利用向量求直线方程

利用向量求直线方程 利用向量法求直线的方程 高一数学组 陈作美 我校高中数学必修部分采取1、4、5、2、3的教学顺序，因此在必修2“直线方程”的教学中,可以应用前面必修4“平面向量”的知识补讲“利用向量法求直线方程”的方法。这样处理不但能加强对向量概念的再认识,提高对向量的应用能力,又能快速准确地求出直线的方程的一般式,可谓一举两得。 1、求直线的方向向量 在同一平面内,和直线L平行的非零向量称为直线L的方向向量。由定义知,直线L有无数方向向量,它们都是共线的.求直线的方向向量一般有下列三种方法: a) 若A(x、y)、B(x,y)为直线L上两点,则(x-x,y-y)是直线L的方向向量, 11221212 与其共线的向量λ(x-x,y-y)也是其方向向量(λ为非零常数)。 1212 b) 若直线L的斜率为k,则(1,k)为直线L的方向向量 c) 若直线L的方程为Ax+By+C=0,则(B,-A)、(-B,A)都是直线L的方向向量 2、求直线的法向量 在同一平面内,和直线L垂直的非零向量称为直线的法向量,若直线方向向量为(m,n),交换m、n的位置,再在横坐标或纵坐标前添负号得到向量(-n,m)或(n,-m),它们都是直线L的法向量(证明略)。 3、求直线方程 设直线L的法向量为(A,B),且过点(x0、y0),则直线方程为 Ax+By-(Ax0+By0)=0 证明:设点(x,y)是直线L上异于点(x0、y0)的任意一点,则(x-x0,y-y0)为直线L的方向向量, 于是知(x-x0,y-y0)与(A,B)垂直, ?(x-x0,y-y0)?(A,B)=0 ?A(x-x0)+B(y-y0)=0,化简得Ax+By-(Ax0+By0)=0 易检验点(x0、y0)坐标也满足此方程。 ?直线L方程为Ax+By-(Ax0+By0)=0 例1:一条直线经过P(-2,3),倾斜角为45?,求这条直线方程 解:因为直线斜率k=tan45?=1,?直线方向向量为(1,k)=(1,1),法向量可取(1,-1),于是可设所求方程为x-y+c=0.再将点P坐标代入,可求得c=5， ?所求直线方程为x-y+5=0 1 例2:一条直线经过(3,2)、(5,-4),求这条直线方程 解:先求直线方向向量:由(5-3,-4-2)=(2,-6)=-2(-1,3),?直线法向量可取(3,1),又直线过点(3,2), ?所求直线方程为:3x+y-11=0。 由上可以看出,若要求直线方程的一般式,用此统一的方法可替代用“点斜式”、“两点式”求直线方程,且方便又快捷准确,对“斜截式”及“截距式”也一样有效。 例3:已知点A(7,-4),B(-5,6),求线段AB的垂直平分线L的方程。 解:由于AB?L, ? (-5-7,6+4)=(-12,10)=-2(6,-5)就是直线L的一个法向量, 取L的法向量为(6,-5)。 又由线段中点公式知AB中点为(1,1), ?线段AB的垂直平分线L的方程为6x-5y-1=0 例4:求经过点(3,2)且与直线4x+y-2=0平行的直线方程 解:由于所求直线与直线4x+y-2=0平行,?它们的法向量共线,不妨就取(4,1) ?所求直线方程为4x+y-14=0 例5:求经过点(3,0)且与直线2x+y-5=0垂直的直线 解:易知直线2x+y-5=0的法向量(2,1)就是所求直线的一个方向向量,?所求直线的法向量为(1,-2),?所求直线方程为x-2y-3=0 例6:三角形的三个顶点坐标依次是A(4,0),B(6,7),C(0,3) 求BC边上的高所在直线的方程 解:显然,直线BC与其边上的高垂直。所以(-6,-4)=-2(3,2)就是其高线的一个法向量, 取其法向量为(3,2),又其高经过点A(4,0) ?所求直线方程为:3x+2y-12=0。 以上各用向量法求解,方法精简,所用篇幅较小，当然不能由此说明每道题用向量法都简明。但是,一般能用向量法求直线方程的题,都具有运算量小,速度快而且准确率高的特点。另外,用向量推导点到直线的距离公式,用方向向量求两直线的夹角,判定两直线平行、垂直也很方便。学生初学这部分时,可能有点不易接受,但经过一段时间练习后,必能体会到向量法的妙处，并能熟练、灵活运用。 2011、7、3 2