天津市天津一中2010届高三第四次月考理科数学试题

天津一中2010届高三第四次月考 数学（理） 第I卷 班级 姓名 成绩 _ 一．选择题：（每题5分，共5×10=50分） 1.若集合则A∩B是（ ） A. B.　　C. 　 D. 2．计算等于 （ ） A．0 B．2 C．－4i D．4i [来源:Z§xx§k.Com] 3.若命题，则该命题的否定是（ ） A． B． C． D． 4．设等差数列的前n项和为（ ） A．18 B．17 C．16 D．15 5．设三条不同的直线，两个不同的平面，。则下列命题不成立的是（ ） A．若，则 B．“若，则”的逆命题 C．若是在的射影，则 　　 D．“若，则”的逆否命题 6.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ） 7．若,则的值为（ ） A. 2 B.0 C. D. 8．函数在定义域R内可导，若，且当时，，设则( ) A．　　　　B．　　　C．　　　D． 9．已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是（ ） A．20 B．18 C．16 D．9 [来源:Z+xx+k.Com] 10.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是（ ） A． B． C． D． 天津一中2010届高三第四次月考 第Ⅱ卷 班级 姓名 成绩 二．填空题：（每题4分，共4×6=24分） 11.若实数满足不等式组则的最小值是 ． [来源:学科网] 12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直 方图（如右图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、 职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽 样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000） （元）月收入段应抽出 人． 13．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 ． 14.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 ． 15．在极坐标系中，直线截圆所得的弦长是 ． 16．在棱长为2的正方体中,正方形所在平面内的动点到直线的距离之和为,则有最大值 ． 三．解答题：（共76分） 17．设为的三个内角，且 （1）求角的大小； （2）求的取值范围。 18．为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司 组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。 在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。 （I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率； （II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。 19．如图，在直三棱柱中，异面直线与成的角，点分别是棱和的中点，点是棱上的动点。 （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的大小。 20．已知函数且对于任意实数，恒有 （1）求函数的解析式； （2）已知函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； （3）函数有几个零点？ 21．如图所示，已知圆定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E。 （1）求曲线E的方程； （2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足的取值范围。 22．设数列满足且 （1）求,并求数列 的通项公式； （2）对一切，证明成立； （3）记数列的前项和分别是，证明 参考答案 1、D 2、D 3、C 4、 A 5、B 6、C 7、C 8、B 9、B 10、D 11、5 12、25 13、4 14、 15、2 16、 17、解：（1） (2分) 依题意有， (3分) 由正弦定理，……………..(4分) ……….(5分) 所以………(6分) （2） =………(8分) =………(9分) 则………(10分) 则，即……(12分) 18、解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”， 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。 ……………………(2分) ……………………(4分) 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。 …………………………………………………………6分 （Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3 , ……………………(7分) ……………………(8分) ，……………………(9分) ， ……………………(10分) 所以的分布列为 0 1 2 3 所以， ……………………12分 19、解：（1）取中点M，连接， 则平面，则在平面内的摄影为，……………………(2分) ……………………(4分)[来源:Z|xx|k.Com] （2）由体积转换可求点到平面的距离为，……………………(7分) 而是的中点 所以点到平面的距离为……………………(8分) （3）取的中点，连接，则，又平面 平面，作于，连接 所以 是所求二面角的平面角……………………(10分) 易得，又 所求二面角的平面角为……………………(12分) 另解：空间向量方法 （1）同上……………………(4分) （2）如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则……(5分) 设平面的法向量为 求得平面的法向量为……………………(6分) 又 所以，点到平面的距离……………………(8分) （3）设平面的法向量为 可求得平面的法向量为……………………(9分) 同理可求得平面的法向量为……………………(10分) 所以，……………………(11分) 所以二面角的大小为……………………(12分) 20、解：（1）， 依题意，对任意实数，恒有 即 即 所以，……………………(1分) 所以……………………(2分)[来源:Zxxk.Com] （2） ……………………(3分) 函数在（0，1）上单调递减， 在区间（0，1）恒成立……………………(4分) 在（0，1）上恒成立 而在（0，1）上单调递减 为所求。……………………(6分) （3）=[来源:Z.xx.k.Com] 令=0，解得 当时，当时， 当时，当时， ……………………(7分) ……………………(8分) 所以①当时，函数没有零点；……………………(9分) ②当时，函数有四个零点；……………………(10分) ③当或时，函数有两个零点；……………………(11分) ④当时，函数有三个零点；……………………(12分) 21、解：（1） ∴NP为AM的垂直平分线， ∴|NA|=|NM|……………………(1分) 又[来源:学.科.网] ……………………(2分) ∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆……………………(3分) 且椭圆长轴长为 ……………………(5分) ∴曲线E的方程为……………………(6分) （2）当直线GH斜率存在时， 设直线GH方程为 得……………………(7分) 由……………………(8分) 设……………………(9分) 又 整理得 ……………………(10分) ……………………(11分)[来源:Z&xx&k.Com] 又 ……………………(12分) 又当直线GH斜率不存在，方程为 即所求的取值范围是……………………(14分) 22、解：（1） ， ，……………………(2分) 由得……………………(3分) 即数列是以为首项，以为公比的等比数列 ……………………(4分) 注：用数学归纳法也可以。 （2） 要证明只需证明 即证即证明成立……………………(6分) 构造函数……………………(7分) 则，……………………(8分) 当时，，即在上单调递减，所以 ，即对一切都成立， ……………………(10分) (3) 由（2）可知 ……………………(12分) 利用错位相减法求得 ……………………(14分)[来源:学科网]