第3章_费米能级

nullnull上节课回顾： 其中Nc为导带的有效状态密度（数量级一般在1019):量子尺寸效应量子尺寸效应在量子半导体井材料中，原本体材料中准连续的能带变成了量子化的能级或被子禁带隔开的一些子能带。另一方面，由于电子波函数形式的改变，态密度出现不连续性。量子阱激光器的优点量子阱激光器的优点发射波长向短波方向可选择范围更宽； 高的温度稳定性； 光谱变窄； 输出光具有偏振特性； 以较小的电流获得更大的输出。 应变量子阱激光器应变量子阱激光器 利用量子阱层和垒层晶格常数的差异在量子阱内部引入应变： 调节波长； 输出光偏振度更高； 以较小的电流 获得更大的输出 非平衡状态下半导体中的载流子非平衡状态下半导体中的载流子半导体偏离热力学平衡状态时，由于载流子寿命比它们的驰豫时间长很多，即导带电子或价带空穴与晶格发生能量交换的几率比起电子与空穴相互作用的几率大得多，因此可以认为电子与晶格或空穴与晶格相互独立地处于热平衡状态。这时对电子和空穴可以分别用准费米能级EFc和EFv代替热平衡状态下的单一费米能级Ef来描述系统。这时可以认为，电子和空定在各自的导带和价带内仍处于平衡状态，尽管电子和空穴总的分布是不平衡的。这种情况下的电子和空穴浓度可以用类似前面的方法来计算。不过费米—狄拉克函数要分别用下面的式子：半导体异质结激光器中粒子数反转半导体异质结激光器中粒子数反转光子与载流子的相互作用光子与载流子的相互作用光子与半导体内部载流子相互作用现为以下几个物理过程：半导体内量子跃迁的特点半导体内量子跃迁的特点 由于半导体能带中电子(空穴)的态密度很高，因此在光子作用下产生的跃迁不是在分立的、固定的两个能级之间，而是发生在非局部能级的导带与价带之间。在半导体中的跃迁过程时不仅要考虑电子的跃迁几率，还必须考虑参与跃迁的电子态密度分布，而这又与掺杂浓度和激励水平有关。因此，半导体中的跃迁过程具有明显不同于双能级系统的特点： (a)半导体能带中电子的态密度很高，用来产生粒子数反转分布的电子数很大，因而可能具有很高的量子跃迁速率，获得很大的光增益系数。 (b)半导体中同一能带内的载流子相互作用很强。这种互作用过程的碰撞时间比辐射过程的时间常数要小，所以发生电子跃迁后留下来的空态能够很快被带内电子所补充，使能带内仍保持激励态的准平衡分布，可以用准费米能级描述载流子的分布特性。 (c)半导体中被激发的电子态可以通过扩散或传导在晶体中传播，因此有可能用比较简单的办法(如p—n结注入)使半导体内很快达到并维持其粒子数分布反转状态，可以实现很高的能量转换效率。这是半导体激光器的突出优点。 (d)半导体中跃迁发生在占据一定能量范围的大量的导带电子和价带空穴之间，因此辐射谱线较宽，单色性较差。光子密度与能量分布函数光子密度与能量分布函数在讨论跃迁速率与爱因斯坦关系之前弄清楚辐射场中光子密度随能量的分布对分析辐射场与半导体中电子的相互作用非常重要。在半导体物理学中，我们利用电子的状态密度和占据几率来得出电子密度随能量的分布。类似地，现在要推导的物理量是单位体积、单位频率间隔内的光子数——光子密度按能量的分布。需要两个物理量来表示光子密度分布。一个是由电磁场方程组求解边界条件得到的光子状态密度；另一个是这些状态被光子占据的几率，即玻色—爱因斯坦分布律。立方光学谐振腔立方光学谐振腔 光学腔内产生稳定振荡的条件是：光子在腔内来回一次的光程应等于所传播的平面波波长的整数倍(驻波边界条件) 。在K空间，驻波条件对选取K值的限制为 式中，m，n，q为正整数。每一组(m，n，q)值确定一个k值，给出谐振腔内电磁场的一个振动模式。同时根据电子能量E与k的关系：null一个允许的K值决定了光子的一个能量，一个动量，即决定了光子的一个状态。