[例1]已知椭圆的焦点是F1(0

[例1]已知椭圆的焦点是F1(0 ,例1,已知椭圆的焦点是,(,，,,)和,(,，,)，直线y=4是椭圆的一条,,准线. (1)求椭圆的方程; (2)又设点P在这个椭圆上，且,,,,,,,,,,,，求?,,,. ,,,, 2a,解:(1)?;,,，,,，?,,,，,,,， c 又椭圆中心在原点，焦点在y轴上 22yx?椭圆的方程为 ，,134 ,，,2,4PFPFa12,(,)由 ,PF,PF,1,12, 53PF,PF,,解得 1222 FF,2c,2又 12 222PF，PF,FF31212?cos FPF,,1252PF,PF12 3即?,,,,,,;;,,. ,,5 22yx,例2,求与椭圆相交于A、B两点，并且线段AB的中点为M(1，1)的直线，,194 方程. 22yx解法1:由椭圆的对称性知垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，则交点，,194 间的线段的中点必然在x轴上，不可能是点M(1，1)，因此，所求的直线与x轴不垂直，设 它的方程为y,k(x,1)，1，代入椭圆方程，整理得: 2222(9k，4)x,(18k,18k)x，9k,18k,27,0 这个方程一定有两个不相等的实数根x、x，这两个实数根就是A、B两点的横坐标，12由 韦达定理得: 218k,18kx，x, 1129k，4 ?k必须满足条件 2222,kkkkk,(18,18),4(9，4)(9,18,27)0 (1),2 ,kk9,9,1 (2),2k9，4, 44由?解得k,,经检验，k,,也能使?式成立， 99 ?所求直线的方程为: 4 y,,(x,1)，1即4x，9y,13,09 解法2:设A、B的坐标分别为(x,y),(x,y). 1122?点A、B都在椭圆上， 22,xy11，,1 (1),,94? ,22xy,22，,1 (2),94, x，xy，y1212?-?，得:. (x,x)，(y,y),0121294 ?AB的中点为M(1，1)， ? x，x,2,y，y,2.1212 22 ？(x,x)，(y,y),0,121294 y,y412,显然， x,x？,,129x,x12 4即直线AB的斜率为-， 9 4?所求直线方程为 y,,(x,1)，19 即4x+9y-13=0.检验知，符合题意. 说明:与椭圆的弦的中点有关的问题，往往设出弦的端点的坐标，把端点的坐标代入椭 圆的方程得到两个方程，然后相减.但这时也要注意到Δ,0. 22yx ,例3,已知椭圆(,,,,,)，,、,是椭圆上两点，线段AB的垂直平，,122ab 分 线与x轴交于点P(,，,)，证明 , 2222abab,,x,. ,,0aa 分析:要善于将已知条件进行转化，设,(,，,)，,(,，,)，,,的中点M,,,, (,，,). ,, 22,xy11，,1,22,ab(,)点A、B在椭圆上，则 ? ,22xy,22，,1,22ab, (2)线段AB的垂直平分线与x轴交于点,(,，,)有两种等价方式 , xx，,12x,3,,2(?)M为AB中点有 ? ,yy，12,y,3,2, PM?,,则,?,,,,， ,,,, yy,y321即,,,1 ? x,xx,x3021 ,,,,,,,,，则 (?), 2222 ? (x,x)，y,(x,x)，y011022 再从求证的结论看，是要求P点横坐标的范围，于是想到将,用A、B坐标示，而A、,B坐标是有明确范围的，因此有两种解题方案，一种是由?，?出发，另一种可由?，?， ?出发. 解:设A、B的坐标分别为(,，,)、(,，,)，因线段AB的垂直平分线与x轴,,,,相交，故AB不平行于y轴，即,?,，又交点,(,，,)，故 ,,, ,,,,,,,,, ,,22?(,,,)，y,(,,,)，y ,,,,12 2222(x,x)，(y,y)2121x,解得 ? 02(x,x)21 又?A、B在椭圆上， 22bb222222? y,b,x,y,b,x112222aa 2b2222?代入?得， y,y,(x,x)21122a 22bb22(1)()(1)(),x,x,x，x21212222x，xa,baa12 x,,,,022()22x,xa21 ?,,?,?,，,,?,?,且,?, ,,,, x，x12?,,,,, 2 2222abab,,x即,得证. ,,0aa