绝对值函数的可导性

绝对值函数的可导性 2005第13卷Vo1.13.2005 第4期北京市计划劳动管理干部学院NO.4 (总51期)JOURNALOFBEUINGINSTITUTEOFPLANNINGLAB0UR删 INIRAT10NGeneralNo.51 ? 教学与管理? 绝对值函数的可导性 邓云辉 (四川工程职业技术学院四川德阳618000) 摘要:用导数的定义,得到了统一处理绝对值函数的可导性问题的方法,简化了此 类相关问 题的讨论和求解,具有一定的理论意义. 关键词:可导性;零点 中图分类号:G633.6文献标识码:B文章编号:1008—6684(2005)04—60—02 如众所知,若一元函数厂(z)在z—z.点连续, 则厂(z)在z.点不一定可导.一个常见的例子是厂 (z)一lz1,此函数在z一0处连续,但不可导.我 们自然要问:若厂(z)在(a,b)内连续且可导,函数 I厂(z)I在(a,b)内是否连续,可导呢? 我们比较容易证明:若厂(z)在(a,b)内连续, 则l厂(z)I在(a,b)内亦连续.并且其逆定理不成 立.在此,我们要讨论的是:厂(z)在(a,b)内连续 且可导时,1.厂(z)l在(a,b)内的可导性. 为了叙述简便,我们定义:厂(z)一(z— z0)kg(z),k?N,g(x0)?0称z一是厂(z)的k 阶零点,k一1时简称零点.显然函数厂(z)和I厂 (z)I具有相同的零点,其阶亦相同. 定理1:设,(z)在(a,b)内连续且可导,若Xo? (口,6)且.7co不是,(z)的零点,则l,(z)l在.7co点可 导,并且有If(_{. 我们注意到,当f(x.)dO时,存在以z.为中 心的邻域U(z.,),使Vz?U(z.,)时,有I 厂(z)I一厂(z),从而l厂(z)I一-厂(z). 类似的,当f(x)d0时,有I厂(z)l一一厂(z), z?U(z0,). 定理2:设f(z)在(a,b)内连续,可导,若 z.?(口,6)且Xo是f(x)的零点,则 (1)当-厂(zo)一O时,l,(z)1在z—z.可导, 且l八z)ll=一0. (2)当f(Xo)?0时,l厂(z)l在xo点不可导. 证明:(1)因为 l厂(z川一一/..k )上 r?r—?O lim(因厂(z.)一o) ?r—?O~kr 一 ~kr?r—+0 一 ~kr? ?r—Jl = … lim? ?r一0rr —lf(xo)lL一o(Nf(xo)一o) ?r—?Olz 所以I,(z)I在z一勘点可导,且l,(z)ll (2)~f(xo)4=0 ,s l r-,,o 一 l厂(勘)I4=0. 但lf(xo)一一? — ?一 1 f(xo)1]~ … lim? ?r一0二 一一 l-厂(zo)l 所以,limL?二.—不存在, L.kzc凸 收稿日期:2005—10—15 作者简介:邓云辉(196l一),男,四川德阳人,四川工程职业技术学院副教授. 2005年第13卷第4期北京市计划劳动管理干部学院 故I,(z)I在z—z.处不可导. 注:从上述证明可知:z.是If(z)I的跳跃间 断点. 定理3:如果厂(z)在(a,b)内连续,可导,且z. 是厂(z)的二阶(或二阶以上)零点,则I厂(z)I在z. 点可导且I厂(z):----0. 证明:设z.是厂(z)的k阶零点(志?2), 设,(工)一(工一工o)kg(x),g(x0)?0,且g(工)在 z.点连续或有界. If(x.?r—O' 一 lim?Ig(X0十)I一0.(k?2) 从上述证明可知:当z—z.时,厂(z)是(x—xo) (k>1)的等价无穷小量,同时,}(z)l在z.处可导, 且其导数为零. 例如:f(x)一xX.,当z—z.时,厂(z)是z的詈阶J . 无穷小量(吾>1),则If(x)I—1I在x=O处可导,J 且f厂(z)f一.===0. 例1:1998年考研《高等数学》(一)有选择题: 函数厂(z)一(z一z一2)Iz.一zf的不可导点个 数为() (A)3(B)2(C)1(D)0 我们考虑z)一(z一2)(z+1)Iz+1llzllz一1I知, z一一1,0,1,2是厂(z)的零点,其中有3个零 点:z一一1,x=0,z一1与绝对值有关,而z一一1是 ,(z)的二阶零点,故厂(z)在z一一1处可导,x=0,32 — 1是厂(z)的一阶零点,所以,厂(z)在此两点处不可 导,故本题应选择(B). 例2:求在厂(z)一(z一1)Iz一5x+4IIzII sinxI在(一,不)内不可导点的个数? 因为厂(z)一(z一1)Iz一1}IzIIsinxIIz+2II z一2f,所以.厂(z)在(一不,不)内共有5个零点:x=O, z一1,z一一1,z一2,z===一2,其中只有一一2,z一2 为一阶零点,故厂(z)在z一2,z一一2处不可导,即厂 (z)在(一不,不)内只有两个不可导点. 例3:求函数厂(z)一max{z一2x+1,+一 2)的极值?显然,原函数可变形为: 厂(z)一二;上 厶 一 1(z一1)(2x+1)+fz一1f 厶厶 当z一1时,厂(z)不可导,且厂()无其他驻点, 而-厂(z)在z:1处的左邻域内小于0,在其右邻域内 f(z)大于0,故厂(z)在z===1处有极小值厂(1)----0. 例4:构造一个连续函数,使其在已知点:a,az, a3,a4…,a处不可导? 根据上述理论,所求函数厂(z)只要以a..,a 为一阶零点,则F(z)一l厂(z)l便在z—a,a…., a处不可导,从而我们构造函数:F(z)一f(z— a】)(z一.2)…(z—a)I,显然F(z)在(一?,+?) 内连续,且x—a,a,…a为其一阶零点,故F(z)在 z一口1,a2….,a处不可导. 另外,还可以利用本文的结论,构造一个函数 g(z)一苎I在无穷多个点z1,志?2,志?0处 连续,但不可导. 参考文献: Eli同济大学数学教研室.高等数学(四版)[M].高等教育出版社, 北京:1996. [2]薛嘉庆.高等数学试题库精编(二版)[M].东北大学出版社,沈 阳:2001. (责任编辑:冯琦琳)