所以要得到光子密度，可以先求k～k+△k之间的球壳体积内的k态数。每个k在k空间中占据的体积为(π／L)3。因为m，p，q只取正整数，所以只需要考虑1／8个球壳即可。同时考虑到光场有TE模和TM模两个偏振状态，应乘以因子2。因此单位体积内， k～k+△k间的光子状态数为：nullng半导体材料的群折射率，它反映了折射率的色散关系，一般半导体中的折射率色散是不能忽略的。null如果认为色散等于零，则ng＝nR，上式可写为： 热平衡状态下，每个状态被光子所占据的几率服从玻色—爱因斯坦分布 可以得到单位体积内，频率V与v十dv之间光子数null按频率的光子密度分布改为以光子能量分布形式 以单位体积内，能量E～E+dE之间的光子数表示： 单位体积、单位能量间隔内的光子态密度，即光子按能量的分布密度跃迁速率与爱因斯坦关系跃迁速率与爱因斯坦关系 受激吸收、受激发射和自发发射过程的跃迁速率以及联系它们的爱因斯坦关系是各种激光器理论的分析基础。半导体激光器中影响以上三种越迁速率的因素： ①电子在半导体能带之间的跃迁只能始于电子的占有态而终止于电子的空态，因此跃迁速率应该正比于与跃迁有关的初态占据几率和终态被空着的几率。可以认为发生跃迁的量子系统仍处于热平衡状态，描写电子占据几率的函数仍可使用导带和价带中各自的准费米能级。 ②跃迁几率，包括：受激吸收跃迁几率B12，受激发射跃迁几率B21，自发发射跃迁几率A21，决定半导体受到外界光场作用时发生电子态跃迁的几率大小，是决定半导体材料吸收系数和增益的一个基本参量。 null③由于激励光子总有一定能量范围（频谱具有一定宽度），则越迁速率应正比于单位体积、单位能量间隔中的光子密度。 ④半导体中的电子跃迁不是发生在孤立的两个能级之间，因此对于某一特定能量的光子可以使半导体能带中一定能量范围内的电子跃迁。即使对单色光，若光子与电子互作用时间越短，则按量子力学测不准原理，跃迁所涉及的能量范围就越宽。必需考虑单位能量间隔中参与跃迁的电子态密度。 约化态密度约化态密度 约化态密度表示单位能量间隔中，两个自旋方向之一的电子参与光跃迁的密度。满足K选择定则 具有约化(折合)态密度的含义，与跃迁速率成正比。Pc和Pv分别为导带和价带的有效态密度分布函数。基于以上讨论，就可以直接写出三种跃迁过程的跃迁速率并确定它们之间的关系。自发光发射跃迁自发光发射跃迁导带内能量为E2的电子向价带内一个能量为E1＝(E2-hv)状态之间的跃迁过程。单位体积、单位能量间隔内的自发发射速率，r21(sP)与电子在能级E2的占据几率fc和能级E1空着的几率[1—fv]之积成正比，也与ρred成正比，可写为： 自发发射复合系数A21[其量纲为1／时间].对于大量处于高能状态的电子而言，它们各自独立发射能量相同但彼此无关的光子，对应光波之间没有固定的相位关系偏振方向，且传播方向也不相同。受激光发射跃迁受激光发射跃迁电子在能量为hv的外界光子作用下由导带能级E2跃迁到价带能级E1＝E2-hv上，同时放出能量为hv的光子，这称为受激光发射。单位体积、单位能量间隔内受激光发射的跃迁速率为： 受激发射场与激励场具有相同的频率、位相、偏振及方向，属同一模式，相干光。受激吸收越迁受激吸收越迁电子在能量为hv的光子作用下吸收其能量并由价带中的E1能级跃迁到导带的E2能级，它是受激发射的逆过程。其越迁速率可写为： B12位受激吸收越迁几率系数，具有与B21相同的量纲。爱因斯坦关系爱因斯坦关系A21，B12，B21都是特征参数，相互之间存在一定关系。热平衡条件下，总发射速率与吸收速率相等：null又，热平衡条件下 Efc=Efv,具有统一的费米能级： 这就是联系三个跃迁几率系数的爱因斯坦关系：在相同条件下，受激发射和受激吸收具有相同的几率。