第3.2节随机向量,随机变量的独立性(1)随机向量及其分布n

一、随机向量及其分布 二、边际分布 三、条件分布 四、随机变量的独立性 第3.2节 随机向量,随机变量的独立性 (1) 随机向量及其分布 在实际应用中往往必须同时考虑几个随机变量及其 它们之间的相互影响。例如，对于钢的成份，需要 同时指出它的含碳量，含硫量，含磷量等等。这样 对于每个样本点 ，试验的结果将是一个向 量 ，这个向量取值于n维欧几里德空 间 。对于多维随机变量，我们当然可以分别研 究它们，一个一个的处理，然而这些随机变量之间 可能有联系，把它们作为一个整体来考虑，还可以 考虑它们之间的联系。 nR ),,,( 21 nxxx L w 一、随机向量及其分布 n 维随机变量的概念 1 2 1 1 2 2 1 = < < < = < = Î Î , , , , { ( ) , ( ) , , ( ) } { ( ) } { ( ) } L L I 对于任意 个实数 n n n n i i i n n x x x x x x x C x w x w x w x w x w F 1= = - ¥Õ ( , )其 中 为 维 矩 形中 的 n n n i i C x R n n W， L 若随机变量 是定义在同一概率 空间（ ）上的随机变量，则称 义 为n维随机向量或随机变量。 n P x (w),¼, x(w)=( (ω), ,x 定 F， 1 x (w) 1 x (w)) . 1 2, , , ,L 对于任意 个实数 元函义 数nn x x x n定 3.2.2 1 2( , , , ) .L称为随机变量 ＝ 的联合分布函数nx x x x 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 = < < < < < < ( , , , ) {( ) ( ) ( )} { , , , } L I ILI L＝ n n n n n F x x x P x x x P x x x x x x x x x 在n维随机变量中，同样需要讨论连续型与离散型 两种情况，下面我们只简单介绍几种常见的n维随机 变量的分布。 (1) 二维随机变量的分布函数 ( , ) , , , : ( , ) {( ) ( )} { , } ( , ) , . x y F x y P x y P x y x h x h x h x h x h = < < = < 时当意固定的 即对于任的不减函数和是变量 ).,(),(, 1212 yxFyxFyyx ³> 时当对于任意固定的 ,1),(02o ££ yxF , y对于任意固定的 ,0),(lim),( ==-¥ -¥® yxFyF x 且有 ,x对于任意固定的 ,0),(lim),( ==-¥ -¥® yxFxF y ,0),(lim),( ==-¥-¥ -¥® -¥® yxFF y x .1),(lim),( ==+¥+¥ +¥® +¥® yxFF y x o3 ( , ) ( 0, ), ( , ) ( , 0), ( , ) , . F x y F x y F x y F x y F x y x y = + = + 即 关于 左连续 关于 也左连续 xo y - - ,,),,(),,(4 21212211 o yyxxyxyx <<对于任意 .0),(),(),(),( 21111222 ³-+- yxFyxFyxFyxF有 证明 1 2 1 2{ , }P x x y yx h£ < £ < ,0³ 2 1 2{ , }P x y yx h= < £ < 2 2{ , }P x yx h= < < .0),(),(),(),( 21111222 ³-+- yxFyxFyxFyxF故 1 1 2{ , }P x y yx h- < £ < 2 1{ , }P x yx h- < < 1 2{ , }P x yx h- < < 1 1{ , }P x yx h+ < < 满足性质2，3，4的函数一定是某一随机变量的 分布函数，其中性质4是刻画二维随机变量分布函数 不可缺少的，它有区别于一维随机变量分布函数的 性质之一，即满足性质1，2，3的函数，推不出其满 足性质4. 1, 1, ( , ) ( , ) 0 1, 1 2 3 (1,1) (1, 1) ( 1,1) ( 1, 1) 1 1 1 0 1 x y F x y F x y x y F F F F + > -ì = í + £ -î - - - - + - - = - - + = - 当 设 显然 满足性质 当 ，，，但是 ，因而其不满足性质4. (3) 二维离散型随机变量 定义 若二维随机变量 ( x, h ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( x, h )为二维离散型 随机变量. 二维离散型随机变量的分布律 ( , ) ( , ), , 1, 2, , { , } , , 1, 2, , ( , ) , . i j i j ij x y i j P x y p i j x h x h x h x h = = = = = L L 设二维离散型随机变量 所有可能取的 值为 记 称此为二维离散型随机变量 的分布律 或 随机变量 和 的联合分布律 .1,0 1 1 =³ åå ¥ = ¥ =i j ijij pp其中 概率分布或分布列。 二维随机变量 ( x, h )的分布列也可

