自然对数漫谈

第 17 卷第 2 期 1 9 9 8 年 4 月 怀化师专学报 JOU R闻址 O F HUA !HUA 孔叭CHE RS COLt 卫G E V O I . 17 . 卜七 . 2 仰 r . 1 9 9 8 自 然 对 数 漫 谈 宋秉信 (湘潭教院 副教授 ) 摘 要 : 从对数及对数的编制 , 探讨以 e 为底的对数表的产生经过 , 进而 阐述为什么 自然对数要取以 e 为底 . 关键词 : 对数 间隔 关系 底数 以 10 为底的常用对数就是基于人们对数字的乘除 、乘方和开方等运算要求快速而发展起来的 . 自然对数 则是由于微积分学的产生可以解决变量之间的函数关系而发展起来的 . 本文主要是谈谈 自然对数有关的问 . 1 对数及对数表的编制 早在 16 世纪末 , 由于航海事业的蓬勃发展 ,人们需要进行天文观测来确定船只的方位 . 这就遇到了大量 繁杂的计算课题需要人们去研究 , 如何简化计算是当时迫切需要解解决的问题 . 社会的需要促使数学家乃至 于天文学家着力去创造一种新的简便的计算 . 对数就是在这样的历史条件下产生的 . “对数”是继乘方 、开方运算之后第七种数学运算 . 它与解析几何 、微积分被人们视为 17 世纪数学领域里 最伟大的三大成就 . 为什么对对数的发现作如此高的评价呢? 这完全在于对数对于社会和人类所作出的巨大 贡献 . 对数能将乘除 、乘方和开方转化为加减 ,乘除 . 于是繁杂的计算被大大的简化了 ,促进了生产技术和科学 的发展 . 法国大数学家拉普拉斯曾经说过 : “纳皮尔对对数的发明 , 不仅是减省了天文学家的工作 , 而且是相当 于倍增其寿命 . ”这个评价真是恰如其分 . 巧54 年 ,德国数学史家基弗里对下面等比数列和等差数列进行比较 : ⋯2 一礴 , 2 一’ , 2 一 ’ , 2 一 ‘ , 分 ,梦 , 分 , 分 , 分 , ⋯ (l ) ⋯矗,音,告,合, , , , , 4 , 8 , “ , ” ’ “’ · ·一 4 , 一 3 , 一 2 , 一 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ⋯ (2) 他发现数列(l) 或(1‘)的乘除关系可以转化为数列 (2) 的加减关系 . 而且他还发现数列 (l) 或(1’)乘方和开方关 系也可以转化为数列 (2) 的乘除关系 . 就是说 , 在数列(l) 或(l‘)中任取两数作乘(除 )法运算的积(或商 ) , “对 下来 ”在数列 (2) 中取相对应的数作加(减)法运算 ,其和 (或差)“对上去 ”就是所求的积(或商) . “对数 ”一词的 来源就在于此 , 这便是对数思想的萌芽 . 但是当时史基弗里仅仅是发现这一性质而已 ,并没有根据此性质作进 一步研究 ,更没有编制出对数表来 . 如果我们把史基弗里的发现用现在对数记号来表示 , 便是 : a’ b 二 ab 咨 之嵘 + 崛宝二 乙,g2 乙(a + 6 ) 这可以说是最早的最原始的对数表吧 . 如表一这个原始对数表的使用价值不大 . 因为它的间隔太大 , 有许多数无法在表中查到 , 比如要计算 6 x 3 , 21 : 1 . 6 等 , 表中就没有 . 怎么办? 人们在实践中发现 , 真正有使用价值的对数表一定要使真数 N 的间隔很密才 行 . 因为 , 在利用对数作乘除运算时 ,不仅要从真数表中查出其相应的对数中 , 而且还要将查到的对数经过加 减运算后的和差 , 反查出它所对应的真数来 . 因此 , 一张真正有使用价值的对数表 , 不仅要使其真数的间隔很 密 ,而且对数的间隔也要很密 . 只有这样 , 不论是由真数查对数 , 还是由对数查真数 , 都比较精确 . 那么 ,怎样才能编制出真数 、对数的间隔都比较密的对数表呢? 2 以 e 为底的对数表的产生 早在公元前 2(X) 年 ,古希腊著名数学家阿基米德就注意到了下面数列之间的一一对应关系 : 收稿 日期 : 1创粥刁 l一10 第 17 卷第 2 期 宋秉信 : 自然对数漫谈 6 7 l , 10 , l护 , l护 , l了 , l护 , l护⋯ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ⋯ ⋯ 它们也具有史基弗里所发现的性质 . 