即一个光子碰到共振的高能级电子而引起受激发射的可能性正好相当于它碰到低能级电子而被吸收的可能性。爱因斯坦关系对任何材料系统都成立。各材料之间的差别包含在必须用量子力学计算的跃迁几率之中。 净受激发射速率净受激发射速率 为了找到自发发射、受激发射和受微吸收的关系。这里引入净受激发射速率r21net(st)的概念，它是r21(st)和 r12a(st)之差，即： 利用 S(E21)的表达式和爱因斯坦关系，上式可改写为：几个符号的意义几个符号的意义(1) r21(st) ——在光子作用下电子由导带向价带跃迁并受激发射相同光子的速率。 (2) r12 net(st)——净受激发射速率，它是受激发射速率r21(st)与受激吸收速率r12a(st)之差。 (5) r st(E21) ——称为受激发射率，它乘以每一个态的光子数之后就是r12 net(st) 吸收系数吸收系数净受激吸收速率等于：吸收系数a（E21）等于净吸收速率被光子通量除。而光子通量等于光子密度分布S（E21）和群速vg的乘积，而：忽略色散影响，则vg ＝c／nR，再利用B12＝B21，可得：null吸收系数a(E21)与 受激发射速率rst(E21)只相差一个常数因子自发发射速率与吸收系数的关系自发发射速率与吸收系数的关系同样的方法可得到： 结合：表明了a(E) ，r21(sp)。rst(sp)的相互关系。它构成了半导体激光器的理论基础。获得半导体激光内部参数的途径获得半导体激光内部参数的途径通过实验测量得到半导体的吸收谱曲线a(E) ，用它来换算成自发发射或受激发射谱。 通过计算导带和价带的态密度分布、量子跃迁矩阵元和跃迁几率B12或A21，然后代人方程以确定a(E) ，r21(sp) ，rst(sp)半经典理论求解B12半经典理论求解B12求解跃迁几率B12的严格理论属量子电动力学范围。为简单起见，主要利用量子力学原理来处理物质体系，仍然用经典的电磁被理论来描述光的特征—半经典理论。这种处理方法所得结果不能解释自发发射．但可以通过爱因斯坦关系将吸收、自发发射和受激发射之间建立起联系。 在分析光与半导体中电子相互作用的量子力学系统时，要利用与时间有关的微扰理论。 在进行计算时，把无辐射场时的系统状态作为起始的基本状态函数，把随时间周期变化的光场的影响作为微扰来处理。如果对微扰影响能采用收敛的方法，则可以得到实际问的解。 首先要确定有微扰时描述量子力学系统能量的哈密顿量和描述该系统信息的波函数，再利用与时间有关的薛定销方程求解，从而得到跃迁动量矩阵元和跃迁几率。 含时间的微绕理论含时间的微绕理论Hop是系统的哈密顿算符，它可以分成与时间无关的部分比和含时间的微扰部分，Ho的本征函数Φn和能量本征值En满足定态薛定楞方程。 对于与辐射相作用的系统，为求含时间的薛定楞方程的解，波函数 ψ(r，t)可以按基态H0的本征函数展开．且展开系数与时间有关： ω21对应越迁光子能量。展开系数。a2(t)与电子在t＝0时，吸收能量为E2—E1的光子后由基态(1)激励到状态(2)的几率有关。即a2(t) 模的平方被t除以后就表示从状态(1)跃迁到状态(2)的几率。null上式表示电子从E1态跃迁到E2态的微扰矩阵元，又叫跃迁动量矩阵元。它是电子的终态(2)波函数的共扼复数ψ 2*与对始态(1)波函数ψ 1进行H’运算得到结果的标量积。 要计算跃迁几率(即求a2(t))必须知道微扰算符H’的具体形式。如果假定微扰是简谐函数，则按照费米黄金准则，跃迁几率可以表示为： 要计算M就必须知道H’，即必须考虑辐射场与一个电子相互作用时体系的哈密顿量，即系统中的总能量。