表

关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf

示为 x h LL 21 ixxx M M jy y y 2 1 LL 12111 ippp LL 22212 ippp MMM LL 21 ijjj ppp MMM 例 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每 次取球时,各球被取到的可能性相等,以 x, h分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 求 ( x, h )的分布列与分布函数. ( x, h )的可能取值为 ),2,1( 1 2 1{ 1, 2} , 3 2 3 P x h= = = × = 2 1 1{ 2, 1} , 3 2 3 P x h= = = × = 2 1 1{ 2, 2} . 3 2 3 P x h= = = × = 解 ),1,2( ).2,2( 1 2 2 故 ( x, h )的分布律为 xh 21 2 1 310 3131 , 3 1,0 22211211 ==== pppp 下面求分布函数 21 1 2 o x y )2,2()2,1( )1,1( )1,2( (1) 1 1 ,x y£ £当 或 时 ),( yxF ),( yxF (2) 1 2,1 2 ,x y< £ < £当 时 (3) 1 2, 2 ,x y< £ >当 时 ),( yxF { , }P x yx h= < < ;0= 11p= ;0= 1211 pp += ;31= (4) 2,1 2 ,x y> < £当 时 ;31),( 2111 =+= ppyxF (5) 2, 2 ,x y> >当 时 ),( yxF 22122111 pppp +++= .1= 21 1 2 o x y )2,2()2,1( )1,1( )1,2( 所以( x, h )的分布函数为 0, 1 1, 1( , ) , 1 2, 2, 2,1 2, 3 1, 2, 2. x y F x y x y x y x y £ £ì ïï= < £ > > < £í ï > >ïî 或 或 ( , ) , i j ij x x y y F x y p < < = å å

说明

关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书

离散型随机变量 ( x, h )的分布函数归纳为 , , .i jx x y y i j< <其中和式是对一切满足 的 求和 【多项分布】 在试验中，若每次试验的结果为 1 2 1 21 2 1 = = + + + = , , , , ( ) , , , , , , L L L而 且 重复这样的试验 次，并假定这样的试验是相 r i i r A A A P A p i r p p p n 2 1 2, , , , , ,L L1互独立的，若以 分别 出现的 次数，则 r rA A Ax x x = = = = 1 21 1 2 2 1 2 1 2 !{ , , , } ! ! ! L L L rk k k r r r r nP k k k p p p k k k x x x ³ + + + =1 20, ,L其中 称此分布律 多项分为 ，因为它是布 i rk k k k n + + +1 2( )L n rp p p 的一般项，而且 ³ + + + = =å 1 2 1 2 1 2 0 1 2 ! 1 ! ! ! L L L r i r k k k r k r k k k n n p p p k k k 【多元超几何分布】 = + + + = 1 2 1 2 1,2, , , , , , , 1, 2, , L L L L 袋中装有号球 只， 从中随机摸取 只，若以 分别表 示摸到第 号球的个数，则 i r r i N i r N N N N n r x x x æ öæ ö æ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ è øè ø è ø= = = = æ ö ç ÷ è ø 1 2 1 2 1 1 2 2{ , , , } L L r r r r N N N n n n P n n n N n x x x ³ + + + =1 20, ,L其中 称 多元此分 超 几何分布 布律为i rn n n n n . (3) 二维连续型随机变量 ( , ) ( , ), ( , ) , ( , ) ( , ) d d ( , ) , ( , ) ( , ) , . y x F x y p x y x y F x y p u v u v p x y x h x h x h x h -¥ -¥ = ò ò 对于二维随机变量 的分布函数 如果存在非负的函数 使对于任意 有 则称 是连续型的二维随机变量函数 称为二维随机变量 的概率密度 或称为随 机变量 和 的联合概率密度 定义 .),(dd),()( 12 =¥¥=ò ò ¥ ¥- ¥ ¥- Fyxyxp {( , ) } ( , ) d d . G P G p x y x yx h Î = òò .),()( 01 ³yxp 二维连续型随机变量的性质 (3) , ( , )G xOy Gx h设 是 平面上的一个区域 点 落在 内 的概率为 ).,(),(),(),()( yxp yx yxFyxyxp = ¶¶ ¶ 2,4 则有连续在若 表示介于 p(x, y)和 xOy平面之间的空间区域的 全部体积等于1. {( , ) } ( , ) d d G P G p x y x yx h Î = òò ,dd),( 1=ò ò ¥ ¥- ¥ ¥- yxyxp 说明 {( , ) } , ( , ) . P G G z p x yx h Î =的值等于以 为底 以曲面 为顶面的柱体体积 , ( , ) .z p x y=几何上 表示空间的一个曲面 (2 ) ( , ) 2 , 0, 0, ( , ) 0, . (1) ( , ); (2) { }. x ye x y p x y F x y P x h h x - +ì > > = í î £ 设二维随机变量 具有概率密度 其它 求分布函数 求概率 例4 解 ò ò¥- ¥-= y x yxyxpyxF dd),(),()(1 ïî ï í ì >> = ò ò +- .,0 ,0,0,dd2 0 0 )2( 其它 y x yx yxyxe î í ì >>-- = - .,0 .0,0),1)(1( ),( 2 其它 得 yxee yxF yx { } {( , ) },Gh x x h£ = Î { } {( , ) }P P Gh x x h£ = Î (2) 将 ( x, h )看作是平面上随机点的坐标, 即有 h x= G x y O yxyxp G dd),(òò= ( 2 ) 0 0 2 d d x x ye y x ¥ - += ò ò . 3 1 = 均匀分布 设 D 是平面上的有界区域,其测度为 S,若二维随机 变量 ( x, h )具有概率密度 则称( x, h )在 D 上服从 均匀分布. ïî ï í ì Î = ., ,),(, ),( 其它0 1 Dyx Syxp 常见二维连续型随机变量的分布 【多元正态分布】 1 1 2 B ( ) B ( ) B B B ( , , , ) ij ij n b n r a a a a -= = = L 若 是 阶正定对称矩阵，以 表示 的 逆阵，det 表示 的行列式的值， 是 任意实值行向量，则由密度函数 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) 1 1exp{ ( ) ( ) } 2(2 ) (det ) n n p x x x x a B x a B t p - = - - - L 定义的分布称为n元正态分布，简记为N(a,B). 1 , 1 ( ) ( ) ( )( ). n jk j j k k j k x a B x a r x a x at- = - - - -å其中 ＝ 二维正态分布 若二维随机变量 ( x, h )具有概率密度 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 21 2 ( ) 2 ( )( ) ( )1 2(1 ) 2 1 2 1( , ) 2π 1 x a r x a y a y a σ σr σ σp x y e σ σ r é ù- - - -- - +ê ú - ê úë û= - 1 2 1 2 1 2, , , , , 0, 0, 1 1.a a σ σ r σ σ r> > - < <其中 均为常数且 ),,( ¥<<¥-¥<<-¥ yx 1 2 1 2( , ) , , , , . a a σ σ rx h则称 服从

