综合法和分析法
:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解
分析法和综合法的思考过程、特点.
:会用综合法证明问
;了解综合法的思考过程.
:根据问题的特点,结合综合法的思考过程、特点,选择适当的证明方法.
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:
11,1. 已知 “若,且,则,,4”,试请此结论推广猜想. aaR,,aa,,11212aa12
111,2(答案:若aaaR,.......,,且,则,,,,.... ) aaa,,,,....1n12n12naaa12n
111,2. 已知,,求证:. abcR,,,,,,9abc,,,1abc
先完成证明 ? 讨论:证明过程有什么特点?
1.
222222? 出示例1:已知a, b, c是不全相等的正数,求证:a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) > 6abc.
分析:运用什么知识来解决?(基本不等式) ? 板演证明过程(注意等号的处理)
? 讨论:证明形式的特点
? 提出综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后
推导出所要证明的结论成立.
框图表示: 要点:顺推证法;由因导果.
bcaacbabc,,,,,,? 练习:已知a,b,c是全不相等的正实数,求证. ,,,3abc
? 出示例2:在?ABC中,三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列. 求证:为?ABC等边三角形.
分析:从哪些已知,可以得到什么结论? 如何转化三角形中边角关系?
? 板演证明过程 ? 讨论:证明过程的特点.
? 小结:文字语言转化为符号语言;边角关系的转化;挖掘题中的隐含条件(内角和) 2.
? tantan3tantan3ABAB,,,tan()AB,为锐角,且,求证:. (提示:算) AB,,60AB,
114? 已知 求证: ,,.abc,,,abbcac,,,
3. 综合法是从已知的P出发,得到一系列的结论QQ,,,,,直到最后的结论是Q. 运12,
用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.
441. 求证:对于任意角θ,. (教材P练习 1题) cossincos2,,,,,52
(两人板演 ? 订正 ? 小结:运用三角公式进行三角变换、思维过程)
1132. 的三个内角成等差数列,求证:,,. ABC,,,ABCabbcabc,,,,
2.2.1 综合法和分析法(二)
1
:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解
分析法和综合法的思考过程、特点.
:会用分析法证明问题;了解分析法的思考过程.
:根据问题的特点,选择适当的证明方法.
:
:
1. 提问:基本不等式的形式?
ab,2. 讨论:如何证明基本不等式. ,,,abab(0,0)2
(讨论 ? 板演 ? 分析思维特点:从结论出发,一步步探求结论成立的充分条件)
1.
? 出示例1:求证3526,,,.
讨论:能用综合法证明吗? ? 如何从结论出发,寻找结论成立的充分条件?
? 板演证明过程 (注意格式)
? 再讨论:能用综合法证明吗? ? 比较:两种证法
? 提出分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的
结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
框图表示: 要点:逆推证法;执果索因.
11? 练习:设x > 0,y > 0,证明不等式:223332()()xyxy,,,.
先讨论方法 ? 分别运用分析法、综合法证明.
? 出示例4:见教材P. 讨论:如何寻找证明思路?(从结论出发,逐步反推) 48
? 出示例5:见教材P. 讨论:如何寻找证明思路?(从结论与已知出发,逐步探求) 49
2. 证明:通过水管放水,当流速相等时,如果水管截面(指横截面)的周长相等,那么
截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
ll2 提示:设截面周长为l,则周长为l的圆的半径为,截面积为,周长为l的正方,()2,2,
llll222形边长为,截面积为,问题只需证:> . (),()()42,44
3. 分析法由要证明的结论Q思考,一步步探求得到Q所需要的已知PP,,,,,直到所有12,的已知P都成立;
比较好的证法是:用分析法去思考,寻找证题途径,用综合法进行书写;或者联合使用分
析法与综合法,即从“欲知”想“需知”(分析),从“已知”推“可知”(综合),双管齐下,
两面夹击,逐步缩小条件与结论之间的距离,找到沟通已知条件和结论的途径. (框图示意)
2221. 设a, b, c是的?ABC三边,S是三角形的面积,求证:cababS,,,,443.
略证:正弦、余弦定理代入得:,,,2cos423sinabCababC,
,即证:2cos23sin,,CC3sincos2CC,,,即:,即证:(成立). sin()1C,,6
2.2.2 反证法
2
:结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法
的思考过程、特点.
:会用反证法证明问题;了解反证法的思考过程.
:根据问题的特点,选择适当的证明方法.
:
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1. 讨论:三枚正面朝上的硬币,每次翻转2枚,你能使三枚反面都朝上吗?(原因:偶次) 2. 提出问题: 平面几何中,我们知道这样一个命题:“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题?
3. 给出证法:先假设可以作一个?O过A、B、C三点,
则O在AB的中垂线l上,O又在BC的中垂线m上,
即O是l与m的交点。 A 但 ?A、B、C共线,?l?m(矛盾) DO ? 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.
P
B1. C? 练习:仿照以上方法,证明:如果a>b>0,那么
a,b
? 提出反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设
错误,从而证明了原命题成立.
证明基本步骤:假设原命题的结论不成立 ? 从假设出发,经推理论证得到矛盾 ? 矛盾的原因是假设不成立,从而原命题的结论成立
应用关键:在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、
定理、事实矛盾等).
方法实质:反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,即由一个命题与其逆否
命题同真假,通过证明一个命题的逆否命题的正确,从而肯定原命题真实.
注:结合准备题分析以上知识.
2.
? 出示例1:求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
分析:如何否定结论? ? 如何从假设出发进行推理? ? 得到怎样的矛盾?
与教材不同的证法:反设AB、CD被P平分,?P不是圆心,连结OP,
则由垂径定理:OP,AB,OP,CD,则过P有两条直线与OP垂直(矛盾),?不被P平分. ? 出示例2:求证
3是无理数. ( 同上分析 ? 板演证明,提示:有理数可表示为) mn/
证:假设3是有理数,则不妨设3/,mn(m,n为互质正整数),
222从而:(/)3mn,,,可见m是3的倍数. mn,3
222设m=3p(p是正整数),则 39nmp,,,可见n 也是3的倍数.
这样,m, n就不是互质的正整数(矛盾). ?不可能,?3是无理数. 3/,mn
? 练习:如果a为无理数,求证是无理数. a,1
提示:假设aapq/为有理数,则可表示为(为整数),即apq,/. pq,
由aapqq,,,1()/,则也是有理数,这与已知矛盾. ? 是无理数. a,1
3. 反证法是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围(“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题)
3