求双曲线方程的三个掌握
山东 杨道叶
1(求双曲线的
方程时,应首先判断其焦点的位置,若焦点的位置难以确定,则可以设出双曲线方程的一般式。
、、之间的关 2(要准确把握双曲线的焦点、焦距,掌握与标准方程有关的三个常数acb
222系,、、都为正数且最大,其结构类似于勾股定理 ,有。 acccab,,b
,FPF 3(已知求,可以利用,已知时,往往利用余弦定PFPFPFPFa,,,2121212
理,并且对进行平方。 PFPFa,,,212
1(熟练掌握与双曲线的定义有关的问
22xyP,,1FF 例1 是双曲线的一点,、是双曲线的两个焦点,且,求PF,171216436
的值。 PF2
:利用双曲线的定义求解。
22xy,,1 解析:在双曲线中,ab,,8,6,故。 c,106436
PPFPF,,16 由是双曲线上的一点,得,?,或。 PF,1PF,331222
又得。 PFca,,,2PF,3322
评注:该例易忽略这一条件,而得出错误的结论,或。 PFca,,PF,1PF,33222
A 例2 在中,固定,顶点移动,设,当三个角满足BCm,,ABCBC
1A时,求点的轨迹方程。 sinsinsinCBA,,2
分析:利用正弦定理实现边角转换,再利用双曲线的定义求轨迹是解题的关键。
解析:以所在的直线为轴,以线段的中点为原点建立直角坐标系,则xBCBC
mm,,,,B,,0C,0、。 ,,,,22,,,,
1A 设点坐标为,由题设,根据正弦定理得(,)xysinsinsinCBA,,2
1AB,可知在、为焦点的双曲线上。 ABACm,,C2
222mmmm31m222bca,,,,, 这里,?a,,又,?, c,2am,41616422
221616xyA,,,1(0)y 故所求点的轨迹方程为。 22mm3
A 评注:求轨迹要做到不重不漏,应把不满足条件的点去掉,这里是的顶点,所,ABC
B以应去掉与、共线的点。 C
2(熟练掌握与双曲线的标准方程有关问题
22224100xyx,,,,yx,,22 例3 求以曲线和的交点与原点的连线为渐进线,且实轴长为12的双曲线的标准方程。
分析:先求出渐进线方程,确定出其斜率,再结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数。
22x,3x,3,24100xyx,,,,,, 解析:?,?或, ,,,2y,,2y,2yx,,22,,,
2?渐进线方程为。 yx,,3
b2当焦点在轴上时,由且得, x,a,6b,4a3
22xy,,1?所求双曲线方程为; 3616
a2y当焦点在轴上时,由且得, ,a,6b,9b3
22xy,,1?所求双曲线方程为。 3681
评注:“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程,解题过程中应准确把握。
22xyA,,1 例4 设双曲线与椭圆有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点的纵坐标2736
为4,求此双曲线的方程。
分析1:利用待定系数法求得、。 ab
22yx,,,,10,0ab 解法1:设双曲线的方程为, ,,22ab
2由题意可知,?。 c,,,36279c,3
2,215,,4,,,1,A15 又点的纵坐标为4,则横坐标为,于是有 22,ab,22ab,,9.,
2,a,4,解得 ,2b,5.,
22yx,,1?所求双曲线方程为。 45
分析2: 求出交点坐标利用双曲线定义来求解。
AA15,4 解法2:将点的纵坐标代入椭圆方程得,又两交点分别为,F0,3,,,,1
, F0,3,,,2
2222 ?, 21504315043844a,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
222 ?,。 bca,,,,,945a,2
22yx,,1?所求双曲线方程为。 45
分析3:因双曲线与椭圆有相同的焦点,双曲线方程可设为22xy,,1(2736),,,,然后利用交点坐标求解。 ,27367,,
22xy,,1A15,4 解法3:由题意设双曲线方程为(2736),,,,将代入得,,,27367,,
,(舍去)。 ,,32,,0
22yx,,1?所求双曲线方程为。 45
评注:该题运用了三种解法,解法1、解法2是基本解法;而解法3有一定的技巧性。
3(熟练掌握双曲线方程的一般式
例5 已知双曲线经过点及点,求它的标准方程。 A(7,62),,B(27,3),
分析:若设成标准方程,应首先考虑焦点的位置,若采用双曲线方程的“一般式”,则非常简捷。
49721mn,,,22mxnymn,,,1(0) 解析:设双曲线方程为,则, ,2891mn,,,
11 解之得,。 n,,m,7525
22xy,,1?所求双曲线方程为。 2575
评注:本题采用一般式,省去了焦点所在的位置,提高了解题效率。