参数

转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应

为 的二维 正态分布 记为 2 2 1 2 1 2( , ) ~ ( , , , , )N a a σ σ rx h 二维正态分布的图形 例 已知随机变量 ( x, h )在 D上服从均匀分布, 试求( x, h )的分布密度及分布函数,其中D为x 轴, y 轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域 . 解 x y o 1+= xy2, ( , ) , ( , ) 0, . x y D p x y Îì = í î 得 其它 1- 1 1 0 ,x y£ - £当 或 时 0=),( yxp ( , ) ( , )d d 0; x y F x y p u v u v -¥ -¥ Þ = =ò ò 1 , ( , ) , ( , ) 0, . S x y D p x y Îì = í î 由 其它 vuvupyxF x y dd),(),( ò ò¥- ¥-=Þ òòòò - +- - += yx y uy vuvu 01 1 0 1 1 d2dd2d ;)22( yyx +-= 1 0,0 1 ,x y x- < £ < £ +当 时 1v u= + 1- 1 1-y x u v o ( , )x y 1 0, 1 ,x y x- < £ > +当 时 vuvupyxF x y dd),(),( ò ò¥- ¥-=Þ ;)1(d2d 2 1 01 +== òò + - xvu ux u v o 1v u= + 1- 1 x ( , )x y 0,0 1 ,x y> < £当 时 vuvupyxF x y dd),(),( ò ò¥- ¥-=Þ òòòò - +- - += y y uy vuvu 0 0 1 1 0 1 1 d2dd2d ;)2( yy-= u v o 1v u= + 1- 1 1-y ( , )x y 0, 1 ,x y> >当 时 vuvupyxF y x dd),(),( ò ò¥- ¥-= .1d2d 0 1 1 0 == ò ò- +u vu 2 0, 1, 0, (2 2) , 1 0, 0 1, ( , ) ( 1) , 1 0, 1, (2 ) , 0, 0 1, 1, 0, 1. x y x y y x y x F x y x x y x y y x y x y £ - £ì ï - + - < £ < £ +ïï= + - < £ > +í ï - > < £ï > >ïî 或 所以 ( x, h )的分布函数为 解 ,dd),()( 11 =ò ò ¥ ¥- ¥ ¥- yxyxp因为 1dd)6( 2 0 4 2 =--ò ò xyyxk所以 ;8 1 =Þ k ( , ) (6 ), 0 2, 2 4, ( , ) 0, . (1) ; (2) { 1, 3}; (3) { 1.5}; (4) { 4}. k x y x y p x y k P P P x h x h x h x - - < < < <ì = í î < < < + £ 设二维随机变量 具有概率密度 其它 确定常数 求 求 例6 (2) { 1, 3}P x h< < ;8 3dd)6( 8 11 0 3 2 =--= ò ò xyyx (3) { 1.5}P x < ; 32 27dd)6( 8 15.1 0 4 2 =--= ò ò xyyx (4) { 4}P x h+ £ . 3 2dd)6( 8 14 2 4 0 =--= ò ò - yxyx y { 4 }P x h= £ - o x y yx -= 4 作 业 习

题

快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题

3 12, 13, 19