求双曲线方程的三个掌握

求双曲线方程的三个掌握 山东 杨道叶 1(求双曲线的标准方程时，应首先判断其焦点的位置，若焦点的位置难以确定，则可以设出双曲线方程的一般式。 、、之间的关 2(要准确把握双曲线的焦点、焦距，掌握与标准方程有关的三个常数acb 222系，、、都为正数且最大，其结构类似于勾股定理 ，有。 acccab,，b ，FPF 3(已知求，可以利用，已知时，往往利用余弦定PFPFPFPFa,,,2121212 理，并且对进行平方。 PFPFa,,,212 1(熟练掌握与双曲线的定义有关的问题 22xyP,,1FF 例1 是双曲线的一点，、是双曲线的两个焦点，且，求PF,171216436 的值。 PF2 分析:利用双曲线的定义求解。 22xy,,1 解析:在双曲线中，ab,,8,6，故。 c,106436 PPFPF,,16 由是双曲线上的一点，得，?，或。 PF,1PF,331222 又得。 PFca,,,2PF,3322 评注:该例易忽略这一条件，而得出错误的结论，或。 PFca,,PF,1PF,33222 A 例2 在中，固定，顶点移动，设，当三个角满足BCm,,ABCBC 1A时，求点的轨迹方程。 sinsinsinCBA,,2 分析:利用正弦定理实现边角转换，再利用双曲线的定义求轨迹是解题的关键。 解析:以所在的直线为轴，以线段的中点为原点建立直角坐标系，则xBCBC mm,,,,B,,0C,0、。 ,,,,22,,,, 1A 设点坐标为，由题设，根据正弦定理得(,)xysinsinsinCBA,,2 1AB，可知在、为焦点的双曲线上。 ABACm,,C2 222mmmm31m222bca,,,,, 这里，?a,，又，?， c,2am,41616422 221616xyA,,,1(0)y 故所求点的轨迹方程为。 22mm3 A 评注:求轨迹要做到不重不漏，应把不满足条件的点去掉，这里是的顶点，所,ABC B以应去掉与、共线的点。 C 2(熟练掌握与双曲线的标准方程有关问题 22224100xyx，,,,yx,,22 例3 求以曲线和的交点与原点的连线为渐进线，且实轴长为12的双曲线的标准方程。 分析:先求出渐进线方程，确定出其斜率，再结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数。 22x,3x,3,24100xyx，,,,,, 解析:?，?或， ,,,2y,,2y,2yx,,22,,, 2?渐进线方程为。 yx,,3 b2当焦点在轴上时，由且得， x,a,6b,4a3 22xy,,1?所求双曲线方程为; 3616 a2y当焦点在轴上时，由且得， ,a,6b,9b3 22xy,,1?所求双曲线方程为。 3681 评注:“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握。 22xyA，,1 例4 设双曲线与椭圆有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标2736 为4，求此双曲线的方程。 分析1:利用待定系数法求得、。 ab 22yx,,,,10,0ab 解法1:设双曲线的方程为， ，，22ab 2由题意可知，?。 c,,,36279c,3 2,215，，4,,,1,A15 又点的纵坐标为4，则横坐标为，于是有 22,ab,22ab，,9., 2,a,4,解得 ,2b,5., 22yx,,1?所求双曲线方程为。 45 分析2: 求出交点坐标利用双曲线定义来求解。 AA15,4 解法2:将点的纵坐标代入椭圆方程得，又两交点分别为，F0,3，，，，1 ， F0,3,，，2 2222 ?， 21504315043844a,,，，,,，,,,,，，，，，，，， 222 ?，。 bca,,,,,945a,2 22yx,,1?所求双曲线方程为。 45 分析3:因双曲线与椭圆有相同的焦点，双曲线方程可设为22xy，,1(2736),,,，然后利用交点坐标求解。 ,27367,, 22xy，,1A15,4 解法3:由题意设双曲线方程为(2736),,,，将代入得，，,27367,, ，(舍去)。 ,,32,,0 22yx,,1?所求双曲线方程为。 45 评注:该题运用了三种解法，解法1、解法2是基本解法;而解法3有一定的技巧性。 3(熟练掌握双曲线方程的一般式 例5 已知双曲线经过点及点，求它的标准方程。 A(7,62),,B(27,3), 分析:若设成标准方程，应首先考虑焦点的位置，若采用双曲线方程的“一般式”，则非常简捷。 49721mn，,,22mxnymn，,,1(0) 解析:设双曲线方程为，则， ,2891mn，,, 11 解之得，。 n,,m,7525 22xy,,1?所求双曲线方程为。 2575 评注:本题采用一般式，省去了焦点所在的位置，提高了解题效率。