可以使冗繁的乘除法运算转化为较简单的加减运和虎 . 但阿基米德当时 也没有把这一研究工作进行下去 . 如果当时他能编制出一张真数范围在 1 到 10 之间的对数表也就够了 , 在这 样的表中对于任意正数的对数就容易求得 . 遗憾的是历史上最早真正能使用的对数表中以 10 为底的对数 ,而 且英国数学家纳皮尔(j . N叩ier l550 一 1617) 在 16 14 年编制出的以 e 为底的对数表 . 纳皮尔为什么要选用以 e 作 为对数的底数呢? 我们知道 , 在微积分学创立之前 , 想直接用 10 为底为制作适用的对数表是比较困难的 . 而且 e 为底作出 适用的对数表来则是较为容易的 . 其原因是 : 1 、在微积学创立之前 , 要以真数算出它相应的对数来是有一定困难的 . 当时只能利用公式 N 二 “咧 ,从对数算出其相应的真数 , 这样要求进行的是开方运算 . 如表 1 . 若取 10 为底 的话 , 要作出对数间隔是 0. 姗1 的表来 , 从表 2 中可以看 出必须计算 ,呼丽尸竿而 , ,哗派劝 , ⋯⋯ ,这在当时 , 要计算出来谈何容易 , 是很难办到的事 . 为避免开 1叨 次方的困难 ,人们自然想到是否可以把底数选得大一些 , 如以 l0’帅为底 ,这样指数为 l仪xX) , 正好与开 10以X) 次方相对消 . 计算起来就方 便多了 . 如表 3 . 这样改进 , 对数的间隔是比表 ‘小了一些 , 且计算也方便 ,避开了开方的运算 ,但真数的间隔仍嫌过大 , 而 且越靠后越大 . 因此 , 用这张表从对数反查其真数是适用的 , 而反过来由数查对数就不怎么适用了 . 如要查真 数 3斜 的对数 , 这张表就无能为力了 . 为了弥补上述之不足 ,人们想到是否可以将底数缩小 . 如缩小为 梦娜 ,见 表 4 . 从表 (四 )中可以看出它比表 3 要好得多 . 除了保持对数间隔小 、计算方便的优点外 , 真数的间隔也大大缩 小 . 这就给数学家们提供了编制出适用的对数表的思路 ;按这种方式逐步缩小底的方法 . 如当时人们进一步将 底数缩小为(1 . 侧X刃1) ·见表 5 . 这种真数的间隔更小了 , 不论是从真数查对数 ,还是由对数反查真数都比较方便 . 对于表中没有的数 ,我 们可以根据线性插值的方法求得 比较精确的近似值 . 当然 , 还 可以进一步改进 . 如果将底数缩小为 (1 . 以x】〕1)~ , 那么所编制出来的对数表间隔将会更密 ,精确度会更高 . 从上面讨论的问题 , 不难发现 , 之所以能用初等方法编制 出较为适用的对数表来 , 其关键在于采用了 (l .《x叉〕1) ’姗或 (1 . 《洲刃1)~ 这样一种特殊形式的数做底数 . 因为 ‘, ·“ , ,” = “ + o ·“‘,~ 二 “ + 奋,淤 (1 · , 1) : ~ 二 (1 + o二1)~ 二 (1 + 奋)淤 · 象 上面这 种形式 , 一般可表示为 ( 1 十贵)二 当一 1‘ , 几 二 1‘就是上面的两种形式 . 显然 , 几越大 , 用 (1 十青)· 作底所编制出的对数表就越能满足我们的要求 · 级数 (1 + 1) , (1 十鲁), , (l 十 令), , ⋯⋯ (1 + 土 )· , ⋯⋯ 是收敛的 , 1727 年欧拉首先把这个级数的极限值 ~ ~ 、“ ‘ 了 ’ 、“ 2 / ’ 、 ‘ ’ 3 了 ’ 、 ‘ ’ n / ’ ~ 协~ ” J ’“ “ ‘ ’ , 、J一 曰 产 “ J“~ ’ ~ ~ M J 一 卜 ~ 记作 · , 即煦 (1 + 青)· 二 一 2 ·7 1828 ·⋯⋯ 从理论上讲 , 用上面所述的初等方法编制出来的对数表 ,应以 e 为底是最理想的 . 但是 , e 是一个无理数 , 斯棋啪敝锄魏鲜旅 ·纳皮档毗躲用 “ ·~ ‘)一 二 “ +和临麟撇”上第一张可供使用的对数表 . 2 、我们知道 , 用除 1 以外的任何正数为底的对数函数的导数都会引出一个以 e 为底的对数 . 如以对数函 数 y 二 吨‘X 为例 ,其中 a > 0 且 a 尹 1 , 因为 ha ( : + △ : ) 一 ha x 翻合了 , 心 . . . . . . . . 石南 △ 名刁刃 △ x : 众、 x + △ xX l x , 八 △ x一 . 