自然对数表的构造

自然对数 自然对数表的制造，是根据高等数学中的一些公式来计算的： 设k是任意的自然数，命 ，则 ，所以 或 根据这个公式，从ln(1)=0 出发，就可以循回计算出所有的自然数的自然对数。 具体造表时，可根据预定的精确度，取该式右端的前面若干项作为 ln(k+1) 的近似值。 對數表的構造 在現今計算工具發達的年代，要找出如 2ln 這個對數值只需一指之勞。但 是大家有沒有想過，在以前計算機尚未出現的時候，那些厚厚成書的對數表是如 何精確地構造出來的？當然，在歷史上曾出現很多不同的構造方法，各有其所長， 但亦各有其所限。下面我們將會討論一個比較有系統的方法，它只需要用上一些 基本的微積分技巧，就能夠有效地構造對數表到任意的精確度。 首先注意   yxxy lnlnln  ，所以我們只需求得所有質數 p 的對數值便可 以由此算得其他正整數的對數值。由  t1ln 的微分運算和幾何級數公式直接 可得       t tttttttdt d nnnn    1 11 11 11ln 1132  運用微積分基本定理（亦即微分和積分是兩種互逆的運算），即得下式：         x nnnnx dtt t n xxxxxdttx 0 1 432 0 1 11 4321 11ln  能夠對於所有正整數 n 皆成立。現在我們去估計上式中的積分餘項的大小。設 1x ，則有：     xn xdtx tdtt tdtt t nx nx nx nn    111111 1 0 0 0 由此可見，這個餘項的絕對值會隨著 n 的增大而趨向 0。換句話說，只要 n 選 得足夠大，  x1ln 和   n xxxxx n n 1 432 1 432   之間的誤差就可以小到 任意小，所以我們不妨改用下式表達這個情況：   4321ln 432  xxxxx ) 1 ( x 總之 n 的選取總是可以讓我們忽略兩者的誤差。把上式中的 x 代以 x 然 後將兩式相減，便可以得到下面的公式：              5321ln1ln1 1ln 53 xxxxxx x   可惜的是若直接代入 1 1   p px 使得 px x   1 1 時，   -式並不能有效地計算 pln 。例如取 29p ，則 15 14 129 129  x ，在此時即使計算了 100 項至 8 199 101.1199 2 x ， pln 的數值還未必能準確至第 8 個小數位（嚴格來說，應 該用(*)-式的積分餘項來做誤差估計，不過在這裏我們只是想大約知道其大小）； 又例如取 113p ，則 57 56x 而 4 199 103199 2 x ， pln 的準確度則更差。但 是我們可以取 12 1 2  px ，則有      11lnln2 11ln112 112ln1 1ln 2 2 2        ppp pp p p p x x 而當質數 2p 時，  1p 和  1p 的質因數都必定小於 p，所以如果我 們已算得小於 p 的質數的對數值，就可以用上式來計算 pln 的值：    1ln1ln1 1lnln2      ppx xp 而未知的      x x 1 1ln 是能夠有效計算的，因為現在所選的 x 的絕對值很小。例 如當 29p 時， 1681 1 1292 1 2 x ，所以只需計算到 17 5 1035 2 x ，便能 夠準確至十多個小數位了。 經過上面的討論，假設現在我們想構造一個 8 位對數表，則可以依次序地 求  11,13, 7, 5, 3, 2, 的對數值，而後面質數的對數值都可以用前面的質數的對 數值來求得。由此可見，在開始時的 2ln 是需要算得準確一些：        5896931471805.021 533 121 1ln2ln 21 3 15 3 13 3 1 3 1 3 1           這個和確實數值  599456931471805.02ln  相比其精確度已到達第 11 位小 數。接著便是要計算 3ln 。取 17 1 132 1 2 x ，則有        545041177830356.075317 121 1ln 7 17 15 17 13 17 1 17 1 17 1           注意   129171 109.19 2  ，在 8 位的精確度之下大可以不用考慮。所以    350986122886.12ln4ln 51177830356.02 13ln  這個和確實數值  68110986122886.13ln  相比其精確度也到達第 10 位小 數。讀者不妨自行試算 5ln , 7ln 等等的數值，然後再和計算機所得的作一比 較。 回看上述極為巧妙的計算方法，真的令人佩服當年的數學家們對於數字關係 和公式運算的那種創意與觸覺！