原创 科里奥利力的数学推导

MadeByGeorge-Gate.WelcometoMyBlog:http://blog.163.com/terrorist_1992@126什么是科里奥利力与向心力一样，科里奥利力来自于物体运动所具有的惯性，是转换参考系后人为设定的一种惯性力。在旋转体系中进行直线运动的质点，由于惯性的作用，有沿着原有运动方向继续运动的趋势，但是由于体系本身是旋转的，在经历了一段时间的运动之后，体系中质点的位置会有所变化，而它原有的运动趋势的方向，如果以旋转体系的视角去观察，就会发生一定程度的偏离。如右图所示（若看不见图片的动画效果，可到Wikipedia上看），当一个质点相对于惯性系做直线运动时，相对于旋转体系，其轨迹是一条曲线。立足于旋转体系，我们认为有一个力驱使质点运动轨迹形成曲线，这个力就是科里奥利力。科里奥利力的计算公式如下：𝐹𝑐=−2𝑚𝜔×𝑣式中𝐹𝑐为科里奥利力；m为质点的质量；𝑣为质点在旋转体系中的运动速度；𝜔为旋转体系的角速度；×示两个向量的矢量积符号。科里奥利力的数学推导假设有一个顺时针旋转的圆盘，角速度为ω。在圆盘非圆心的位置上有一个人R，地面有一个人G。则人R所处的参照系为转动系，人G所处的参照系为惯性系。现有一个可看成质点的质量为𝑚的小球在圆盘上距圆心𝑟0的位置，相对圆盘有初速度𝑣，且处于平衡状态。下证小球在人G系中做匀速直线运动，但在人R系中受到惯性力𝐹𝑐=−2𝑚𝜔×𝑣。如图1建立直角坐标系，令𝑟0=(0,𝑦0)。MadeByGeorge-Gate.WelcometoMyBlog:http://blog.163.com/terrorist_1992@126考虑一段极短的时间𝑑𝑡后的情况：图2为人R系中的情况。在人R系中，人R静止，对于人R来说小球匀速直线运动意味着小球相对于人R的速度不变，即小球速度在人R系中恒为𝑣。则𝑑𝑡时间后，有𝑟1=𝑟0+𝑣∙𝑑𝑡。请注意，这里的𝑟1为人R想象中的小球匀速直线运动所得到的位移，并不等于小球在惯性系中做匀速直线运动的位移。这正是惯性力出现的原因：在不同参考系中的人对匀速直线运动的“理解”并不相同。接下来将计算地面系中小球做匀速直线运动时的位移，即小球在人G看来做匀速直线运动时的位移。图3为人G系中的情况。先看图3-a，对于人G来说，小球相对人G的速度为𝑣`=𝑣𝑡+𝑣，即可以理解成：小球对地的速度＝小球对转盘的速度+小球所在位置转盘对地的速度。于是有𝑣`=𝜔×𝑟0+𝑣。接下来如图3-b，在极短的𝑑𝑡时间内，小球保持𝑣`的速度运动到𝑟2=𝑟0+𝑣`∙𝑑𝑡。同时，人R也跟着转盘转动了一个角度𝑑𝜃=𝜔∙𝑑𝑡。算到这里可以发现，𝑟1和𝑟2是不同的，其中𝑟2是小球实际上的位移，同时也是人G所“理解”的匀速直线运动的位移。而𝑟1则是人R所“理解”的匀速直线运动的位移，也就是说，人R认为小球应该运动到𝑟1，而小球实际上却运动到了𝑟2，于是人R便认为小球受到了一个力（科里奥利力）。当然，这个力实际上是不存在的，可以认为只是个“错觉”而已。MadeByGeorge-Gate.WelcometoMyBlog:http://blog.163.com/terrorist_1992@126接下来我们计算一下这个虚构的力的大小。计算力可以考虑利用加速度来计算。如上面的，一开始两个参照系中小球的速度是一样的，到后来速度却出现了偏差，这个偏差可以用来计算加速度。由于科里奥利力是在转动系中的力，所以要以人R系为参照系计算。先把人G系中的速度𝑣`转换到人R系中。如图4-a，首先从地面系转换到转动系要加一个相对转动系的速度𝑣𝑡2=−𝜔×𝑟2，𝑣𝑡2与𝑣`合成得到𝑣2。然后如图4-b，我们需要对整个图形旋转一下，以保证人R的位置回到初始位置。最后便得到实际上小球在人R系中的速度𝑣𝐺=𝑣2+𝑣𝜃=𝑣2×1+𝜔∙𝑑𝑡=𝑣𝑡2+𝑣`×1+𝜔∙𝑑𝑡=−𝜔×𝑟0+𝜔×𝑟0+𝑣∙𝑑𝑡+𝜔×𝑟0+𝑣×1+𝜔∙𝑑𝑡=𝑣−2𝜔×𝑣∙𝑑𝑡−𝜔×𝜔×𝑟0∙𝑑𝑡(注：已略去高阶无穷小量)转换完毕，现在我们知道两个速度：𝑣𝐺为小球实际做匀速直线运动的速度；𝑣为人R主观预期的小球做匀速直线运动应该具有的速度。这两个速度明显不等，而人R认为导致这个不等的原因是小球受到一个科里奥利力。MadeByGeorge-Gate.WelcometoMyBlog:http://blog.163.com/terrorist_1992@126由牛顿第二定律有𝐹=𝑚𝑎=𝑚𝑣𝐺−𝑣𝑑𝑡=−2𝑚𝜔×𝑣−𝑚𝜔×𝜔×𝑟0，其中，−𝑚𝜔×𝜔×𝑟0为小球在r0位置跟随转盘转动而受的离心力，不包含在科里奥利力中。所以𝐹𝑐=−2𝑚𝜔×𝑣