在电磁场内，必须考虑作用在电子上的非保守力，所以作用在以速度v运动的电子上的力是洛仑兹力：这时F与v有关，F不能由标量场的梯度给出。对非保守力系统，用矢量场描述电磁场最方便。引入电磁场的矢量势A，则这时的哈密顿量可表示为：null式中， V(r)是束缚电子的晶格周期势，P为动量算符，相应为 展开上式，对一级微扰计算可以忽略非线性项，经整理后可得：对于电流密度和电荷密度均为零的自由电磁场，A与ε罗的关系为对行波场kp为辐射场的波矢，ω为辐射场的角频率。ax为单位矢量a在x方向的分量， ε0为电场强度的振幅。null为了计算电场强度ε0 ，可以把由坡印廷矢量的实部给出的电磁通量与光子能量hv联系起来。坡印廷矢量为：为真空中的磁导率null将H和ε的表达式代入 光子通量[S]是光子能量hv与群速c/nr之积，又代入跃迁矩阵元与跃迁几率跃迁矩阵元与跃迁几率 在得到互作用哈密顿量以后，要计算跃迁几率时，则根据不同的跃迁条件设定波函数的具体形式求解。 带—带间跃迁的矩阵元半导体中总的受激发射速率半导体中总的受激发射速率 以上讨论的是半导体导带和价带中某一对能量态之间的跃迁过程，这一对能态之间的能量差对应于发射(或吸收）光子的能量。但是，对半导体而言，能发射(或吸收)同样光子能量的初态和终态都存在一个范围．因此求总的受激发射速率必须对满足间距为hv的全部能级对求和，就可得出相应向上和向下跃迁的总的受激跃迁速率。二者之差即为净的总受激跃迁速率及： 净受激发射的条件净受激发射的条件 获得净受激发射的条件，即要使得Rst (hv)为正，只要fc >fv，代入可得 这个不等式叫伯纳德和杜拉福格条件，因为他俩在1961年推导出这个条件。该式表明，半导体中产生受激光发射的必要条件是对应非平衡电子和空穴的准费米能级之差应该大于受激发射的光子能量，这也意味着半导体受到激励后(光照或电流注入)在激射发生之前，导带与价带的准贺米能级之差必须大于Eg，或者说，在激励状态下，EFC或EFV要分别进入导带和非常接近价带。半导体激光器的工作原理半导体激光器的工作原理 半导体激光器是一种相干辐射光源。与其他激光器一样，要使其产生相干辐射，也必须具备三个基本条件。即： (1)建立起激射媒质(有源区)内载流子的反转分布。即处在高能态导带底的电子数比处在低能态价带顶的空穴数大很多。这是靠给异质结加正向偏压，向有源层内注入必要的载流子来实现的。 (2)有一个合适的谐振腔使受激辐射在其中得到多次反馈而形成激光振荡。对F—P腔半导体激光器利用晶体的[110]面作自然解理面来形成F—P腔。 (3)为了形成稳定振荡，激光媒质必须能提供足够大的增益，使光增益等于或大于各种损耗之和。这就要求足够强的电流注入，必须满足一定的电流阎值条件。 粒子数反转分布与光增益粒子数反转分布与光增益 当满足粒子数反转条件时，净受激发射速率为正值。这时光波通过处于该状态的半导体时将获得增益(受到放大) 。粒子数反转程度越高，得到的增益就越大。光波通过增益介质得到放大，可以用下式表示： Z表示光的传播方向；F（z）表示Z处单位面积的光子通量；F0为进入反转区z=o处单位面积光子通量；g为单位长度的增益，又叫增益系数。增益系数增益系数 用受激发射速率来表示g 对z微分就可以看出g是单位面积所产生的附加光子通量与总光子通量之比。单位面积内产生的附加光子通量就是体积内的净受激发射速率及Rst(hv)。nullend阐值条件和增益分布阐值条件和增益分布从式(3．1—1)可见，当满足条件A6P＝E冗—压w》Ay时就能建立起粒子数的反转分布，吸 收系数就变为负的，半导体材料由光吸收介质变成了增益媒质。它可以便频率处在增益带宽 范围内的光辐射得到放大。由式(2．46)可知，这时的增益系数为：