通项公式.mht!http://www.fjctyz.net/article/news/UploadPic/2006-11/2006116224658127.gif" \* MERGEFORMATINET ，写出用n和b表示 的通项公式。 解：将已知递推式两边乘以，得 INCLUDEPICTURE "mhtml:file://C:\\桌面\\如何转化递推公式为通项公式.mht!http://www.fjctyz.net/article/news/UploadPic/2006-11/200611622470263.gif" \* MERGEFORMATINET ，又设，于是，原递推式化为，仿类型三，可解得，故。 说明：对于递推式，可两边除以，得，引入辅助数列，然后可归结为类型三。 六、型 例6. 已知数列，求。 解：在两边减去。 所以为首项，以。 所以 令上式，再把这个等式累加，得 。 所以 。 说明：可以变形为，就是 ，则可从，解得，于是是公比为的等比数列，这样就转化为前面的类型五。 斐波那契数列通项公式的推导 设常数 ，使得 ，则 n≥3时，有 …… 将以上 个式子相乘，得： ∵ 上式可化简得： 那么： = = …… = = （这是一个以为首项、以 为末项、 为公差的等比数列的各项的和） = = 的一解为 则 _1299819375.unknown _1299819923.unknown _1299819968.unknown _1299820168.unknown _1299820402.unknown _1299820080.unknown _1299819961.unknown _1299819796.unknown _1299819859.unknown _1299819628.unknown _1299819790.unknown _1299819540.unknown _1299819176.unknown _1299819273.unknown _1299819322.unknown _1299819192.unknown _1299819211.unknown _1299818908.unknown _1299819142.unknown _1299819004.unknown _1299818771.unknown _1299818875.unknown