下了, 阅几 、i 十— 二X 一 X 一 X l 。 , _ 1 、二一 加呱八 l + — )。‘万 一 工 当△ : ~ o 时 ,令 ~ 二 , 且 (1 、生 )六 二 △ x ⋯犷 二士、 : (l + (l + 土 )众 二 工嘛 e △问 瓦 △ x 6 8 怀化师专学报 1卯8 年 4 月 _ 生 生竺 _ 生 . 生一 x 峪 a 一 , 知“注 Ina 为自然对数符号 , 即以 e 为底的对数 . 自从有了以 e 为底的对数表以后 ,利用换底公式 , 可得 , _ _ 、 _ 些鉴丝 _“侣 10 ,’ 一 矛。 ~ I n 一洲J 乙. 孟 U 及嵘N 2 . 义狡5 85(] 92 9 . · ·一 ’ 这就不能进一步将以 e 为底的对数换算成以 10 为底的对数 . 应该指出的是 , 在纳皮尔生活的那个时 期 , 指数概念并未完成 . 纳皮尔本人也并不知道什么是对数的“底 ”一直到 18 世纪欧拉才发现指数与对数的关系 . 这表明对数的发明在指数之前 . 伦敦的一位数学 、天文学家布立格斯(H . Bvi 脚 156 1一163 1)曾建议纳皮尔将对数作些改进 , 以求更便于计算 . 这种改进就是要他改为以 10 为底的对数 . 但纳皮尔还未来得及修改 , 便去逝了 . 在纳皮尔去逝后 , 布立格 斯以其他后半生的全部精力完成了纳皮尔及他自己的愿望 , 于 162 4 年出版了(对数算术》一 ,其内容包括从 1 到 ZJ X幻 以及从 以联刃到 IJ I洲】)之间的以 10 为底的 14 位常用对数表 . 而 2(X) (X) 到例】X旧之间的数据到 1628 年才由荷兰数学家佛拉哥 (vi班书 l以x〕一 1肠7 )补足完成 . 值得一提的是 , 17 世纪中叶 , 对数传人我国 , 当时我国 数学家对对数已有了深人的研究 ,其中最有影响的是清代数学家戴煦 (1班巧一 1色反))著有 (求表捷术》等著作 , 这是中华民族数学史上光辉的一页 . 3 为什么以 e 为底的对数叫做自然对数? 对数函数、x (。 > 0 且 。 , 1)的导数了 = 士、· ,对于 。 二 · ,便有、 二告, 即 , 二 Inx 有、 = (Inx )’ 二士·而且 , 只有 Inx 的导数才等于专,其他代数函数 ,如 , 二 ‘等的导数是不可能等于士的 ·这就是说 ,代 数函数 y = 犷 不能得到微分为 二一“ 的形式 . 积分是微分的逆运算 ,所以 I 分母以 e 为底的对数 . 只要形状呈 鱼 二 加 + c . 就是说 , 一个分式的分子是分母的微分 ,此分式的积分就是 {艺男兽 二 {那契,则 {艺男兽二 In . f(x ) . , 。 . 这反映了自然 J J 、 汤 I 砂 J 、 舟 1 J J 、舟 / 界的现象有种种函数关系 . 而要确立变量之间的函数关系往往需要确立函数的导数或微分的关系式 , 即微分 方程 . 通过解这种方程 . 得出所要求的函数关系 . 若方程中存在 {艺鉴卢2典的项 , 那么积分后便会出现以 。 为 , J ‘“ ’ ~ 一~ ~ , ’ 产“坏 ’ “, 川 v ‘熟 , 、 ”‘ ~ ~ / 、门、 ’叼 尹‘ ’一 ” J 一 J f( 二 ) “ ‘ ” ’” ,一 v ”“同 ~ ~ ~ , “一 ’ 一 “底的对数 . 而且 , 反映自然界规律的函数关系 , 总是以指数形式或对数形式出现的 , 所以必定是以 e 为底的对 数 . 最能说明以 e 为底的指数或对数和 自然数界的关系是自然界的复利律 . 我们知道 , (了 )‘ = 了 , 即 了 的导 数等于其本身 , 而且一个函数其导数等于其本身的只有 e’ ,所以 , 若发现一个函数 y ,其导数 (变化率 )与函数 一 , ‘ * 二 。 。。, 二‘。‘二六 , 二 , 且 : 、, _ 、 , , * 姗二姗流 , 粉二粉 。n立 _ _ _ ‘ 刚 . _ _ , 需本身成正比 , 我们便可断定所研究的函数是 以 e为底的指数函数或对数函数 · 即孟二 士 ay , 则 , = c尹 或 y 二 ce 一“ · (其中‘ c 为常数) . 若函数的数量是增加的则为正 ;是减少的则为负 . 由此可知 ,若写成对数形式 , 则是以 e 为底的对数 . 除一些经验式外 , 一般不可能有其它正数为底的指数或对数出现 . 所以 , 人们将以 e 为 底的对数称作自然对数 . “e"作为数学符号使用最早是欧拉 . 人们为纪念他 ,才确定用 “。 ”作为自然对数的底 数 . 4 自然对数表的编制 若把对数函数 In (1 + 劝展成台劳级数 ,得 爪(l + x ) = 二 一 x Z x 3 百 + 百 犷一 万 + ” ‘”” 一 二 < 劣 ‘ 且 把 二 换成 一 x , 则又有 I n 、几 一 万夕 二 一 万 一 万 一 x 3 犷了 一 了 + · ” ” · , 一 1 城 二 < 1 + 劣 l 一 劣 . , x 3 护二 ‘临 + 了 + 一了 + ” ” ” < 劣 < +一.代.掀.设 k 是任意自然数 ,命 x , k + 1 . r l , n . ee 弓一 = 乙 L二; ee 二 十拭 一 ‘雌 + 1 l二 乏不一石 < l 3 (Zk + l) 3 1 ,则忠 二 l + 5 (2无 、 l), 或 In (k + 1) 二 。 · 2〔赤 · 3 (2 *气, )3 · 。(2 *l+ , )5 · ⋯⋯ 第 17 卷第 2 期 宋乘信 : 自然对数漫谈 6 9 根据这个公式 , 从 In l 二 O出发 ,就可以循环地计算出所有自然数的自然对数 . 如果取前六项来计算近似 值 误差是 、 二 2〔丽扩冲 +气取五玩万〔‘+ l l乃(2万+ l)” + 17 (2、+ l), , + 1 1 (2盖 + z), + (2无+ l)‘ + ’ ‘ ’ ‘” 2 13(Z k + l ) ’3 l , 一 丈泛汁评 2 13 (Zk + 1) , , · (4 k 2 + 4 k ) 2 < 二二- - 二1下- - - 二 二 1 . 佣肠 x 10一 7 因此取前六项来计算自然对数的近似值时 , 能精确到小数第 6 位 . 这就说明要编制出六位自然对数表 , 取 前六项就够了 . 当然循环计算过程中 ,误差还会累加 , 因此还应该多取多几项 . 我们只要编制出以 e 为底的 自然对数表 ,其他对数表只要乘以变换模就可以了 . 参 考 文 献 〔1〕华中师院 , 纳皮尔与对数的发明 . 数学通讯 : 1984 (4) : 18 (2〕祝梁济 , 浅谈自然对数 . 数学通报 : 1982 (2) : 19 . 崛Z N · · · 一 4 一 3 一 2 一 1 0 1 2 3 4 表 2 肠g 10 N N 0 . 仪叉X) 1口 二 】 0 . 《l刃1 1沙诩 , 二 1呼而 0 . (】刃2 1护·她 0 . 以艾日 l臀i子 1护·呵 二 表 3 1嗯气了⋯ 吨101 “x旧汀 N 0 . 0以X) 0 .《义刀1 0 . 以刃2 0 . 仪刃3 (1口溯 )o 二 l (10 1帅 )o , , 二 10 (10 1溯 )0 ·她 == 1诊 (1口脚 )0 ·侧 二 z护⋯ 表 4 吨二1侧刀叩“ 0. lxxx〕 0. 姗1 0. 以x〕2 0. 以刃3 N (2脚 )0 ·帅 二 l (2 ,帅 )0 , , 二 2 (2 ,帅 )0 哑 == 分 (2 ,帅 )0 ,侧 二 分 表 5 崛卜, 1 1仪斌〕柑 0. 田以〕 0. 姗1 0. 侧】刀 0. 以刃3 0. 。义” N 1 .侧洲刀刀 1 . 《艾刀100 1 .《U 侧】) 1 . 《义幻引1 ) 1 . 朋川(幻 续表 5 峋L。 : l侧x x〕“ 0. 仪x珍 0. 00 10 0. 00 11 ⋯ 0. 侧万0 . ~ 0. 侧刀〕 孙 1 . 以扣以又) 1 . 00 1(日) 1 . 00 10 11. 二 1 . 田印 12⋯ 1 .仪烈)18 A搜刃1 跳CT 犷n 犯 出石c le 明内初 tha 血拢da自唱 脚倪曰眠 of tl袄冷e e坛Ix 肛lte 儿川比功阳比 诵y l劝tu司 l铭‘ th m is ba ‘恤山y丛袱l u卯n “ e" K七y W 0 n 如 ; 1吧面 thm , in te rv al , 知目无翻园 沈h面叨 , 】拍哭 n扭川祀r , l吧面thm w瓦 c h州 “e" as 此 base n ul川祀r and to 明山呢